Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Vorlesung 20/latex

\setcounter{section}{20}






\zwischenueberschrift{Konvexe Funktionen}






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Convex_set.svg} }
\end{center}
\bildtext {Eine konvexe Teilmenge.} }

\bildlizenz { Convex set.svg } {Oleg Alexandrov} {} {Commons} {PD} {}






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Non_Convex_set.svg} }
\end{center}
\bildtext {Eine nichtkonvexe Teilmenge.} }

\bildlizenz { Non Convex set.svg } {Kilom691} {} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}





\inputdefinition
{}
{

Eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T }
{ \subseteq }{\R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} heißt \definitionswort {konvex}{,} wenn mit je zwei Punkten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P,Q }
{ \in }{T }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} auch jeder Punkt der Verbindungsstrecke, also jeder Punkt der Form
\mathdisp {rP+(1-r)Q \text{ mit } r \in [0,1]} { , }
ebenfalls zu $T$ gehört.

}




\inputdefinition
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T }
{ \subseteq }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Teilmenge und \maabbdisp {f} {T} {\R } {} eine \definitionsverweis {Funktion}{}{.} Dann nennt man die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S(f) }
{ =} { { \left\{ (x,y) \in T \times \R \mid y \leq f(x) \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} den \definitionswort {Subgraphen}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ E(f) }
{ =} { { \left\{ (x,y) \in T \times \R \mid y \geq f(x) \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} den \definitionswort {Epigraphen}{} der Funktion.

}

Subgraph und Epigraph sind nach unten bzw. nach oben unbeschränkt. Im Kontext der Integrationstheorie interessiert man sich für den positiven Subgraphen, der durch die $x$-Achse nach unten beschränkt ist. Der Graph der Funktion gehört sowohl zum Subgraphen als auch zum Epigraphen.






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Convex supergraph.svg} }
\end{center}
\bildtext {Der Graph und der Epigraph einer konvexen Funktion.} }

\bildlizenz { Convex supergraph.svg } {DieBuche} {} {Commons} {PD} {}





\inputdefinition
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I }
{ \subseteq }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Intervall}{}{} und \maabbdisp {f} {I} {\R } {} eine \definitionsverweis {Funktion}{}{.} Man sagt, dass $f$ \definitionswort {konvex}{} ist, wenn der \definitionsverweis {Epigraph}{}{}
\mathl{E(f)}{} \definitionsverweis {konvex}{}{} ist.

}




\inputdefinition
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I }
{ \subseteq }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Intervall}{}{} und \maabbdisp {f} {I} {\R } {} eine \definitionsverweis {Funktion}{}{.} Man sagt, dass $f$ \definitionswort {konkav}{} ist, wenn der \definitionsverweis {Subgraph}{}{}
\mathl{S(f)}{} \definitionsverweis {konvex}{}{} ist.

}

Bei beiden Begriffen muss man lediglich überprüfen, ob die Verbindungsstrecke zwischen je zwei Punkten des Graphen jeweils oberhalb bzw. unterhalb des Graphen verläuft, siehe Aufgabe *****. Die Verbindungsstrecke zwischen \mathkor {} {(a,f(a))} {und} {(b,f(b))} {} ist durch
\mathbed {f(a) + s { \frac{ f(b)-f(a) }{ b-a } }} {}
{s \in [0, b-a]} {}
{} {} {} {,} bzw. als Ausschnitt \zusatzklammer {zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{[a,b] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {} des Graphen zur linearen Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g(x) }
{ =} { f(b) { \frac{ x-a }{ b-a } } + f(a) { \frac{ x-b }{ a-b } } }
{ =} { { \frac{ f(b)-f(a) }{ b-a } } x + { \frac{ -af(b) +bf(a) }{ b-a } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegeben. Im differenzierbaren Fall gibt es einfache Ableitungskriterien für diese Verhaltensweisen, wobei wir nur den konvexen Fall anführen.





\inputfaktbeweis
{Differenzierbare Funktion/Intervall/Konvexität und Ableitung/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I }
{ \subseteq }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Intervall und \maabbdisp {f} {I} {\R } {} eine \definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $f$ genau dann eine konvexe \zusatzklammer {konkave} {} {} Funktion, wenn die Ableitung $f'$ wachsend \zusatzklammer {fallend} {} {} ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

