Kurs:Analysis 3/6/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	2	5	3	4	0	7	0	6	0	0	0	3	0	4	40

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine ${}\sigma$-Algebra auf einer Menge ${}M$.
2. Ein Wahrscheinlichkeitsraum.
3. Die Zerlegungseigenschaft für eine Teilmenge ${}Z\subseteq M$ bezüglich der Fortsetzung ${}{\tilde {\mu }}$ auf die Potenzmenge eines äußeren Maßes ${}\mu$ auf einem Präring ${}{\mathcal {P}}$ von ${}X$.
4. Eine topologische Mannigfaltigkeit der Dimension ${}n$.
5. Eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit ${}M\subseteq N$ einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}N$.
6. Eine Differentialform vom Grad ${}k$ auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. /Fakt/Name
2. Die allgemeine Transformationsformel für Integrale.
3. /Fakt/Name

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}K$ die Kugel mit Radius ${}r$ und Mittelpunkt ${}0=(0,0,0)$ im ${}\mathbb {R} ^{3}$. Wie lautet die Formel (ohne Begründung) für

a) das Volumen der Vollkugel.

b) den Flächeninhalt der Kugeloberfläche.

Aufgabe * (5 (2+3) Punkte)

Es seien ${}M$ und ${}N$ zwei abzählbare Mengen, die beide mit der ${}\sigma$- Algebra aller Teilmengen und mit dem Zählmaß (genannt ${}\mu$ bzw. ${}\nu$) versehen seien.

a) Zeige, dass ${}M$ und ${}N$ ${}\sigma$- endliche Maßräume sind.

b) Zeige, dass das Produktmaß ${}\mu \otimes \nu$ auf ${}M\times N$ ebenfalls das Zählmaß ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}M$ ein Messraum und ${}f\colon M\rightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$ eine nichtnegative messbare Funktion. Zeige, dass auch die Funktion

${\sqrt {f}}\colon M\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,x\longmapsto {\sqrt {f(x)}},$

messbar ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise die allgemeine Transformationsformel für Integrale.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (7 Punkte)

Es sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,x\longmapsto f(x),$

eine positive stetige Funktion (mit ${}a\leq b$ aus ${}\mathbb {R}$). Zeige direkt (ohne die Transformationsformel), dass die Oberfläche des zugehörigen Rotationskörpers, also die Menge

${}M={\left\{(x,f(x)\cos \alpha ,f(x)\sin \alpha )\mid x\in [a,b],\,\alpha \in [0,2\pi [\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{3}\,,$

das Volumen ${}0$ besitzt.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (6 (2+2+2) Punkte)

a) Was ist das durchschnittliche Ergebnis, wenn man eine reelle Zahl aus ${}[a,b]$ mit einer reellen Zahl aus ${}[c,d]$ addiert?

b) Was ist das durchschnittliche Ergebnis, wenn man eine reelle Zahl aus ${}[a,b]$ mit einer reellen Zahl aus ${}[c,d]$ multiplizert?

c) Was ist das durchschnittliche Ergebnis, wenn man eine reelle Zahl aus ${}[a,b]$ durch eine reelle Zahl aus ${}[c,d]$ (${}c>0$) dividiert?

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ und ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offene Teilmengen und sei

$\psi \colon W\longrightarrow U$

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei

$f\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetig differenzierbare Funktion. Folgere aus der Kettenregel, dass

${}d(\psi ^{*}f)=\psi ^{*}(df)\,$

gilt, wobei ${}\psi ^{*}$ das Zurückziehen von Differentialformen bezeichnet.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}\omega$ eine stetig differenzierbare ${}n-1$- Differentialform auf einer offenen Menge ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und sei die äußere Ableitung gleich

${}d\omega =fdx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\,$

mit einer Funktion ${}f\colon U\rightarrow \mathbb {R}$. Zeige für ${}P\in U$ die Gleichheit

${}f(P)={\frac {1}{\beta _{n}}}\cdot \operatorname {lim} _{\epsilon \rightarrow 0}\,{\frac {1}{\epsilon ^{n}}}\int _{S^{n-1}(P,\epsilon )}\omega \,,$

wobei ${}\beta _{n}$ das Volumen der ${}n$-dimensionalen Einheitskugel bezeichnet.