Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Lineare Algebra



Anhang A - Einige wichtige Sätze der linearen Algebra

Satz

Es sei ein Körper, und seien -Vektorräume und

sei eine -lineare Abbildung. Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Für einen Untervektorraum ist auch das Bild ein Untervektorraum von .
  2. Insbesondere ist das Bild der Abbildung ein Untervektorraum von .
  3. Für einen Untervektorraum ist das Urbild ein Untervektorraum von .
  4. Insbesondere ist ein Untervektorraum von .

Satz

Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über der gleichen Dimension . Es sei

eine lineare Abbildung.

Dann ist genau dann injektiv, wenn surjektiv ist.


Satz

Es sei ein Körper und es sei ein -dimensionaler -Vektorraum. Es sei

eine lineare Abbildung.

Dann ist genau dann ein Eigenwert von , wenn eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist.


Satz

Es sei eine quadratische Matrix mit komplexen Einträgen.

Dann ist trigonalisierbar.


Satz

Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über der Dimension bzw. . Es sei

eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix beschrieben werde.

Dann gilt


Satz

Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über .

Dann gibt es elementare Zeilenumformungen und eine (Neu-)Nummerierung der Spalten

und ein derart, dass in der entstandenen Matrix die Spalten die Gestalt

und

besitzen. Durch elementare Zeilenumformungen und zusätzliche Spaltenvertauschungen kann man also eine Matrix auf die Gestalt

mit bringen.


Satz

Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über .

Dann stimmt der Spaltenrang mit dem Zeilenrang überein.

Der Rang ist gleich der in Satz 12.12 (Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)) verwendeten Zahl .


Satz

Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über . Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.

  1. Die Zeilen von sind linear unabhängig.
  2. ist invertierbar.