Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Vorlesung 20/latex
\setcounter{section}{20}
\zwischenueberschrift{Konvexe Funktionen}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Convex_set.svg} }
\end{center}
\bildtext {Eine konvexe Teilmenge.} }
\bildlizenz { Convex set.svg } {Oleg Alexandrov} {} {Commons} {PD} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Non_Convex_set.svg} }
\end{center}
\bildtext {Eine nichtkonvexe Teilmenge.} }
\bildlizenz { Non Convex set.svg } {Kilom691} {} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
\inputdefinition
{}
{
Eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{\R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt \definitionswort {konvex}{,} wenn mit je zwei Punkten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P,Q
}
{ \in }{T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auch jeder Punkt der Verbindungsstrecke, also jeder Punkt der Form
\mathdisp {rP+(1-r)Q \text{ mit } r \in [0,1]} { , }
ebenfalls zu $T$ gehört.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge und
\maabbdisp {f} {T} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{.}
Dann nennt man die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S(f)
}
{ =} { { \left\{ (x,y) \in T \times \R \mid y \leq f(x) \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
den \definitionswort {Subgraphen}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ E(f)
}
{ =} { { \left\{ (x,y) \in T \times \R \mid y \geq f(x) \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
den \definitionswort {Epigraphen}{} der Funktion.
}
Subgraph und Epigraph sind nach unten bzw. nach oben unbeschränkt. Im Kontext der Integrationstheorie interessiert man sich für den positiven Subgraphen, der durch die $x$-Achse nach unten beschränkt ist. Der Graph der Funktion gehört sowohl zum Subgraphen als auch zum Epigraphen.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Convex supergraph.svg} }
\end{center}
\bildtext {Der Graph und der Epigraph einer konvexen Funktion.} }
\bildlizenz { Convex supergraph.svg } {DieBuche} {} {Commons} {PD} {}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ \subseteq }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Intervall}{}{}
und
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{.}
Man sagt, dass $f$ \definitionswort {konvex}{} ist, wenn der
\definitionsverweis {Epigraph}{}{}
\mathl{E(f)}{}
\definitionsverweis {konvex}{}{}
ist.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Intervall}{}{}
und
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{.}
Man sagt, dass $f$ \definitionswort {konkav}{} ist, wenn der
\definitionsverweis {Subgraph}{}{}
\mathl{S(f)}{}
\definitionsverweis {konvex}{}{}
ist.
}
Bei beiden Begriffen muss man lediglich überprüfen, ob die Verbindungsstrecke zwischen je zwei Punkten des Graphen jeweils oberhalb bzw. unterhalb des Graphen verläuft, siehe
Aufgabe *****.
Die Verbindungsstrecke zwischen
\mathkor {} {(a,f(a))} {und} {(b,f(b))} {}
ist durch
\mathbed {f(a) + s { \frac{ f(b)-f(a) }{ b-a } }} {}
{s \in [0, b-a]} {}
{} {} {} {,}
bzw. als Ausschnitt
\zusatzklammer {zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{[a,b]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
des Graphen zur linearen Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g(x)
}
{ =} { f(b) { \frac{ x-a }{ b-a } } + f(a) { \frac{ x-b }{ a-b } }
}
{ =} { { \frac{ f(b)-f(a) }{ b-a } } x + { \frac{ -af(b) +bf(a) }{ b-a } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben. Im differenzierbaren Fall gibt es einfache Ableitungskriterien für diese Verhaltensweisen, wobei wir nur den konvexen Fall anführen.
\inputfaktbeweis
{Differenzierbare Funktion/Intervall/Konvexität und Ableitung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ \subseteq }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Intervall und
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $f$ genau dann eine konvexe
\zusatzklammer {konkave} {} {}
Funktion, wenn die Ableitung $f'$ wachsend
\zusatzklammer {fallend} {} {}
ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei zunächst $f$ konvex und seien zwei Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ < }{b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
aus $I$ gegeben. Es sei
\maabb {g} {[a,b] } { \R
} {}
die lineare Funktion, die
\mathl{(a,f(a))}{} und
\mathl{(b,f(b))}{} verbindet. Aufgrund der Konvexität ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ \leq }{ g(x)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{ [a,b]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für die Differenzenquotienten gilt daher
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \frac{ f(x)-f(a) }{ x-a } }
}
{ \leq} { { \frac{ g(x)-f(a) }{ x-a } }
}
{ =} { { \frac{ g(x)-g(a) }{ x-a } }
}
{ =} { { \frac{ g(b)-g(a) }{ b-a } }
}
{ =} { { \frac{ g(b)-g(x) }{ b-x } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ f(b)-g(x) }{ b-x } }
}
{ \leq} { { \frac{ f(b)-f(x) }{ b-x } }
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Durch Übergang zu den Limiten für
\mathl{x \rightarrow a}{} bzw.
