Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Arbeitsblatt 71

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei

${}f(x,y)=x^{3}-yx^{2}+7\sin y\,.$

Berechne die Integrale zum Parameter ${}y\in [0,\pi ]$ über ${}x\in [0,1]$ und zum Parameter ${}x\in [0,1]$ über ${}y\in [0,\pi ]$. Bestimme jeweils die extremalen Integrale.

Mit Aufgabe 71.10 ist jetzt die folgende Aufgabe einfach zu lösen.

Aufgabe *

Es sei

$f\colon {]0,1]}\longrightarrow [0,\infty [$

eine stetige, streng fallende, bijektive Funktion mit der ebenfalls stetigen Umkehrfunktion

$f^{-1}\colon {[0,\infty [}\longrightarrow {]0,1]}.$

Es sei vorausgesetzt, dass das uneigentliche Integral ${}\int _{0}^{1}f(t)\,dt$ existiert. Zeige, dass dann auch das uneigentliche Integral ${}\int _{0}^{\infty }f^{-1}(y)\,dy$ existiert und dass der Wert dieser beiden Integrale übereinstimmt.

Zur folgenden Aufgabe vergleiche Aufgabe 12.11 und Beispiel 35.5.

Aufgabe

Es sei

${}E={\left\{{\frac {1}{n}}\mid n\in \mathbb {N} _{+}\right\}}\cup \{0\}\,,$

(mit der von ${}\mathbb {R}$ induzierten Metrik) und es seien ($n\in \mathbb {N} _{+}$)

$g,f_{n}\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

messbare Funktionen auf einem ${}\sigma$- endlichen Maßraum ${}M$. Wir betrachten die Funktion

$f\colon E\times M\longrightarrow \mathbb {R}$

mit

${}f({\frac {1}{n}},x)=f_{n}(x)\,$

und

${}f(0,x)=g(x)\,.$

Diskutiere den Satz von der majorisierten Konvergenz und Satz 71.1 in dieser Situation.

Aufgabe *

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein endlicher Maßraum und ${}A_{t}$, ${}t\in \mathbb {R}$, eine Familie von messbaren Mengen mit den zugehörigen Indikatorfunktionen ${}e_{A_{t}}$. Wir betrachten die Abbildung

$f\colon \mathbb {R} \times M\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,x)\longmapsto f(t,x)=e_{A_{t}}(x).$

Zeige, dass die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto \varphi (t)=\int _{M}f(t,x)\,d\mu (x),$

nicht stetig sein muss. Welche Voraussetzungen aus Satz 71.1 sind erfüllt, welche nicht?

Aufgabe

Es seien ${}h\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ und ${}g\colon [c,d]\rightarrow \mathbb {R}$ differenzierbare Funktionen. Bestätige Satz 71.2 für

a) ${}f(x,y)=g(x)+h(y)$,

b) ${}f(x,y)=g(x)\cdot h(y)$.

Aufgabe

Zeige, dass die dritte Bedingung in Korollar 71.3 äquivalent zur Existenz von nichtnegativen, integrierbaren Funktionen

$h_{i}\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

mit

${}\Vert {{\frac {\partial f}{\partial z_{i}}}(z,x)}\Vert \leq h_{i}(x)\,$

ist.

Aufgabe

Begründe die Additivität des Integrals mit Hilfe von Satz 71.5.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}[a,b]$ und ${}[c,d]$ kompakte Intervalle und es sei

$f\colon [a,b]\times [c,d]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto f(x,y),$

eine stetige Funktion. Zeige mit Hilfe von Satz 71.1, dass auch die Funktion

$[a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \int _{c}^{d}f(x,y)\,dy,$

stetig ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Fakultätsfunktion ${}\operatorname {Fak} \,(x)$ beliebig oft differenzierbar ist mit den Ableitungen

${}\operatorname {Fak} \,(x)=\int _{0}^{\infty }(\ln t)^{n}t^{x}e^{-t}\,dt\,.$