\teilbeweis {}{}{}
{Es sei zunächst $f$ konvex und seien zwei Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ < }{b }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} aus $I$ gegeben. Es sei \maabb {g} {[a,b] } { \R } {} die lineare Funktion, die
\mathl{(a,f(a))}{} und
\mathl{(b,f(b))}{} verbindet. Aufgrund der Konvexität ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(x) }
{ \leq }{ g(x) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{ [a,b] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Für die Differenzenquotienten gilt daher
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \frac{ f(x)-f(a) }{ x-a } } }
{ \leq} { { \frac{ g(x)-f(a) }{ x-a } } }
{ =} { { \frac{ g(x)-g(a) }{ x-a } } }
{ =} { { \frac{ g(b)-g(a) }{ b-a } } }
{ =} { { \frac{ g(b)-g(x) }{ b-x } } }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ f(b)-g(x) }{ b-x } } }
{ \leq} { { \frac{ f(b)-f(x) }{ b-x } } }
{ } {}
{ } {}
} {}{.} Durch Übergang zu den Limiten für
\mathl{x \rightarrow a}{} bzw.
\mathl{x \rightarrow b}{} folgt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f'(a) }
{ \leq} { { \frac{ g(b)-g(a) }{ b-a } } }
{ \leq} { f'(b) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}
{} \teilbeweis {}{}{}
{Es sei nun $f$ als nicht konvex vorausgesetzt und seien zwei Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ < }{b }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} aus $I$ mit der Eigenschaft gegeben, dass die verbindende Gerade von \mathkor {} {(a,f(a))} {und} {(b,f(b))} {} nicht vollständig oberhalb des Graphen von $f$ verläuft. Es gibt also ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c }
{ \in }{ [a,b] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g(c) }
{ < }{ f(c) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} wobei wieder $g$ die verbindende lineare Funktion ist. Durch Übergang zu
\mathl{f-g}{} können wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(a) }
{ = }{ f(b) }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(c) }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} annehmen. Nach dem Mittelwertsatz gibt es Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s }
{ \in }{ [a,c] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t }
{ \in }{ [c,b] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f'(s) }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f'(t) }
{ < }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} sodass $f'$ nicht wachsend ist.}
{}

}


\inputfaktbeweis
{Differenzierbare Funktion/Intervall/Konvexität und zweite Ableitung/Fakt}
{Korollar}
{}
{

\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I }
{ \subseteq }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Intervall}{}{} und \maabbdisp {f} {I} {\R } {} eine zweimal \definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $f$ genau dann eine konvexe Funktion, wenn für die zweite Ableitung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f^{\prime \prime}(x) }
{ \geq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{ Siehe Aufgabe 20.6. }


Die folgende Aussage heißt \stichwort {Jensensche Ungleichung} {.}

\inputfaktbeweis
{Konvexe Funktion/Jensensche Ungleichung/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Es sei \maabbdisp {f} {I} {\R } {} eine \definitionsverweis {konvexe Funktion}{}{,} seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_1 , \ldots , x_n }
{ \in }{I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t_1 , \ldots , t_n }
{ \in }{ \R_{\geq 0} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sum_{i = 1}^n t_i }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f { \left( \sum_{i=1}^n t_i x_i \right) } }
{ \leq} { \sum_{i=1}^n t_i f (x_i) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{ Siehe Aufgabe 20.22. }




\inputdefinition
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {I} {\R } {} eine auf einem Intervall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I }
{ \subseteq }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} definierte Funktion und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c }
{ \in }{I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein innerer Punkt von $I$. Man sagt, dass in $c$ ein \definitionswort {Wendepunkt}{} von $f$ vorliegt, wenn es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart gibt, dass $f$ auf
\mathl{[c-\epsilon,c]}{} \definitionsverweis {konvex}{}{} \zusatzklammer {konkav} {} {} und auf
\mathl{[c,c+\epsilon]}{} \definitionsverweis {konkav}{}{} \zusatzklammer {konvex} {} {} ist.

}

Für eine zweimal differenzierbare Funktion liegt nach Korollar 20.6 genau dann ein Wendepunkt in
\mathl{c \in I}{} vor, wenn
\mathl{f^{\prime \prime} (x) \leq 0}{} für
\mathl{x \in [c - \epsilon, c]}{} und
\mathl{f^{\prime \prime} (x) \geq 0}{} für
\mathl{x \in [c, c + \epsilon ]}{} ist \zusatzklammer {oder umgekehrt} {} {.} Eine notwendige Voraussetzung für die Existenz eines Wendepunktes ist somit, dass
\mathl{f^{\prime \prime} (c) = 0}{} ist. Die Funktion
\mathl{f(x)=x^4}{} erfüllt im Nullpunkt dieses notwendige Kriterium, es liegt aber kein Wendepunkt vor.






