Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Arbeitsblatt 71/latex

\setcounter{section}{71}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x,y) }
{ =} { x^3-yx^2+7 \sin y }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Berechne die Integrale zum Parameter
\mathl{y \in [0,\pi]}{} über
\mathl{x \in [0,1]}{} und zum Parameter
\mathl{x \in [0,1]}{} über
\mathl{y \in [0,\pi ]}{.} Bestimme jeweils die extremalen Integrale.

}
{} {}

Mit Aufgabe 71.10 ist jetzt die folgende Aufgabe einfach zu lösen.


\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {{]0,1]}} {[0, \infty [ } {} eine stetige, streng fallende, bijektive Funktion mit der ebenfalls stetigen Umkehrfunktion \maabbdisp {f^{-1}} {{[0, \infty[} } {{]0,1]} } {.} Es sei vorausgesetzt, dass das uneigentliche Integral
\mathl{\int_{ 0 }^{ 1 } f(t) \, d t}{} existiert. Zeige, dass dann auch das uneigentliche Integral
\mathl{\int_{ 0 }^{ \infty } f^{-1}(y) \, d y}{} existiert und dass der Wert dieser beiden Integrale übereinstimmt.

}
{} {}

Zur folgenden Aufgabe vergleiche Aufgabe 12.11 und Beispiel 35.5.


\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{E }
{ =} {{ \left\{ { \frac{ 1 }{ n } } \mid n \in \N_+ \right\} } \cup \{0\} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} \zusatzklammer {mit der von $\R$ induzierten Metrik} {} {} und es seien \zusatzklammer {\mathlk{n \in \N_+}{}} {} {} \maabbdisp {g, f_n} {M} {\R } {} \definitionsverweis {messbare Funktionen}{}{} auf einem $\sigma$-\definitionsverweis {endlichen}{}{} \definitionsverweis {Maßraum}{}{} $M$. Wir betrachten die Funktion \maabbdisp {f} {E \times M } {\R } {} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f({ \frac{ 1 }{ n } },x) }
{ =} { f_n(x) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(0,x) }
{ =} { g(x) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Diskutiere den Satz von der majorisierten Konvergenz und Satz 71.1 in dieser Situation.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mathl{(M, {\mathcal A }, \mu)}{} ein \definitionsverweis {endlicher}{}{} \definitionsverweis {Maßraum}{}{} und
\mathbed {A_t} {}
{t \in \R} {}
{} {} {} {,} eine Familie von \definitionsverweis {messbaren Mengen}{}{} mit den zugehörigen Indikatorfunktionen
\mathl{e_{ A_t }}{.} Wir betrachten die Abbildung \maabbeledisp {f} {\R \times M} { \R } {(t,x)} {f(t,x) = e_{ A_t }(x) } {.}

Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {\R} {\R } {t} { \varphi(t) = \int_{ M } f(t,x) \, d \mu(x) } {,} nicht stetig sein muss. Welche Voraussetzungen aus Satz 71.1 sind erfüllt, welche nicht?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \maabb {h} {[a,b]} {\R } {} und \maabb {g} {[c,d]} {\R } {} differenzierbare Funktionen. Bestätige Satz 71.2 für

a)
\mathl{f(x,y) =g(x) + h(y)}{,}

b)
\mathl{f(x,y) =g(x) \cdot h(y)}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die dritte Bedingung in Korollar 71.3 äquivalent zur Existenz von nichtnegativen, integrierbaren Funktionen \maabbdisp {h_i} {M} {\R } {} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert { { \frac{ \partial f }{ \partial z_i } } (z,x) } \Vert }
{ \leq} { h_i(x) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Begründe die Additivität des Integrals mit Hilfe von Satz 71.5.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Es seien \mathkor {} {[a,b]} {und} {[c,d]} {} \definitionsverweis {kompakte Intervalle}{}{} und es sei \maabbeledisp {f} { [a,b] \times [c,d]} {\R } {(x,y)} {f(x,y) } {,} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.} Zeige mit Hilfe von Satz 71.1, dass auch die Funktion \maabbeledisp {} {[a,b]} {\R } {x} { \int_{ c }^{ d } f(x,y) \, d y } {,} stetig ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Fakultätsfunktion}{}{}
\mathl{\operatorname{Fak} \, (x)}{} beliebig oft \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} ist mit den Ableitungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Fak} \, (x) }
{ =} { \int_{ 0 }^{ \infty } ( \ln t)^n t^x e^{-t} \, d t }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}