Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Vorlesung 11/latex
\setcounter{section}{11}
Ein Schema hat, verglichen mit einem metrischen Raum, topologisch eher ungewöhnliche Eigenschaften, die wir hier vorstellen wollen. Wir beginnen mit der Irreduzibilität.
\zwischenueberschrift{Irreduzible Räume}
\inputdefinition
{}
{
Ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
$V$ heißt
\definitionswort {irreduzibel}{,}
wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ \neq }{ \emptyset
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist und es keine Zerlegung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ = }{Y \cup Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\definitionsverweis {abgeschlossenen Mengen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y,Z
}
{ \subset }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
\inputfaktbeweis
{Topologie/Irreduzibler Raum/Charakterisierung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X
}
{ \neq }{\emptyset
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist genau dann
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{,}}
\faktfolgerung {wenn für nichtleere offene Teilmengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U,V
}
{ \subseteq }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auch der Durchschnitt
\mathl{U \cap V}{} nicht leer ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt unmittelbar aus der Definition, da für die abgeschlossenen Teilmengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y
}
{ = }{X \setminus U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Z
}
{ = }{X \setminus V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X
}
{ = }{Y \cup Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann gilt, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U \cap V
}
{ = }{ \emptyset
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
Eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y
}
{ \subseteq }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eines topologischen Raumes $X$ heißt irreduzibel, wenn sie als topologischer Raum mit der induzierten Topologie irreduzibel ist.
\inputfaktbeweis
{Affines Schema/Irreduzible Teilmenge/Primideal/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die
\definitionsverweis {abgeschlossene Teilmenge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V { \left( {\mathfrak a} \right) }
}
{ \subseteq} { \operatorname{Spek} { \left( R \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
genau dann
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{,}
wenn das
\definitionsverweis {Radikal}{}{}
zu ${\mathfrak a}$ ein
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir können direkt annehmen, dass ${\mathfrak a}$ ein
\definitionsverweis {Radikal}{}{}
ist. Ferner ist es nicht das
\definitionsverweis {Einheitsideal}{}{.}
Wenn
\mathl{V { \left( {\mathfrak a} \right) }}{} nicht irreduzibel ist, so gibt es eine nichttriviale Zerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V { \left( {\mathfrak a} \right) }
}
{ =} { Y \cup Z
}
{ =} { V { \left( {\mathfrak b} \right) } \cup V { \left( {\mathfrak c} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei wir
\mathl{{\mathfrak b}, {\mathfrak c}}{} als Radikale ansetzen können. Das bedeutet
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ = }{ {\mathfrak b} \cap {\mathfrak c}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V { \left( {\mathfrak b} \right) } ,V { \left( {\mathfrak c} \right) }
}
{ \subset }{ V { \left( {\mathfrak a} \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist nach
Proposition 8.4 (5)
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subset} {{\mathfrak b}, {\mathfrak c}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit gibt es
\mathkor {} {f \in {\mathfrak b}} {} {,
f \notin {\mathfrak a}} {,}
und
\mathkor {} {g \in {\mathfrak c}} {} {,
g \notin {\mathfrak a}} {.}
Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{fg
}
{ \in} { {\mathfrak b} \cap {\mathfrak c}
}
{ =} { {\mathfrak a}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
und ${\mathfrak a}$ ist kein Primideal.
Wenn umgekehrt ${\mathfrak a}$ kein Primideal ist, so gibt es Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f,g
}
{ \notin }{ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{fg
}
{ \in }{ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D(fg)
}
{ \subseteq }{ D( {\mathfrak a} )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ D(fg) \cap V( {\mathfrak a} )
}
{ =} { \emptyset
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da ${\mathfrak a}$ ein Radikal ist, ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f^n
}
{ \notin }{ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Nach
Aufgabe 8.5
gibt es ein Primideal ${\mathfrak p}$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \notin }{ {\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{ {\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{D(f) \cap V( {\mathfrak a} )
}
{ \neq} { \emptyset
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und entsprechend für $D(g)$. Nach
Lemma 11.2
ist
\mathl{V( {\mathfrak a} )}{} nicht irreduzibel.
