Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Arbeitsblatt 66



Aufwärmaufgaben

Es seien und zwei halboffene Intervalle (mit und ). Beschreibe den Durchschnitt als eine disjunkte Vereinigung von halboffenen Intervallen.



Es sei das Mengensystem, das aus allen endlichen disjunkten Vereinigungen von offenen, abgeschlossenen, einseitig halboffenen, leeren, beschränkten oder unbeschränkten reellen Intervallen besteht. Zeige, dass eine Mengenalgebra ist.



Man gebe ein Beispiel für eine beschränkte Teilmenge , die man als eine abzählbare disjunkte Vereinigung von rechtsseitig halboffenen Intervallen schreiben kann, aber nicht als eine endliche Vereinigung.



Zeige, dass unter einer polynomialen Funktion

vom Grad das Urbild eines rechtsseitig halboffenen Intervalls nicht rechtsseitig halboffen sein muss.



Es sei eine messbare beschränkte Teilmenge. Zeige, dass ist.



Es seien endlich viele linear unabhängige Vektoren gegeben und es sei

das dadurch erzeugte Parallelotop. Zeige, dass beschränkt ist.



Es sei , , eine nichtleere offene Teilmenge. Zeige, dass ist. Zeige ebenso, dass dies für abgeschlossene Mengen nicht gelten muss.



Man gebe ein Beispiel für ein - endliches Maß auf an, das auf allen Intervallen mit positiver Länge den Wert besitzt.



Es seien und reelle Vektorräume und

eine injektive lineare Abbildung. Zeige, dass das Bild eines Parallelotops wieder ein Parallelotop ist.



Zeige, dass das Zählmaß auf dem translationsinvariant, aber auf dem Einheitswürfel nicht beschränkt ist.



Zeige, dass das Gittermaß zum Gitterabstand auf dem nicht translationsinvariant, aber auf dem Einheitswürfel beschränkt ist.



Die Grundfläche eines Kochtopfes sei eine Kreisscheibe mit Radius cm, der Topf sei cm hoch und auf die Höhe von cm mit Wasser gefüllt. Eine Kartoffel wird in den Topf geworfen und taucht voll unter, wobei das Wasser auf eine Höhe von cm ansteigt.

a) Berechne das Volumen der Kartoffel (rechne mit ; Einheit nicht vergessen)!

b) Welche maßtheoretischen Gesetzmäßigkeiten wurden bei der Berechnung von a) verwendet?

c) Handelt es sich um eine große oder um eine kleine Kartoffel?



Eine Bratpfanne hat einen Durchmesser von cm und wird mit Öl und mit kreisrunden Bratkartoffeln überschneidungsfrei bedeckt, die alle einen Durchmesser von cm und eine Höhe von cm haben. Das Öl bildet unterhalb der Bratkartoffeln einen dünnen Ölfilm von mm Höhe und erreicht in den Zwischenräumen eine Höhe von mm.

a) Wie viel Öl befindet sich in der Pfanne (rechne mit ; Einheit nicht vergessen)?

b) Welche maßtheoretischen Gesetzmäßigkeiten wurden bei der Berechnung von a) verwendet?




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass sich eine Teilmenge genau dann als eine endliche Vereinigung von rechtsseitig halboffenen Intervallen schreiben lässt, wenn dies mit endlich vielen disjunkten rechtsseitig halboffenen Intervallen möglich ist.



Aufgabe (6 (3+3) Punkte)

Es sei der Mengen-Präring aller Teilmengen , die sich als eine endliche Vereinigung von (rechtsseitig) halboffenen Intervallen schreiben lassen. Beweise folgende Aussagen.

  1. Die zu über eine Zerlegung in disjunkte halboffene Intervalle

    definierte Zahl

    ist wohldefiniert.

  2. Durch die Zuordnung wird ein Prämaß auf diesem Präring definiert.


Die Cantor-Menge ist das Endprodukt des in dieser Skizze angedeuteten Ausdünnungsprozesses.

Aufgabe (5 (1+2+2) Punkte)

Die Cantor-Menge ist definiert durch

a) Zeige, dass überabzählbar ist.

b) Zeige, dass eine Borel-Menge ist.

c) Zeige .



Aufgabe (6 Punkte)

Es sei eine Basis des . Zeige, dass das von diesen Vektoren erzeugte Parallelotop einen achsenparallelen Würfel (mit positiver Länge) enthält.



Aufgabe (12 Punkte)

Es sei ein Maß auf dem , das für alle offenen Bällen mit dem Borel-Lebesgue-Maß übereinstimmt. Zeige .

(Für den zweidimensionalen Fall gibt es 10 Punkte.)


Aufgabe (5 Punkte)

Man gebe eine Beispiel für eine offene Menge , deren Abschluss das Einheitsintervall ist, deren Borel-Lebesgue-Maß aber kleiner als ist.



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