Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/Vorlesung 58/latex
\setcounter{section}{58}
\zwischenueberschrift{Wegintegrale und Gradientenfelder}
\inputfaktbeweis
{Gradientenfeld/Wegintegral/Berechnung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
und
\maabbdisp {h} {U} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{}
mit dem zugehörigen
\definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ = }{
\operatorname{Grad} \, h
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\maabb {\gamma} {[a,b]} {U
} {}
ein
\definitionsverweis {stetig differenzierbarer Weg}{}{}
in $U$.}
\faktfolgerung {Dann gilt für das
\definitionsverweis {Wegintegral}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_\gamma G
}
{ =} { h(\gamma(b)) - h(\gamma(a))
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {D.h. das Wegintegral hängt nur vom Anfangs- und Endpunkt des Weges ab\zusatzfussnote {In einem Potentialfeld ist also die geleistete Arbeit gleich der Potentialdifferenz von Start- und Endpunkt} {.} {.}}
\faktzusatz {}
}
{
Aufgrund der
Kettenregel
ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{\int_\gamma G
}
{ =} { \int_a^b \left\langle G(\gamma(t)) , \gamma'(t) \right\rangle dt
}
{ =} {\int_a^b \sum_{i = 1}^n G_i(\gamma(t)) \cdot \gamma_i'(t) dt
}
{ =} {\int_a^b \sum_{i = 1}^n { \frac{ \partial h }{ \partial x_i } }(\gamma(t)) \cdot \gamma_i'(t) dt
}
{ =} {\int_a^b (h \circ \gamma )^{\prime} (t) dt
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { h(\gamma(b))- h (\gamma(a))
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
\inputfaktbeweis
{Gradientenfeld/Geschlossenes Wegintegral/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{\R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
und
\maabbdisp {h} {U} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{}
mit dem zugehörigen
\definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ = }{
\operatorname{Grad} \, h
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\maabb {\gamma} {[a,b]} {U
} {}
ein
\definitionsverweis {stetig differenzierbarer Weg}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma(a)
}
{ = }{ \gamma(b)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_\gamma G
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt direkt aus Lemma 58.1.
\inputfaktbeweis
{Teilmenge/R^n/Gradientenfeld/Charakterisierung mit Wegintegralen/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene}{}{}}
\faktvoraussetzung {\definitionsverweis {zusammenhängende Teilmenge}{}{}
und
\maabbdisp {G} {U} {\R^n
} {}
ein
\definitionsverweis {stetiges}{}{}
\definitionsverweis {Vektorfeld}{}{.}}
\faktuebergang {Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungzwei {$G$ ist ein
\definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{.}
} {Für jeden
\definitionsverweis {stetig differenzierbaren Weg}{}{}
\maabb {\gamma} {[a,b]} {U
} {}
hängt das
\definitionsverweis {Wegintegral}{}{}
\mathl{\int_\gamma G}{} nur vom Anfangspunkt
\mathl{\gamma(a)}{} und Endpunkt
\mathl{\gamma(b)}{} ab.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Die Implikation
\mathl{(1) \Rightarrow (2)}{} folgt aus
Lemma 58.1.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei umgekehrt die Eigenschaft $(2)$ erfüllt. Wir geben eine auf $U$ definierte Funktion $h$ an, die differenzierbar ist und deren
\definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{}
gleich dem vorgegebenen Vektorfeld ist. Dazu sei ein Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
fixiert. Für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q
}
{ \in }{U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es einen
\definitionsverweis {stetig differenzierbaren Weg}{}{\zusatzfussnote {Aus der Existenz eines verbindenden stetigen Weges folgt die Existenz eines verbindenden stetig differenzierbaren Weges. Man könnte also auch diese Eigenschaft als Definition für zusammenhängend nehmen} {.} {}}
\maabbdisp {\gamma} {[a,b]} {U
} {}
mit
\mathkor {} {\gamma(a)=P} {und} {\gamma(b)=Q} {.}
Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h (Q)
}
{ \defeq} { \int_\gamma G
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Aufgrund der vorausgesetzten Wegunabhängigkeit des Integrals ist
\mathl{h(Q)}{} wohldefiniert. Wir müssen zeigen, dass diese so definierte Funktion in jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q
}
{ \in }{U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und in jede Richtung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ = }{(v_1 , \ldots , v_n)
}
{ \in }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
ist und die Richtungsableitung mit
\mathl{\left\langle G(Q) , v \right\rangle}{} übereinstimmt. Dazu betrachten wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ h (Q+tv) - h (Q)
}
{ =} { \int_\delta G
}
{ =} { \int_0^t \left\langle G(Q+sv) , v \right\rangle ds
}
{ =} { \int_0^t \sum_{i = 1}^n G_i(Q+sv) \cdot v_i ds
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei $\delta$ der verbindende lineare Weg von $Q$ nach
\mathl{Q+tv}{} auf
\mathl{[0,t]}{} sei
\zusatzklammer {und $t$ hinreichend klein sei, so dass
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ Q+tv
}
{ \in }{U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist} {} {.}
Für den
\definitionsverweis {Differentialquotienten}{}{}
ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \operatorname{lim}_{ t \rightarrow 0 } \, { \frac{ h (Q+tv) - h (Q) }{ t } }
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n \operatorname{lim}_{ t \rightarrow 0 } \, { \frac{ 1 }{ t } } \int_0^t G_i(Q+sv) \cdot v_i ds
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n G_i(Q) \cdot v_i
}
{ =} { \left\langle G(Q) , v \right\rangle
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Somit existiert die Richtungsableitung von $h$ in Richtung $v$ und hängt stetig von $Q$ ab. Diese Gleichung zeigt ferner
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( Dh \right) }_{Q} { \left( v \right) }
}
{ =} { { \left( D_{v} h \right) } { \left( Q \right) }
}
{ =} { \left\langle G(Q) , v \right\rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
so dass $G$ das Gradientenfeld zu $h$ ist.}
{}
\zwischenueberschrift{Die Integrabilitätsbedingung}
Wie kann man erkennen, ob ein gegebenes Vektorfeld ein Gradientenfeld ist? Eine notwendige Bedingung schlägt sich in der folgenden Definition nieder.