Es liegt also durch
\mathl{{\mathfrak p} \leftrightarrow V( {\mathfrak p} )}{} eine Korrespondenz zwischen den Primidealen und den abgeschlossenen irreduziblen Teilmengen des Spektrums vor. Die maximalen Ideale entsprechen den einzelnen abgeschlossenen Punkten, die minimalen Primideale entsprechen den sogenannten irreduziblen Komponenten des Spektrums, siehe weiter unten.
\inputdefinition
{}
{
Zu einem
\definitionsverweis {topologischen Raum}{}{}
$X$ und einer
\definitionsverweis {abgeschlossenen}{}{}
\definitionsverweis {irreduziblen}{}{}
Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y
}
{ \subseteq }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nennt man einen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \eta
}
{ \in }{Y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der Eigenschaft, dass für jede offene Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U \cap Y
}
{ \neq }{ \emptyset
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann gilt, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \eta
}
{ \in }{U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, den
\definitionswort {generischen Punkt}{}
von $Y$.
}
\inputfaktbeweis
{Schema/Irreduzible Teilmenge/Generischer Punkt/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {In einem
\definitionsverweis {Schema}{}{}
$X$ besitzt jede
\definitionsverweis {abgeschlossene}{}{}
\definitionsverweis {irreduzible}{}{}
Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y
}
{ \subseteq }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}}
\faktfolgerung {einen eindeutig bestimmten
\definitionsverweis {generischen Punkt}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Nach Voraussetzung ist $Y$ nicht leer. Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{Y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{W
}
{ = }{ \operatorname{Spek} { \left( R \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine offene
\definitionsverweis {affine Umgebung}{}{.}
Es ist dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Y \cap W
}
{ \subseteq} {W
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine abgeschlossene irreduzible Teilmenge in einem affinen Schema. Nach
Lemma 11.3
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y \cap W
}
{ = }{ V( {\mathfrak p} )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einem Primideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}
}
{ \in }{W
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir behaupten, dass ${\mathfrak p}$ der generische Punkt von $Y$ ist. Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
offen und
\mathl{Y \cap U}{} nicht leer ist, so ist auch
\mathl{Y \cap U \cap W}{} wegen der Irreduzibilität von $Y$ nicht leer und daher
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Der generische Punkt ist eindeutig bestimmt, da er als Punkt im affinen Schema $W$ eindeutig bestimmt ist.
\zwischenueberschrift{Die Krulldimension}
\inputdefinition
{}
{
Zu einem
\definitionsverweis {topologischen Raum}{}{}
$X$ nennt man die maximale Länge von
\definitionsverweis {abgeschlossenen}{}{}
\definitionsverweis {irreduziblen Teilmengen}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X_0
}
{ \subset} { X_1
}
{ \subset \ldots \subset} { X_{n-1}
}
{ \subset} { X_n
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in $X$ die
\definitionswort {Krulldimension}{}
des Raumes.
}
\inputfaktbeweis
{Affines Schema/Krulldimension/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Die
\definitionsverweis {Krulldimension}{}{}
eines
\definitionsverweis {kommutativen Ringes}{}{}}
\faktfolgerung {stimmt mit der
\definitionsverweis {Krulldimension}{}{}
seines
\definitionsverweis {Spektrums}{}{}
\mathl{\operatorname{Spek} { \left( R \right) }}{} überein.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt aus Lemma 11.3 und Proposition 8.4 (5).