\mathl{x \rightarrow b}{} folgt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f'(a)
}
{ \leq} { { \frac{ g(b)-g(a) }{ b-a } }
}
{ \leq} { f'(b)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei nun $f$ als nicht konvex vorausgesetzt und seien zwei Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ < }{b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
aus $I$ mit der Eigenschaft gegeben, dass die verbindende Gerade von
\mathkor {} {(a,f(a))} {und} {(b,f(b))} {}
nicht vollständig oberhalb des Graphen von $f$ verläuft. Es gibt also ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ \in }{ [a,b]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g(c)
}
{ < }{ f(c)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei wieder $g$ die verbindende lineare Funktion ist. Durch Übergang zu
\mathl{f-g}{} können wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(a)
}
{ = }{ f(b)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(c)
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
annehmen. Nach dem
Mittelwertsatz
gibt es Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \in }{ [a,c]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t
}
{ \in }{ [c,b]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f'(s)
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f'(t)
}
{ < }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
sodass $f'$ nicht wachsend ist.}
{}
{Differenzierbare Funktion/Intervall/Konvexität und zweite Ableitung/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Intervall}{}{}
und
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
eine zweimal
\definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $f$ genau dann eine konvexe Funktion, wenn für die zweite Ableitung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f^{\prime \prime}(x)
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 20.6. }
Die folgende Aussage heißt \stichwort {Jensensche Ungleichung} {.}
{Konvexe Funktion/Jensensche Ungleichung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {konvexe Funktion}{}{,}
seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_1 , \ldots , x_n
}
{ \in }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t_1 , \ldots , t_n
}
{ \in }{ \R_{\geq 0}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sum_{i = 1}^n t_i
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f { \left( \sum_{i=1}^n t_i x_i \right) }
}
{ \leq} { \sum_{i=1}^n t_i f (x_i)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 20.22. }
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
eine auf einem Intervall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ \subseteq }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
definierte Funktion und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ \in }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein innerer Punkt von $I$. Man sagt, dass in $c$ ein
\definitionswort {Wendepunkt}{}
von $f$ vorliegt, wenn es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass $f$ auf
\mathl{[c-\epsilon,c]}{}
\definitionsverweis {konvex}{}{}
\zusatzklammer {konkav} {} {}
und auf
\mathl{[c,c+\epsilon]}{}
\definitionsverweis {konkav}{}{}
\zusatzklammer {konvex} {} {} ist.
}
Für eine zweimal differenzierbare Funktion liegt nach
Korollar 20.6
genau dann ein Wendepunkt in
\mathl{c \in I}{} vor, wenn
\mathl{f^{\prime \prime} (x) \leq 0}{} für
\mathl{x \in [c - \epsilon, c]}{} und
\mathl{f^{\prime \prime} (x) \geq 0}{} für
\mathl{x \in [c, c + \epsilon ]}{} ist
\zusatzklammer {oder umgekehrt} {} {.}
Eine notwendige Voraussetzung für die Existenz eines Wendepunktes ist somit, dass
\mathl{f^{\prime \prime} (c) = 0}{} ist. Die Funktion
\mathl{f(x)=x^4}{} erfüllt im Nullpunkt dieses notwendige Kriterium, es liegt aber kein Wendepunkt vor.