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{\R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
und
\maabbdisp {G} {U} {\R^n
} {}
ein
\definitionsverweis {differenzierbares}{}{}
\definitionsverweis {Vektorfeld}{}{.}
Man sagt, dass $G$ die
\definitionswort {Integrabilitätsbedingung}{}
erfüllt
\zusatzklammer {oder
\definitionswort {lokal integrabel}{} ist} {} {,}
wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial G_i }{ \partial x_j } }(P)
}
{ =} { { \frac{ \partial G_j }{ \partial x_i } }(P)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und alle $i, j$ gilt.
}
\inputfaktbeweis
{Gradientenfeld/Integrabilitätsbedingung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Das
\definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{}
einer}
\faktvoraussetzung {\definitionsverweis {zweimal stetig differenzierbaren}{}{}
\definitionsverweis {Funktion}{}{}}
\faktfolgerung {erfüllt die
\definitionsverweis {Integrabilitätsbedingung}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt direkt aus Satz 44.8.
\inputbeispiel{}
{
Das lineare
\definitionsverweis {Vektorfeld}{}{}
\maabbeledisp {G} {\R^2} {\R^2
} { \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}} { \begin{pmatrix} -y \\x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}
} {,}
erfüllt wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial G_1 }{ \partial y } }
}
{ =} { -1
}
{ \neq} {1
}
{ =} { { \frac{ \partial G_2 }{ \partial x } }
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nicht die
\definitionsverweis {Integrabilitätsbedingung}{}{.}
Es kann also nach
Lemma 58.5
kein
\definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{}
sein.
}
\inputdefinition
{}
{
Eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt
\definitionswort {sternförmig}{}
bezüglich eines Punktes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wenn für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q
}
{ \in }{T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Verbindungsstrecke
\mathbed {sQ+(1-s) P} {}
{s \in [0,1]} {}
{} {} {} {,}
ganz in $T$ liegt.
}
\inputfaktbeweis
{Teilmenge/R^n/Sternförmig/Gradientenfeld/Charakterisierung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine}
\faktvoraussetzung {\definitionsverweis {sternförmige}{}{}
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
und
\maabbdisp {G} {U} {\R^n
} {}
ein
\definitionsverweis {stetig differenzierbares}{}{}
\definitionsverweis {Vektorfeld}{}{.}}
\faktuebergang {Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{$G$ ist ein
\definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{.}
}{$G$ erfüllt die
\definitionsverweis {Integrabilitätsbedingung}{}{.}
}{Für jeden
\definitionsverweis {stetig differenzierbaren Weg}{}{}
\maabb {\gamma} {[a,b]} {U
} {}
hängt das
\definitionsverweis {Wegintegral}{}{}
\mathl{\int_\gamma G}{} nur vom Anfangspunkt
\mathl{\gamma(a)}{} und Endpunkt
\mathl{\gamma(b)}{} ab.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Äquivalenz
\mathl{(1) \Longleftrightarrow (3)}{} folgt aus
Satz 58.3
und die Implikation
\mathl{(1) \Longrightarrow (2)}{} aus
Lemma 58.5.