\zwischenueberschrift{Noethersche Räume}
\inputdefinition
{}
{
Ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
$X$ heißt
\definitionswort {noethersch}{,}
wenn in ihm jede aufsteigende Kette
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U_1
}
{ \subseteq} {U_2
}
{ \subseteq} { U_3
}
{ \subseteq} { \ldots
}
{ } {
}
}
{}{}{}
von
\definitionsverweis {offenen Mengen}{}{}
\stichwort {stationär} {} wird, d.h. es gibt ein $n$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U_n
}
{ =} {U_{n+1}
}
{ =} { U_{n+2}
}
{ =} { \ldots
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputfaktbeweis
{Topologischer Raum/Noethersch/Quasikompakt/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
$X$}
\faktfolgerung {ist genau dann
\definitionsverweis {noethersch}{}{,}
wenn in ihm jede
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
\definitionsverweis {quasikompakt}{}{}
ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Zunächst ist in einem noetherschen Raum jede offene Teilmenge selbst noethersch. Für die Hinrichtung genügt es also zu zeigen, dass $X$ quasikompakt ist. Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X
}
{ = }{ \bigcup_{i \in I} U_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Überdeckung}{}{}
und angenommen, es gäbe keine endliche Teilüberdeckung. Dann kann man eine echt aufsteigende unendliche Kette von offenen Teilmengen der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V_n
}
{ =} { \bigcup_{i \in I_n} U_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I_n
}
{ \subseteq }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
endlich konstruieren. Es sei umgekehrt jede offene Teilmenge quasikompakt und eine aufsteigende Kette
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U_k
}
{ \subseteq }{U_{k+1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U
}
{ =} { \bigcup_{k \in \N} U_k
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
offen und quasikompakt und daher gibt es eine endliche Teilüberdeckung. Dies bedeutet, dass es einen Index $n$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U_n
}
{ = }{U_k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ \geq }{n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
Für einen noetherschen Raum gilt: jede nichtleere Teilmenge von offenen Mengen
\zusatzklammer {abgeschlossenen Mengen} {} {}
besitzt ein maximales
\zusatzklammer {minimales} {} {}
Element. Dies kann man vorteilhaft als Beweisprinzip einsetzen
\zusatzklammer {\stichwort {Beweis durch noethersche Induktion} {}} {} {:}
Man möchte zeigen, dass eine gewisse Eigenschaft $E$ für alle abgeschlossenen Teilmengen gilt, und man betrachtet die Menge derjenigen abgeschlossenen Teilmengen, die $E$ nicht erfüllen. Man möchte zeigen, dass die Menge leer ist, und nimmt an, dass sie nicht leer ist. Dann besitzt sie auch ein minimales Element, und dies muss man dann zum Widerspruch führen. Die Gültigkeit dieses Beweisprinzips beruht darauf, dass man in einer nichtleeren Menge ohne einem minimalen Element eine unendlich absteigende Kette konstruieren kann. Ein typisches Beispiel für dieses Beweisprinzip liefert der Beweis der folgenden Aussage.
\inputfaktbeweis
{Topologischer Raum/Noethersch/Zerlegung in irreduzible Komponenten/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Für jeden
\definitionsverweis {noetherschen}{}{}
\definitionsverweis {topologischen Raum}{}{}
$X$}
\faktfolgerung {gibt es eine eindeutige Zerlegung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X
}
{ = }{ V_1 \cup \ldots \cup V_k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in abgeschlossene
\definitionsverweis {irreduzible Teilmengen}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Die Existenz beweisen wir durch noethersche Induktion über die abgeschlossenen Teilmengen von $X$. Angenommen, nicht jede abgeschlossene Teilmenge habe eine solche Zerlegung. Dann gibt es auch eine minimale Teilmenge, sagen wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ \subseteq }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
ohne eine solche Zerlegung. Diese Menge $V$ kann nicht irreduzibel sein, sondern es gibt eine nicht-triviale Darstellung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ = }{V_1 \cup V_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Da $V_1$ und $V_2$ echte Teilmengen von $V$ sind, gibt es für diese beiden jeweils endliche Darstellungen als Vereinigung von abgeschlossenen irreduziblen Teilmengen. Diese beiden vereinigen sich zu einer endlichen Darstellung von $V$, was ein Widerspruch ist.}
{}
\teilbeweis {Zur Eindeutigkeit.\leerzeichen{}}{}{}
{Seien
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X
}
{ =} { V_1 \cup \ldots \cup V_k
}
{ =} { W_1 \cup \ldots \cup W_m
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zwei Zerlegungen in irreduzible Teilmengen
\zusatzklammer {jeweils ohne Inklusionsbeziehung} {} {.}
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V_1
}
{ =} { V_1 \cap X
}
{ =} { V_1 \cap (W_1 \cup \ldots \cup W_m)
}
{ =} { (V_1 \cap W_1 ) \cup \ldots \cup (V_1 \cap W_m)
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da $V_1$ irreduzibel ist, muss
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V_1
}
{ \subseteq }{ W_j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für ein $j$ sein. Umgekehrt ist mit dem gleichen Argument
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{W_j
}
{ \subseteq }{ V_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für ein $i$, woraus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V_1
}
{ = }{W_j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt. Ebenso findet sich $V_2$ etc. in der Zerlegung rechts wieder, so dass die Zerlegung eindeutig ist.}
{}
Die dabei auftretenden Mengen nennt man die \stichwort {irreduziblen Komponenten} {} des Raumes.