\zwischenueberschrift{Ableitung von Potenzreihen}
\inputfaktbeweis
{Komplexe Potenzreihe/Ableitung durch formale Ableitung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g
}
{ =} { \sum _{ n= 0}^\infty a_n (z-a)^{ n }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}}
\faktvoraussetzung {eine
\definitionsverweis {konvergente}{}{} \definitionsverweis {Potenzreihe}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {Konvergenzradius}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist auch die formal abgeleitete Potenzreihe
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tilde{g}
}
{ =} { \sum_{n = 1}^\infty n a_n (z-a)^{n-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
konvergent mit demselben Konvergenzradius. Die durch die Potenzreihe $g$ dargestellte Funktion $f$ ist in jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \in }{ U { \left( a,R \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f'(z)
}
{ =} { \tilde{ g}(z)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei
\mathbed {s \in \R_+} {}
{s<R} {}
{} {} {} {,}
vorgegeben und sei
\mathbed {r} {mit}
{s<r<R} {}
{} {} {} {.}
Dann konvergiert
\mathl{\sum_{n=0}^\infty \betrag { a_n } r^n}{} gemäß der Definition von Konvergenzradius. Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \leq }{ { \left( \frac{r}{s} \right) }^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für $n$ hinreichend groß ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \sum_{ n = 1}^\infty n \betrag { a_n } s^{n-1}
}
{ =} { \sum_{ n = 1}^N n \betrag { a_n } s^{n-1} + \sum_{ n = N+1}^\infty n \betrag { a_n } s^{n-1}
}
{ \leq} { \sum_{ n = 1}^N n \betrag { a_n } s^{n-1} + \frac{1}{s}\sum_{ n = N+1}^\infty \betrag { a_n } r^{n}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{,}
sodass die Potenzreihe $\tilde{g}$ in
\mathl{B \left( a,s \right)}{} und somit in
\mathl{U { \left( a,R \right) }}{} konvergiert \zusatzklammer {dafür, dass der Konvergenzradius von $\tilde{g}$ nicht größer als $R$ ist, siehe
Aufgabe 20.8} {} {.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Die Potenzreihe
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \rho (z)
}
{ =} { \sum_{n = 2}^\infty a_n (z-a)^{n-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist ebenfalls in dieser Kreisscheibe konvergent, stellt eine nach
Korollar 16.9
stetige Funktion dar und besitzt in $a$ den Wert $0$. Daher zeigt die Gleichung
\zusatzklammer {von Potenzreihen und dargestellten Funktionen} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(z)
}
{ =} { f(a) + a_1 (z-a) + \rho (z) (z-a)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
dass $f$ in $a$ linear approximierbar, also nach
Satz 18.5
differenzierbar ist mit der Ableitung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f'(a)
}
{ =} { a_1
}
{ =} { \tilde{g} (a)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei nun
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ \in }{U { \left( a,R \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Nach dem
Entwicklungssatz
gibt es eine konvergente Potenzreihe mit Entwicklungspunkt $b$,
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ h(z)
}
{ =} { \sum _{ n= 0}^\infty b_n (z-b)^{ n }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
deren dargestellte Funktion mit der durch $g$ dargestellten Funktion in einer offenen Umgebung von $b$ übereinstimmt, und wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b_1
}
{ = }{ \sum_{n = 1}^\infty na_n(b-a)^{n-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt. Daher gilt nach dem schon Bewiesenen
\zusatzklammer {angewendet auf $h$ und die formale Potenzreihenableitung $\tilde{h}$} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f'(b)
}
{ =} { \tilde{h}(b)
}
{ =} { b_1
}
{ =} { \sum_{n = 1}^\infty na_n(b-a)^{n-1}
}
{ =} { \tilde{g}(b)
}
}
{}{}{.}}
{}
\inputfaktbeweis
{Komplexe Potenzreihe/Unendlich oft differenzierbar/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Eine durch eine Potenzreihe gegebene Funktion}
\faktfolgerung {ist in ihrem Konvergenzbereich unendlich oft differenzierbar.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies ergibt sich direkt aus Satz 20.9.