Es bleibt also
\mathl{(2) \Longrightarrow (1)}{} zu zeigen, wobei wir explizit eine Stammfunktion $h$ zum Vektorfeld $G$ angeben. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt derart, dass $U$ bezüglich $P$
\definitionsverweis {sternförmig}{}{}
ist. Wir definieren
\mathl{h (Q)}{} über das
\definitionsverweis {Wegintegral}{}{}
zu $G$ zum linearen Verbindungsweg
\maabbeledisp {\gamma} {[0,1] } { U
} {t} { P+ t(Q-P)
} {,}
also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ h (Q)
}
{ \defeq} { \int_\gamma G
}
{ =} { \int_0^1 \left\langle G(\gamma(t)) , Q-P \right\rangle dt
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir müssen zeigen, dass der
\definitionsverweis {Gradient}{}{}
zu $h$ gleich $G$ ist, d.h. es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial h }{ \partial x_i } }
}
{ =} { G_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{}
zu zeigen. Dafür können wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
annehmen und wir schreiben $v$ statt $Q$. Mit diesen Bezeichnungen und Voraussetzungen ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \frac{ \partial }{ \partial x_i } } h (v)
}
{ =} { { \frac{ \partial }{ \partial x_i } } { \left( \int_0^1 \left\langle G(tv) , v \right\rangle dt \right) }
}
{ =} { \int_0^1 { \left( { \frac{ \partial }{ \partial x_i } } \left\langle G(tv) , v \right\rangle \right) } dt
}
{ =} { \int_0^1 { \left( { \frac{ \partial }{ \partial x_i } } { \left( \sum_{j=1}^n G_j(tv) \cdot v_j \right) } \right) } dt
}
{ =} { \int_0^1 t \sum_{j= 1}^n v_j { \left( { \frac{ \partial }{ \partial x_i } } G_j \right) } (tv) + G_i(tv) dt
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \int_0^1 t \sum_{j= 1}^n v_j { \left( { \frac{ \partial }{ \partial x_j } } G_i \right) } (tv) + G_i(tv) dt
}
{ =} { \int_0^1 { \left( t \mapsto t \cdot G_i(tv) \right) }^\prime dt
}
{ =} { { \left( t \cdot G_i(tv) \right) } {{|}}_0^1
}
{ =} { G_i (v)
}
}
{}{.}
Dabei beruht die zweite Gleichung auf
der Vertauschbarkeit von Integration und Differentiation
\zusatzklammer {das haben wir nicht bewiesen} {} {}
\zusatzklammer {angewendet auf die stetig differenzierbare Funktion
\maabbele {} {[0,1] \times U} { \R
} {(t,v)} { \left\langle G(tv) , v \right\rangle
} {}} {} {,}
die vierte Gleichung auf
Aufgabe 45.15,
die fünfte Gleichung auf der Integrabilitätsbedingung, die sechste Gleichung auf der
Kettenregel
und der Produktregel und die siebte Gleichung auf der
Newton-Leibniz-Formel.
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten das
\definitionsverweis {Vektorfeld}{}{}
\maabbeledisp {G} {\R^2 \setminus \{(0,0)\}} {\R^2
} { \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} } { { \frac{ 1 }{ x^2+y^2 } } \begin{pmatrix} -y \\x \end{pmatrix}
} {.}
Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial G_1 }{ \partial y } }
}
{ =} { { \frac{ \partial }{ \partial y } } { \left( { \frac{ -y }{ x^2+y^2 } } \right) }
}
{ =} { { \frac{ -(x^2+y^2)+y(2y) }{ (x^2+y^2)^2 } }
}
{ =} { { \frac{ -x^2+y^2 }{ (x^2+y^2)^2 } }
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial G_2 }{ \partial x } }
}
{ =} { { \frac{ \partial }{ \partial x } } { \left( { \frac{ x }{ x^2+y^2 } } \right) }
}
{ =} { { \frac{ (x^2+y^2)-x(2x) }{ (x^2+y^2)^2 } }
}
{ =} { { \frac{ -x^2+y^2 }{ (x^2+y^2)^2 } }
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllt dieses Vektorfeld die
\definitionsverweis {Integrabilitätsbedingung}{}{.}
Es handelt sich aber nicht um ein
\definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{:}
Das
\definitionsverweis {Wegintegral}{}{}
zur
\zusatzklammer {geschlossenen} {} {}
trigonometrischen Parametrisierung des Einheitskreises
\maabbeledisp {\gamma} {[0,2 \pi]} { \R^2
} {t} { \begin{pmatrix} \cos t \\ \sin t \end{pmatrix}
} {,}
ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{\int_\gamma G
}
{ =} { \int_0^{2 \pi} \left\langle G(\gamma(t)) , \begin{pmatrix} - \sin t \\ \cos t \end{pmatrix} \right\rangle dt
}
{ =} { \int_0^{2 \pi} \left\langle \begin{pmatrix} - \sin t \\ \cos t \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} - \sin t \\ \cos t \end{pmatrix} \right\rangle dt
}
{ =} {\int_0^{2 \pi} \sin^{ 2 } t + \cos^{ 2 } t dt
}
{ =} { \int_0^{2 \pi} 1 dt
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {2 \pi
}
{ \neq} {0
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}
im Gegensatz zu
Korollar 58.2.
}