\inputdefinition
{}
{
Ein \definitionsverweis {Schema}{}{} $X$ heißt \definitionswort {noethersch}{,} wenn es durch endlich viele \definitionsverweis {affine Schemata}{}{} zu \definitionsverweis {noetherschen Ringen}{}{} überdeckt werden kann.
}
Insbesondere ist das Spektrum zu einem noetherschen Ring ein noethersches Schema.
\inputfaktbeweis
{Noethersches Schema/Noetherscher Raum/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Ein
\definitionsverweis {noethersches Schema}{}{}}
\faktfolgerung {ist ein
\definitionsverweis {noetherscher}{}{}
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Eine endliche Vereinigung von noetherschen Räumen ist wieder noethersch, deshalb können wir direkt davon ausgehen, dass ein Spektrum zu einem noetherschen Ring vorliegt. Wir müssen gemäß
Lemma 11.9
zeigen, dass eine jede offene Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ = }{D( {\mathfrak a} )
}
{ \subseteq }{ \operatorname{Spek} { \left( R \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
quasikompakt ist. Da $R$ noethersch ist, gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ = }{ { \left( f_1 , \ldots , f_n \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und daher
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ D( {\mathfrak a} )
}
{ =} { D(f_1) \cup \ldots \cup D(f_n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nach
Proposition 8.4 (2).
Nach
Korollar 8.6
in Verbindung mit
Proposition 8.11
sind die
\mathl{D(f_i)}{} quasikompakt, also auch ihre endliche Vereinigung.
Mit unseren bisher entwickelten topologischen Methoden können wir direkt das folgende rein algebraische Resultat beweisen.
{Noetherscher Ring/Minimale Primideale/Endlich/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {In einem
\definitionsverweis {noetherschen}{}{}
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}}
\faktfolgerung {gibt es nur endlich viele
\definitionsverweis {minimale Primideale}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 11.15. }
\zwischenueberschrift{Integre Schemata}
\inputdefinition
{}
{
Ein
\definitionsverweis {beringter Raum}{}{}
\mathl{{ \left( X, {\mathcal O}_{ X } \right) }}{} heißt
\definitionswort {reduziert}{,}
wenn für jede offene Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Ring
\mathl{\Gamma (U, {\mathcal O}_X )}{}
\definitionsverweis {reduziert}{}{}
ist.
}
\inputdefinition
{}
{
Ein \definitionsverweis {Schema}{}{} $X$ heißt \definitionswort {integer}{,} wenn es \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} und \definitionsverweis {reduziert}{}{} ist.