\zwischenueberschrift{Ableitung von Potenzreihen}





\inputfaktbeweis
{Komplexe Potenzreihe/Ableitung durch formale Ableitung/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g }
{ =} { \sum _{ n= 0}^\infty a_n (z-a)^{ n } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{}}
\faktvoraussetzung {eine \definitionsverweis {konvergente}{}{} \definitionsverweis {Potenzreihe}{}{} mit dem \definitionsverweis {Konvergenzradius}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist auch die formal abgeleitete Potenzreihe
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tilde{g} }
{ =} { \sum_{n = 1}^\infty n a_n (z-a)^{n-1} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} konvergent mit demselben Konvergenzradius. Die durch die Potenzreihe $g$ dargestellte Funktion $f$ ist in jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z }
{ \in }{ U { \left( a,R \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f'(z) }
{ =} { \tilde{ g}(z) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

\teilbeweis {}{}{}
{Es sei
\mathbed {s \in \R_+} {}
{s<R} {}
{} {} {} {,} vorgegeben und sei
\mathbed {r} {mit}
{s<r<R} {}
{} {} {} {.} Dann konvergiert
\mathl{\sum_{n=0}^\infty \betrag { a_n } r^n}{} gemäß der Definition von Konvergenzradius. Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \leq }{ { \left( \frac{r}{s} \right) }^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für $n$ hinreichend groß ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \sum_{ n = 1}^\infty n \betrag { a_n } s^{n-1} }
{ =} { \sum_{ n = 1}^N n \betrag { a_n } s^{n-1} + \sum_{ n = N+1}^\infty n \betrag { a_n } s^{n-1} }
{ \leq} { \sum_{ n = 1}^N n \betrag { a_n } s^{n-1} + \frac{1}{s}\sum_{ n = N+1}^\infty \betrag { a_n } r^{n} }
{ } { }
{ } { }
} {} {}{,} sodass die Potenzreihe $\tilde{g}$ in
\mathl{B \left( a,s \right)}{} und somit in
\mathl{U { \left( a,R \right) }}{} konvergiert \zusatzklammer {dafür, dass der Konvergenzradius von $\tilde{g}$ nicht größer als $R$ ist, siehe Aufgabe 20.8} {} {.}}
{} \teilbeweis {}{}{}
{Die Potenzreihe
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \rho (z) }
{ =} { \sum_{n = 2}^\infty a_n (z-a)^{n-1} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist ebenfalls in dieser Kreisscheibe konvergent, stellt eine nach Korollar 16.9 stetige Funktion dar und besitzt in $a$ den Wert $0$. Daher zeigt die Gleichung \zusatzklammer {von Potenzreihen und dargestellten Funktionen} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(z) }
{ =} { f(a) + a_1 (z-a) + \rho (z) (z-a) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} dass $f$ in $a$ linear approximierbar, also nach Satz 18.5 differenzierbar ist mit der Ableitung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f'(a) }
{ =} { a_1 }
{ =} { \tilde{g} (a) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}
{} \teilbeweis {}{}{}
{Es sei nun
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ \in }{U { \left( a,R \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Nach dem Entwicklungssatz gibt es eine konvergente Potenzreihe mit Entwicklungspunkt $b$,
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ h(z) }
{ =} { \sum _{ n= 0}^\infty b_n (z-b)^{ n } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} deren dargestellte Funktion mit der durch $g$ dargestellten Funktion in einer offenen Umgebung von $b$ übereinstimmt, und wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b_1 }
{ = }{ \sum_{n = 1}^\infty na_n(b-a)^{n-1} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt. Daher gilt nach dem schon Bewiesenen \zusatzklammer {angewendet auf $h$ und die formale Potenzreihenableitung $\tilde{h}$} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f'(b) }
{ =} { \tilde{h}(b) }
{ =} { b_1 }
{ =} { \sum_{n = 1}^\infty na_n(b-a)^{n-1} }
{ =} { \tilde{g}(b) }
} {}{}{.}}
{}

}





\inputfaktbeweis
{Komplexe Potenzreihe/Unendlich oft differenzierbar/Fakt}
{Korollar}
{}
{

\faktsituation {Eine durch eine Potenzreihe gegebene Funktion}
\faktfolgerung {ist in ihrem Konvergenzbereich unendlich oft differenzierbar.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Dies ergibt sich direkt aus Satz 20.9.

