Kurs:Analysis/Teil I/9/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	3	3	3	4	2	6	4	3	5	4	1	5	4	5	6	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Das Urbild zu einer Teilmenge ${}T\subseteq M$ unter einer Abbildung ${}F\colon L\rightarrow M$.
2. Eine wachsende Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper.
3. Eine stetige Fortsetzung einer stetigen Funktion

   $f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

   auf eine Teilmenge ${}{\tilde {T}}$, ${}T\subseteq {\tilde {T}}\subseteq {\mathbb {K} }$.

4. Die Exponentialfunktion zur Basis ${}b>0$ im Komplexen.
5. Eine konkave Funktion

   $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   auf einem reellen Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$.

6. Eine ortsunabhängige gewöhnliche Differentialgleichung

   $y'=f(t,y).$

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz von Bolzano-Weierstraß.
2. Der Zwischenwertsatz.
3. Die Taylor-Formel für eine ${}(n+1)$-mal differenzierbare Funktion

   $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   auf einem reellen Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$ für einen inneren Punkt ${}a\in I$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Eine Bahncard ${}25$, mit der man ein Jahr lang ${}25$ Prozent des Normalpreises einspart, kostet ${}62$ Euro und eine Bahncard ${}50$, mit der man ein Jahr lang ${}50$ Prozent des Normalpreises einspart, kostet ${}255$ Euro. Für welchen Jahresgesamtnormalpreis ist keine Bahncard, die Bahncard ${}25$ oder die Bahncard ${}50$ die günstigste Option?

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige durch vollständige Induktion, dass für jedes ${}n\in \mathbb {N}$ die Zahl

$6^{n+2}+7^{2n+1}$

ein Vielfaches von ${}43$ ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Entscheide, ob die Folge

${}x_{n}:={\frac {3\sin ^{4}n-7n^{3}+11n}{5n^{3}-4n^{2}-\cos n}}\,$

in ${}\mathbb {R}$ konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge in ${}\mathbb {Q}$, die keine Nullfolge sei. Zeige, dass es ein ${}N\in \mathbb {N}$ derart gibt, dass entweder alle ${}x_{n}$, ${}n\geq N$, positiv oder negativ sind.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei eine Reihe

$\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}10^{-i}$

mit ${}a_{i}\in {\mathbb {C} }$ und ${}\vert {a_{i}}\vert \leq 9^{i}$ für alle ${}i\in \mathbb {N} _{+}$ gegeben. Zeige, dass die Reihe absolut konvergiert.

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Zwischenwertsatz.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei

$f(x)=ax^{2}+bx+c,\,a\neq 0,$

ein reelles Polynom vom Grad ${}2$. Zeige, dass der Durchschnitt des Graphen der Funktion mit jeder Tangenten an den Graphen aus genau einem Punkt besteht.

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)={\frac {e^{x}}{x^{2}+1}},$

streng wachsend ist.

Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise den Satz über die lineare Approximation einer Funktion

$f\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} }$

in einem Punkt ${}a\in {\mathbb {K} }$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei

$f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto f(z),$

eine Funktion, die die Funktionalgleichung

${}f(z+w)=f(z)\cdot f(w)\,$

für alle ${}z,w\in {\mathbb {C} }$ erfülle und die in ${}0$ differenzierbar sei. Zeige, dass dann ${}f$ in jedem Punkt differenzierbar ist und die Beziehung ${}f'(z)=\lambda f(z)$ mit einem festen ${}\lambda \in {\mathbb {C} }$ gilt.

Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme die Ableitung von

${}f(x)=x\ln x\,$

auf ${}\mathbb {R} _{+}$.

Aufgabe * (5 Punkte)

Zu einem Startwert ${}x_{0}\in \mathbb {R}$ sei die Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ rekursiv durch

${}x_{n+1}=e^{x_{n}}-1\,$

definiert. Entscheide, für welche ${}x_{0}$ die Folge konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion von ${}\sin ^{3}x$.

Aufgabe * (5 (2+3) Punkte)

a) Es sei ${}k\in \mathbb {N} _{+}$ und es sei

$f(x)=R(x,{\sqrt[{k}]{x}})$

eine rationale Funktion in

${}x$ und in ${}{\sqrt[{k}]{x}}$. Man gebe direkt (ohne Bezug auf Standardsubstitutionen der Vorlesung) eine geeignete Substitution an, mit der die Berechnung der Stammfunktion zu ${}f(x)$ auf die Berechnung einer Stammfunktion einer rationalen Funktion in einer Variablen zurückgeführt werden kann.

b) Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion (mit ${}x>1$)

${\frac {{\sqrt[{3}]{x}}+x}{({\sqrt[{3}]{x}})^{2}-{\sqrt[{3}]{x}}}}.$

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Satz über das Lösungsverfahren für Differentialgleichungen mit getrennten Variablen.