Kurs:Analysis/Teil I/42/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	3	2	6	3	2	4	3	3	5	5	6	2	4	7	3	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

In Beweisen findet man häufig die Formulierung „Wir nehmen (jetzt, also) an“. Welche Bedeutungen im Beweis kann diese Formulierung haben?

Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten auf der Menge

${}M=\{a,b,c,d\}\,$

die durch die Tabelle

${}\star$	${}a$	${}b$	${}c$	${}d$
${}a$	${}b$	${}a$	${}c$	${}a$
${}b$	${}d$	${}a$	${}b$	${}b$
${}c$	${}a$	${}b$	${}c$	${}c$
${}d$	${}b$	${}d$	${}d$	${}d$

gegebene Verknüpfung ${}\star$.

1. Berechne

   $b\star (a\star (d\star a)).$

2. Besitzt die Verknüpfung ${}\star$ ein neutrales Element?

Aufgabe * (6 (3+2+1) Punkte)Referenznummer erstellen

In einer Äpfelpackung befinden sich stets sechs Äpfel, die zusammen ein Kilo wiegen sollen, wobei eine Toleranz zwischen ${}995$ und ${}1005$ Gramm erlaubt ist. Der kleinste Apfel in der Packung muss mindestens ${}90$ Prozent des Gewichts des größten Apfels der Packung haben.

1. Wie schwer (in gerundeten Gramm) kann ein Apfel in einer Packung maximal sein?
2. Wie leicht (in gerundeten Gramm) kann ein Apfel in einer Packung minimal sein?
3. Um wie viel Prozent ist der größtmögliche Apfel schwerer als der kleinstmögliche Apfel?

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper, es sei ${}a\leq b$ und seien Zahlen ${}x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\in [a,b]$ und nichtnegative Zahlen ${}t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}\in K_{\geq 0}$ mit

${}\sum _{i=1}^{n}t_{i}=1\,$

gegeben. Zeige

${}\sum _{i=1}^{n}t_{i}x_{i}\in [a,b]\,$

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Folgen (für ${}n\geq 1$)

${}x_{n}:={\frac {1-n^{2}}{n}}\,$

und

${}y_{n}:=n\,.$

Konvergiert die Folge

${}z_{n}:=x_{n}+y_{n}\,$

in ${}\mathbb {R}$? Falls ja, was ist der Grenzwert?

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}\mu _{1},\mu _{2},\mu _{3}\in K$ Elemente in einem Körper ${}K$. Zeige, dass

${}w=\mu _{1}\mu _{2}+\mu _{1}\mu _{3}+\mu _{2}\mu _{3}\,$

und

${}z=-(\mu _{1}+\mu _{2}+\mu _{3})w+\mu _{1}\mu _{2}\mu _{3}\,$

die Gleichung ${}z^{2}=(w+\mu _{1}^{2})(w+\mu _{2}^{2})(w+\mu _{3}^{2})$ erfüllen.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}P$ und ${}Q$ verschiedene normierte Polynome vom Grad ${}d$ über einem Körper ${}K$. Wie viele Schnittpunkte besitzen die beiden Graphen maximal?

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Untersuche die Reihe

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {4n-9}{2n^{3}-5n^{2}-6n+2}}$

auf Konvergenz.

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion.

Aufgabe * (5 (1+1+3) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten den oberen Halbkreis mit Mittelpunkt ${}(1,0)$ und Radius ${}1$ und den unteren Halbkreis mit Mittelpunkt ${}(3,0)$ und Radius ${}1$.

1. Skizziere die Situation.
2. Definiere eine Funktion

   $f\colon [0,4]\longrightarrow \mathbb {R} ,$

   deren Graph mit den beiden Halbkreisen übereinstimmt.

3. Ist ${}f$ an der Stelle ${}2$ differenzierbar?

Aufgabe (6 (3+3) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten den Graphen der Sinusfunktion auf ${}\mathbb {R} _{\geq 0}$ und den um ${}d\in \mathbb {R}$ vertikal verschobenen Graphen der Quadratwurzelfunktion, also den Graphen von

${}h(x)={\sqrt {x}}+d\,.$

1. Zeige, dass die beiden Graphen nur endlich viele Schnittpunkte besitzen.
2. Zeige, dass die Anzahl der Schnittpunkte der beiden Graphen (bei geeignetem ${}d$) beliebig groß werden kann.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über die Ableitung von Potenzfunktionen ${}x\mapsto x^{\alpha }$.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise die Newton-Leibniz-Formel.

Aufgabe * (7 (2+3+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten das Polynom

${}P(x)=x^{4}-3x^{2}-4\,.$

1. Bestimme die reellen Nullstellen von ${}P$.
2. Bestimme die Extrema von ${}P$.
3. Bestimme den Flächeninhalt, der durch den Graphen und die ${}x$-Achse eingegrenzt wird.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Differentialgleichung

${}y'={\frac {4y+5t}{2y-3t}}\,.$

Zeige, dass man mit dem Ansatz

${}y=z\cdot t\,$

mit einer unbekannten Funktion ${}z(t)$ eine Differentialgleichung für ${}z$ mit getrennten Variablen erhält.