}





\inputfaktbeweis
{Komplexe Exponentialfunktion/Ableitung/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Die \definitionsverweis {Exponentialfunktion}{}{} \maabbeledisp {} { {\mathbb C}} {{\mathbb C} } {z} { \exp z } {,}}
\faktfolgerung {ist \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \exp \!'( z ) }
{ =} { \exp z }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Aufgrund von Satz 20.9 ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \exp \!'( z) }
{ =} { { \left( \sum_{ n =0}^\infty \frac{ z^{ n } }{n!} \right) }' }
{ =} { \sum_{n = 1 }^\infty { \left( \frac{ z^n}{n !} \right) }' }
{ =} { \sum_{n = 1 }^\infty \frac{n }{n !} z^{n-1} }
{ =} { \sum_{n = 1 }^\infty \frac{1 }{(n-1) !} z^{n-1} }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \sum_{ n =0}^\infty \frac{ z^{ n } }{n!} }
{ =} { \exp z }
{ } {}
{ } {}
} {}{.}

}


\inputfaktbeweis
{Natürlicher Logarithmus/Ableitung/Fakt}
{Korollar}
{}
{

\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} des \definitionsverweis {natürlichen Logarithmus}{}{} \maabbeledisp {\ln} {\R_+} {\R } {x} { \ln x } {,}}
\faktfolgerung {ist \maabbeledisp {\ln \!'} {\R_+} {\R } {x} { \frac{1}{x} } {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{ Siehe Aufgabe 20.10. }





\inputfaktbeweis
{Potenzfunktion/Positive Basis/Reeller Exponent/Ableitung/Fakt}
{Korollar}
{}
{

\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \alpha }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\R_+} {\R_+ } {x} {x^\alpha } {,} \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} und ihre \definitionsverweis {Ableitung}{}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f'(x) }
{ =} { \alpha x^{\alpha -1} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Nach Aufgabe 17.1 ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^\alpha }
{ =} { \exp \left( \alpha \, \ln x \right) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} nach $x$ ist aufgrund von Satz 20.11, Korollar 20.12 und der Kettenregel gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(x^\alpha)' }
{ =} { ( \exp \left( \alpha \, \ln x \right) )' }
{ =} { \frac{\alpha}{x} \cdot \exp \left( \alpha\, \ln x \right) }
{ =} { \frac{\alpha}{x} x^\alpha }
{ =} { \alpha x^{\alpha -1} }
} {}{}{.}

}


\inputfaktbeweis
{Eulersche Zahl/Zinsdarstellung und Fakultätsreihe/Fakt}
{Korollar}
{}
{

\faktsituation {Für die \definitionsverweis {eulersche Zahl}{}{} gilt die Gleichheit}
\faktfolgerung {
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{e }
{ =} { \lim_{n \rightarrow \infty} { \left( 1 + \frac{1}{n} \right) }^n }
{ =} { \sum_{k = 0}^\infty \frac{1}{k!} }
{ =} { \exp 1 }
{ } { }
} {}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{Die äußeren Gleichheiten sind Definitionen. Aufgrund von Korollar 20.12 ist
\mathl{\ln \!'( 1) =1}{.} Dies bedeutet aufgrund der Definition des \definitionsverweis {Differentialquotienten}{}{} insbesondere
\mathdisp {\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{ \ln (1+\frac{1}{n}) }{\frac{1}{n} } =1} { . }
Wir schreiben die Folgenglieder der linken Seite als
\mathl{n \cdot \ln { \left( 1+\frac{1}{n} \right) }}{} und wenden darauf die \definitionsverweis {Exponentialfunktion}{}{} an. Daraus ergibt sich unter Verwendung der Stetigkeit und der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion die Gleichungskette
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \exp 1 }
{ =} { \exp \left( \lim_{n \rightarrow \infty} { \left( n \cdot \ln { \left( 1+\frac{1}{n} \right) } \right) } \right) }
{ =} { \lim_{n \rightarrow \infty} \exp \left( n \cdot \ln { \left( 1+\frac{1}{n} \right) } \right) }
{ =} { \lim_{n \rightarrow \infty} { \left( 1+ \frac{1}{n} \right) }^n }
{ =} { e }
} {}

{}{.}}


\inputfaktbeweis
{Komplexe Sinus und Kosinusfunktion/Ableitung/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {}
\faktfolgerung {Die \definitionsverweis {Sinusfunktion}{}{} \maabbeledisp {} { {\mathbb C}} {{\mathbb C} } {z} { \sin z } {,} ist \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sin \!'( z) }
{ =} { \cos z }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und die \definitionsverweis {Kosinusfunktion}{}{}\maabbeledisp {} { {\mathbb C}} {{\mathbb C} } {z} { \cos z } {,} ist differenzierbar mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \cos \!'( z ) }
{ =} { - \sin z }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{ Siehe Aufgabe 20.14. }