Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Arbeitsblatt 65
- Aufwärmaufgaben
Es seien und zwei - endliche Maßräume, es seien und zwei Messräume und es seien
und
zwei messbare Abbildungen, unter denen die Bildmaße und -endlich seien. Zeige, dass für das Bildmaß unter der Produktabbildung die Gleichung
gilt.
Wir betrachten die beiden Rechtecke
Zeige, dass das durch die drei Punkte und gegebene abgeschlossene Dreieck nicht zum Produktpräring von und gehört.
(mit und ) überdecken lässt.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (5 Punkte)
Zeige, dass die offene Einheitskreisscheibe nicht zum Produktpräring von und gehört.
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei die Vereinigung der drei Quader
im . Bestimme
für jedes und
für jedes (dabei ist einfach die Summe der Länge der disjunkten Intervalle, aus denen sich zusammensetzt).
Einen Maßraum mit dem Gesamtmaß nennt man einen Wahrscheinlichkeitsraum. Für die Wahrscheinlichkeitstheorie ist das folgende Konzept enorm wichtig.
Es sei ein Wahrscheinlichkeitsraum. Man nennt zwei - Algebren unabhängig, wenn für jedes und jedes die Gleichheit
gilt.
Aufgabe (4 Punkte)
Es seien und zwei Wahrscheinlichkeitsräume und ihr Produktraum. Zeige, dass die „Zylinderalgebren“
unabhängig sind.
- Aufgabe zum Hochladen
Aufgabe * (8 Punkte)
Man schreibe eine Animation, die die Unabhängigkeit des Maßes von der Quaderzerlegung im Beweis zu Lemma 65.3 (1) am Beispiel des deutlich macht. Insbesondere soll die Einführung eines Rasters und der Begriff der Verfeinerung sichtbar werden.
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