}
\inputfaktbeweis
{Integres Schema/Injektive Restriktionen/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {In einem
\definitionsverweis {integren Schema}{}{}}
\faktfolgerung {sind die
\definitionsverweis {Restriktionsabbildungen}{}{}
\maabbdisp {} { \Gamma (U, {\mathcal O}_X ) } { \Gamma (V, {\mathcal O}_X )
} {}
zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \emptyset
}
{ \neq }{ V
}
{ \subseteq }{U
}
{ \subseteq }{X
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {injektiv}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{ \Gamma (U, {\mathcal O}_X )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nicht $0$. Die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X_f
}
{ =} { { \left\{ P \in X \mid f (P) \neq 0 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist offen nach
Lemma 7.16
und wegen der Reduziertheit nicht leer. Wegen der Irreduzibilität von $X$ ist
\mathl{X_f \cap V}{} ebenfalls nicht leer und somit ist die Restriktion von $f$ auf $V$ ebenfalls nicht $0$.
\inputbeispiel{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{K[X,Y]/(X^2,XY)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak q}
}
{ = }{ (X)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das einzige
\definitionsverweis {minimale Primideal}{}{}
von $R$ und daher ist
\mathl{\operatorname{Spek} { \left( R \right) }}{}
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{.}
Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y
}
{ \notin }{ {\mathfrak q}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{XY
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt in der
\definitionsverweis {Lokalisierung}{}{}
\mathl{R_{\mathfrak q}}{} die Gleichheit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
und es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R_{\mathfrak q}
}
{ =} { K[Y]_{ (0)}
}
{ =} { K(Y)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein Körper. Die Restriktionsabbildung
\maabb {} {R} { R_{\mathfrak q}
} {}
ist nicht injektiv. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{D(X)
}
{ =} { \emptyset
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
das Element $X$ ist aber in der Lokalisierung
\mathl{R_{(X,Y)}}{} nicht $0$.
}
\inputfaktbeweis
{Integres Schema/Integritätsbereich/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {In einem
\definitionsverweis {integren Schema}{}{}
$X$ ist zu jeder nichtleeren offenen Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}}
\faktfolgerung {der Schnittring
\mathl{\Gamma (U, {\mathcal O}_X )}{} ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Da $U$ offen und nicht leer ist, gibt es eine nichtleere offene affine Teilmenge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} { \operatorname{Spek} { \left( R \right) }
}
{ \subseteq} {U
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Nach
Lemma 11.16
genügt es zu zeigen, dass $R$ ein Integritätsbereich ist. Es sei ${\mathfrak a}$ das
\definitionsverweis {Nilradikal}{}{}
von $R$. Wegen der Irreduzibilität von $V$, die aus der Irreduzibilität von $X$ folgt, ist nach
Lemma 11.3
das Ideal ${\mathfrak a}$ ein Primideal. Da die Reduziertheit
nach Aufgabe 10.14
eine lokale Eigenschaft ist, gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Das Nullideal ist also ein Primideal und damit ist $R$ ein Integritätsbereich.
\inputfaktbeweis
{Integres Schema/Generischer Halm/Körper/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Zu einem
\definitionsverweis {integren Schema}{}{}}
\faktfolgerung {ist der
\definitionsverweis {Halm}{}{}
der
\definitionsverweis {Strukturgarbe}{}{}
im
\definitionsverweis {generischen Punkt}{}{}
ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Den Halm kann man ausgehend von einer beliebigen nichtleeren affinen offenen Teilmenge $U$ bestimmen. Diese haben die Form
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ = }{ \operatorname{Spek} { \left( R \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einem kommutativen Ring $R$, der aufgrund von
Lemma 11.18
ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
ist. Der generische Punkt entspricht dabei dem Nullideal, und die Lokalisierung am Nullideal ergibt den
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
von $R$.
\inputdefinition
{}
{
Zu einem \definitionsverweis {integren Schema}{}{} nennt man den \definitionsverweis {Halm}{}{} der \definitionsverweis {Strukturgarbe}{}{} im \definitionsverweis {generischen Punkt}{}{} den \definitionswort {Funktionenkörper}{} von $X$.
}
In einem integren Schema ist der Schnittring zu jeder nichtleeren offenen Menge ein Unterring des Funktionenkörpers.