Kurs:Analysis/Teil I/30/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	${}\sum$
Punkte	3	3	1	1	2	4	2	4	4	6	2	1	4	3	4	4	2	3	4	5	2	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine surjektive Abbildung

   $f\colon L\longrightarrow M.$

2. Eine nach unten beschränkte Teilmenge ${}M\subseteq K$ eines angeordneten Körper ${}K$.
3. Der Körper der reellen Zahlen.
4. Die Sinusreihe.
5. Eine konvexe Funktion

   $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   auf einem Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$.

6. Die Riemann-Integrierbarkeit einer Funktion

   $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   auf einem kompakten Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über rationale Zahlen in einem archimedisch angeordneten Körper ${}K$.
2. Das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Funktion

   $f\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} }$

   in einem Punkt

   ${}a\in {\mathbb {K} }$.
3. Der Satz über die Ableitung in einem lokalen Extremum.

Aufgabe * (1 Punkt)

Wir betrachten den Satz „Lucy Sonnenschein tanzt auf allen Hochzeiten“. Negiere diesen Satz durch eine Existenzaussage.

Aufgabe (1 Punkt)

Wie sinnvoll ist die Gleichungskette

${}{\text{Pythagoras}}=c^{2}=a^{2}+b^{2}\,?$

Aufgabe * (2 Punkte)

Der Energiebedarf (durch Nahrung) eines Menschen beträgt pro Tag etwa ${}12.000\,kJ$ (Kilojoule). Die durchschnittliche Sonneneinstrahlung in Osnabrück beträgt pro Tag etwa ${}3kWh$ pro ${}m^{2}$ (${}3$ Kilowattstunden pro Quadratmeter). Wie viele Fläche benötigt man pro Person, um ihren Energiebedarf durch die Sonneneinstrahlung abzudecken?

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass für jede ungerade Zahl ${}n$ die Zahl ${}25n^{2}-17$ ein Vielfaches von ${}8$ ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Begründe das Beweisprinzip der vollständigen Induktion.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien ${}x,y$ rationale Zahlen. Zeige, dass

${}x-\left\lfloor x\right\rfloor =y-\left\lfloor y\right\rfloor \,$

genau dann gilt, wenn es ein ${}n\in \mathbb {Z}$ mit ${}y=x+n$ gibt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}b\in K$, ${}b>1$. Zeige, dass es dann Elemente ${}c,d>1$ mit ${}b=cd$ gibt.

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Satz von Bolzano-Weierstraß.

Aufgabe * (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine Folge von abgeschlossenen Intervallen (${}n\in \mathbb {N} _{+}$)

${}I_{n}=[a_{n},b_{n}]\subseteq \mathbb {R} \,$

derart an, dass ${}b_{n}-a_{n}$ eine Nullfolge ist, dass ${}\bigcap _{n\in \mathbb {N} _{+}}I_{n}$ aus einem einzigen Punkt besteht, wo aber keine Intervallschachtelung vorliegt.

Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme die Umkehrfunktion zur linearen Funktion

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto {\mathrm {i} }z.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Man finde ein Polynom ${}f$ von minimalem Grad mit

$f(0)=0,\,f(1)=1,\,f(2)=3,\,f(3)=6.$

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}k\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige

${}{\left(1-{\sqrt[{k}]{2}}\right)}\cdot {\left(1+{\sqrt[{k}]{2}}+{\sqrt[{k}]{2}}^{2}+\cdots +{\sqrt[{k}]{2}}^{k-2}+{\sqrt[{k}]{2}}^{k-1}\right)}=-1\,.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Finde für die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=x^{3}-3x+1,$

eine Nullstelle im Intervall ${}[-2,-1]$ mit Hilfe der Intervallhalbierungsmethode mit einem Fehler von maximal ${}1/8$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion auf einem Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$. Zeige, dass ${}f$ genau dann konvex ist, wenn für jedes Punktepaar ${}(a,f(a))$ und ${}(b,f(b))$ mit ${}a,b\in I$ die Verbindungsstrecke oberhalb des Graphen von ${}f$ verläuft.

Aufgabe * (2 Punkte)

Beweise den Satz über die Ableitung der Exponentialfunktionen zu einer Basis ${}a>0$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom der Ordnung ${}2$ zur rationalen Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {x^{2}+6x+1}{4x+4}},$

im Entwicklungspunkt ${}1$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise die Newton-Leibniz-Formel.

Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige durch Induktion nach ${}n$ unter Verwendung der partiellen Integration

${}\int _{0}^{1}x^{m}(1-x)^{n}dx={\frac {m!n!}{(m+n+1)!}}\,.$

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R} _{+}$

eine differenzierbare Funktion auf einem Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$. Finde eine homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung, für die ${}f$ eine Lösung ist.