Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 30/latex
\setcounter{section}{30}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die konstanten Lösungen der
\definitionsverweis {gewöhnlichen Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y'
}
{ =} { { \frac{ \sin \left( \cos t \right) - e^{ t^5 } }{ ( t^{14} +8) e^{-t^2} + \sqrt{t^2+ \pi} } } { \left( y^2+3y-5 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Welche Substitution wird im Beweis zu Satz 30.2 durchgeführt?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Skizziere die zugrunde liegenden
\definitionsverweis {Vektorfelder}{}{}
der Differentialgleichungen
\mathdisp {y'= { \frac{ 1 }{ y } } ,\, y' = ty^3 \text{ und } y' = -ty^3} { }
sowie die in
Beispiel 30.4,
Beispiel 30.7
und
Beispiel 30.8
angegebenen Lösungskurven.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestätige die in
Beispiel 30.4,
Beispiel 30.7
und
Beispiel 30.8
gefundenen Lösungskurven der
\definitionsverweis {Differentialgleichungen}{}{}
\mathdisp {y'= { \frac{ 1 }{ y } } ,\, y' = ty^3 \text{ und } y' = -ty^3} { }
durch
\definitionsverweis {Ableiten}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Interpretiere eine \definitionsverweis {ortsunabhängige Differentialgleichung}{}{} als eine \definitionsverweis {Differentialgleichung mit getrennten Variablen}{}{} anhand des Lösungsansatzes für getrennte Variablen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme alle Lösungen der
\definitionsverweis {Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y'
}
{ =} {y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit dem
Lösungsansatz für getrennte Variablen.
Erhält man dabei alle Lösungen?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme alle Lösungen der
\definitionsverweis {Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y'
}
{ =} {y^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit dem
Lösungsansatz für getrennte Variablen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme alle Lösungen der
\definitionsverweis {Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y'
}
{ =} {y^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \leq }{-1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit dem
Lösungsansatz für getrennte Variablen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme alle Lösungen der
\definitionsverweis {Differentialgleichung}{}{}
\mathdisp {y'= e^y} { , }
mit dem
Lösungsansatz für getrennte Variablen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme alle Lösungen der
\definitionsverweis {Differentialgleichung}{}{}
\mathdisp {y'= { \frac{ 1 }{ \sin y } }} { , }
mit dem
Lösungsansatz für getrennte Variablen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Löse die
\definitionsverweis {Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y'
}
{ =} { ty
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit dem
Lösungsansatz für getrennte Variablen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Finde eine Lösung für die gewöhnliche Differentialgleichung
\mathdisp {y' = { \frac{ t }{ t^2-1 } } y^2} { }
mit
\mathkor {} {t>1} {und} {y<0} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die Lösungen der
\definitionsverweis {Differentialgleichung}{}{}
\zusatzklammer {
\mathl{y>0}{}} {} {}
\mathdisp {y'=t^2y^3} { }
mit dem
Lösungsansatz für getrennte Variablen.
Was ist der Definitionsbereich der Lösungen?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
a) Bestimme eine Lösung der
\definitionsverweis {Differentialgleichung}{}{}
\mathdisp {y'= { \frac{ t^3 }{ y^2 } }, \, y > 0, \, t> 0} { , }
mit dem
Lösungsansatz für getrennte Variablen.
b) Bestimme die Lösung des
\definitionsverweis {Anfangswertproblems}{}{}
\mathdisp {y'= { \frac{ t^3 }{ y^2 } } \text{ mit } y(1)=1} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die in
Beispiel 30.9
gefundenen Lösungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y(t)
}
{ =} { { \frac{ g }{ 1+ \exp (-st) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der logistischen Differentialgleichung.
a) Skizziere diese Funktion \zusatzklammer {für geeignete \mathkor {} {s} {und} {g} {}} {} {.}
b) Bestimme die Grenzwerte für \mathkor {} {t \rightarrow \infty} {und} {t \rightarrow - \infty} {.}
c) Studiere das \definitionsverweis {Monotonieverhalten}{}{} dieser Funktionen.
d) Für welche $t$ besitzt die Ableitung von $y(t)$ ein \definitionsverweis {Maximum}{}{} \zusatzklammer {für die Funktion selbst bedeutet dies einen \definitionsverweis {Wendepunkt}{}{,} man spricht auch von einem \stichwort {Vitalitätsknick} {}} {} {.}
e) Über welche Symmetrien verfügen diese Funktionen?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass das
\definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y'
}
{ =} { 3y^{2/3}
}
{ =} { 3 \sqrt[3]{ y^2}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y(0)
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zwei verschiedene Lösungen auf $\R$ besitzt. Warum kann man hier
den Lösungssatz für zeitunabhängige Differentialgleichungen
nicht anwenden?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{}
vierten Grades im Nullpunkt zur
\definitionsverweis {logistischen Funktion}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y(t)
}
{ =} { { \frac{ 2 }{ 1 + e^{-t} } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Zeige, dass eine
\definitionsverweis {Differentialgleichung}{}{}
der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y'
}
{ =} { g(t)\cdot y^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {stetigen Funktion}{}{}
\maabbeledisp {g} {\R} {\R
} {t} {g(t)
} {,}
auf einem Intervall $I'$ die Lösungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y(t)
}
{ =} { - { \frac{ 1 }{ G(t) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
besitzt, wobei
\mathl{G}{} eine Stammfunktion zu $g$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G(I')
}
{ \subseteq }{ \R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sei.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme alle Lösungen der
\definitionsverweis {Differentialgleichung}{}{}
\mathdisp {y'=ty^2,\, y> 0} { , }
mit dem
Lösungsansatz für getrennte Variablen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme alle Lösungen der
\definitionsverweis {Differentialgleichung}{}{}
\mathdisp {y'=t^3y^3, \, y > 0} { , }
mit dem
Lösungsansatz für getrennte Variablen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme alle Lösungen der
\definitionsverweis {Differentialgleichung}{}{}
\mathdisp {y'= { \left( \sin t -2t \right) } { \left( y^2+1 \right) } , \, y > 0} { , }
mit dem
Lösungsansatz für getrennte Variablen.
Welche Lösung hat das Anfangswertproblem $y(0)=\pi$?
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Bestimme alle Lösungen der
\definitionsverweis {Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y'
}
{ =} { ty +t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
a) dem Lösungsansatz für inhomogene lineare Differentialgleichungen,
}
{} {}