\inputfaktbeweis
{Komplexe Exponentialfunktion/Ableitung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Die
\definitionsverweis {Exponentialfunktion}{}{}
\maabbeledisp {} { {\mathbb C}} {{\mathbb C}
} {z} { \exp z
} {,}}
\faktfolgerung {ist
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \exp \!'( z )
}
{ =} { \exp z
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Aufgrund von Satz 20.9 ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \exp \!'( z)
}
{ =} { { \left( \sum_{ n =0}^\infty \frac{ z^{ n } }{n!} \right) }'
}
{ =} { \sum_{n = 1 }^\infty { \left( \frac{ z^n}{n !} \right) }'
}
{ =} { \sum_{n = 1 }^\infty \frac{n }{n !} z^{n-1}
}
{ =} { \sum_{n = 1 }^\infty \frac{1 }{(n-1) !} z^{n-1}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \sum_{ n =0}^\infty \frac{ z^{ n } }{n!}
}
{ =} { \exp z
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
{Natürlicher Logarithmus/Ableitung/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Die
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
des
\definitionsverweis {natürlichen Logarithmus}{}{}
\maabbeledisp {\ln} {\R_+} {\R
} {x} { \ln x
} {,}}
\faktfolgerung {ist
\maabbeledisp {\ln \!'} {\R_+} {\R
} {x} { \frac{1}{x}
} {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 20.10. }
\inputfaktbeweis
{Potenzfunktion/Positive Basis/Reeller Exponent/Ableitung/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \alpha
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\maabbeledisp {f} {\R_+} {\R_+
} {x} {x^\alpha
} {,}
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
und ihre
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f'(x)
}
{ =} { \alpha x^{\alpha -1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Nach
Aufgabe 17.1
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^\alpha
}
{ =} { \exp \left( \alpha \, \ln x \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
nach $x$ ist aufgrund von
Satz 20.11,
Korollar 20.12
und
der Kettenregel
gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(x^\alpha)'
}
{ =} { ( \exp \left( \alpha \, \ln x \right) )'
}
{ =} { \frac{\alpha}{x} \cdot \exp \left( \alpha\, \ln x \right)
}
{ =} { \frac{\alpha}{x} x^\alpha
}
{ =} { \alpha x^{\alpha -1}
}
}
{}{}{.}
{Eulersche Zahl/Zinsdarstellung und Fakultätsreihe/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Für die
\definitionsverweis {eulersche Zahl}{}{}
gilt die Gleichheit}
\faktfolgerung {
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{e
}
{ =} { \lim_{n \rightarrow \infty} { \left( 1 + \frac{1}{n} \right) }^n
}
{ =} { \sum_{k = 0}^\infty \frac{1}{k!}
}
{ =} { \exp 1
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{Die äußeren Gleichheiten sind Definitionen. Aufgrund von
Korollar 20.12
ist
\mathl{\ln \!'( 1) =1}{.} Dies bedeutet aufgrund der Definition des
\definitionsverweis {Differentialquotienten}{}{}
insbesondere
\mathdisp {\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{ \ln (1+\frac{1}{n}) }{\frac{1}{n} } =1} { . }
Wir schreiben die Folgenglieder der linken Seite als
\mathl{n \cdot \ln { \left( 1+\frac{1}{n} \right) }}{} und wenden darauf die
\definitionsverweis {Exponentialfunktion}{}{}
an. Daraus ergibt sich unter Verwendung der
Stetigkeit
und der
Funktionalgleichung
der Exponentialfunktion die Gleichungskette
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \exp 1
}
{ =} { \exp \left( \lim_{n \rightarrow \infty} { \left( n \cdot \ln { \left( 1+\frac{1}{n} \right) } \right) } \right)
}
{ =} { \lim_{n \rightarrow \infty} \exp \left( n \cdot \ln { \left( 1+\frac{1}{n} \right) } \right)
}
{ =} { \lim_{n \rightarrow \infty} { \left( 1+ \frac{1}{n} \right) }^n
}
{ =} { e
}
}
{}
{Komplexe Sinus und Kosinusfunktion/Ableitung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {}
\faktfolgerung {Die
\definitionsverweis {Sinusfunktion}{}{}
\maabbeledisp {} { {\mathbb C}} {{\mathbb C}
} {z} { \sin z
} {,}
ist
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sin \!'( z)
}
{ =} { \cos z
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und die
\definitionsverweis {Kosinusfunktion}{}{}\maabbeledisp {} { {\mathbb C}} {{\mathbb C}
} {z} { \cos z
} {,}
ist differenzierbar mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \cos \!'( z )
}
{ =} { - \sin z
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 20.14. }