Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Vorlesung 11

Ein Schema hat, verglichen mit einem metrischen Raum, topologisch eher ungewöhnliche Eigenschaften, die wir hier vorstellen wollen. Wir beginnen mit der Irreduzibilität.

Irreduzible Räume

Definition

Ein topologischer Raum ${}V$ heißt irreduzibel, wenn ${}V\neq \emptyset$ ist und es keine Zerlegung ${}V=Y\cup Z$ mit abgeschlossenen Mengen ${}Y,Z\subset V$ gibt.

Lemma

Ein topologischer Raum ${}X\neq \emptyset$ ist genau dann irreduzibel,

wenn für nichtleere offene Teilmengen ${}U,V\subseteq X$ auch der Durchschnitt ${}U\cap V$ nicht leer ist.

Beweis

Dies folgt unmittelbar aus der Definition, da für die abgeschlossenen Teilmengen ${}Y=X\setminus U$ und ${}Z=X\setminus V$ die Beziehung ${}X=Y\cup Z$ genau dann gilt, wenn ${}U\cap V=\emptyset$ ist.

$\Box$

Eine Teilmenge ${}Y\subseteq X$ eines topologischen Raumes ${}X$ heißt irreduzibel, wenn sie als topologischer Raum mit der induzierten Topologie irreduzibel ist.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal.

Dann ist die abgeschlossene Teilmenge

${}V{\left({\mathfrak {a}}\right)}\subseteq \operatorname {Spek} {\left(R\right)}\,$

genau dann irreduzibel, wenn das Radikal zu ${}{\mathfrak {a}}$ ein Primideal ist.

Beweis

Wir können direkt annehmen, dass ${}{\mathfrak {a}}$ ein Radikal ist. Ferner ist es nicht das Einheitsideal. Wenn ${}V{\left({\mathfrak {a}}\right)}$ nicht irreduzibel ist, so gibt es eine nichttriviale Zerlegung

${}V{\left({\mathfrak {a}}\right)}=Y\cup Z=V{\left({\mathfrak {b}}\right)}\cup V{\left({\mathfrak {c}}\right)}\,,$

wobei wir ${}{\mathfrak {b}},{\mathfrak {c}}$ als Radikale ansetzen können. Das bedeutet ${}{\mathfrak {a}}={\mathfrak {b}}\cap {\mathfrak {c}}$. Wegen ${}V{\left({\mathfrak {b}}\right)},V{\left({\mathfrak {c}}\right)}\subset V{\left({\mathfrak {a}}\right)}$ ist nach Proposition 8.4  (5)

${}{\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {b}},{\mathfrak {c}}\,.$

Somit gibt es ${}f\in {\mathfrak {b}}$ ${},f\notin {\mathfrak {a}}$, und ${}g\in {\mathfrak {c}}$ ${},g\notin {\mathfrak {a}}$. Daher ist

${}fg\in {\mathfrak {b}}\cap {\mathfrak {c}}={\mathfrak {a}}\,,$

und ${}{\mathfrak {a}}$ ist kein Primideal.

Wenn umgekehrt ${}{\mathfrak {a}}$ kein Primideal ist, so gibt es Elemente ${}f,g\notin {\mathfrak {a}}$ und ${}fg\in {\mathfrak {a}}$. Dann ist ${}D(fg)\subseteq D({\mathfrak {a}})$ und somit

${}D(fg)\cap V({\mathfrak {a}})=\emptyset \,.$

Da ${}{\mathfrak {a}}$ ein Radikal ist, ist ${}f^{n}\notin {\mathfrak {a}}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$. Nach Aufgabe 8.5 gibt es ein Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ mit ${}f\notin {\mathfrak {p}}$ und ${}{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {p}}$. Also ist

${}D(f)\cap V({\mathfrak {a}})\neq \emptyset \,$

und entsprechend für ${}D(g)$. Nach Lemma 11.2 ist ${}V({\mathfrak {a}})$ nicht irreduzibel.

$\Box$

Es liegt also durch ${}{\mathfrak {p}}\leftrightarrow V({\mathfrak {p}})$ eine Korrespondenz zwischen den Primidealen und den abgeschlossenen irreduziblen Teilmengen des Spektrums vor. Die maximalen Ideale entsprechen den einzelnen abgeschlossenen Punkten, die minimalen Primideale entsprechen den sogenannten irreduziblen Komponenten des Spektrums, siehe weiter unten.

Definition

Zu einem topologischen Raum ${}X$ und einer abgeschlossenen irreduziblen Teilmenge ${}Y\subseteq X$ nennt man einen Punkt ${}\eta \in Y$ mit der Eigenschaft, dass für jede offene Menge ${}U\subseteq X$ die Beziehung ${}U\cap Y\neq \emptyset$ genau dann gilt, wenn ${}\eta \in U$ ist, den generischen Punkt von ${}Y$.

Lemma

In einem Schema ${}X$ besitzt jede abgeschlossene irreduzible Teilmenge ${}Y\subseteq X$

einen eindeutig bestimmten generischen Punkt.

Beweis

Nach Voraussetzung ist ${}Y$ nicht leer. Sei ${}P\in Y$ ein Punkt und ${}P\in W=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ eine offene affine Umgebung. Es ist dann

${}Y\cap W\subseteq W\,$

eine abgeschlossene irreduzible Teilmenge in einem affinen Schema. Nach Lemma 11.3 ist ${}Y\cap W=V({\mathfrak {p}})$ mit einem Primideal ${}{\mathfrak {p}}\in W$. Wir behaupten, dass ${}{\mathfrak {p}}$ der generische Punkt von ${}Y$ ist. Wenn ${}U\subseteq X$ offen und ${}Y\cap U$ nicht leer ist, so ist auch ${}Y\cap U\cap W$ wegen der Irreduzibilität von ${}Y$ nicht leer und daher ${}{\mathfrak {p}}\in U$. Der generische Punkt ist eindeutig bestimmt, da er als Punkt im affinen Schema ${}W$ eindeutig bestimmt ist.

$\Box$

Die Krulldimension

Definition

Zu einem topologischen Raum ${}X$ nennt man die maximale Länge von abgeschlossenen irreduziblen Teilmengen

${}X_{0}\subset X_{1}\subset \ldots \subset X_{n-1}\subset X_{n}\,$

in ${}X$ die Krulldimension des Raumes.

Lemma

Die Krulldimension eines kommutativen Ringes

stimmt mit der Krulldimension seines Spektrums ${}\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ überein.

Beweis

Dies folgt aus Lemma 11.3 und Proposition 8.4  (5).

$\Box$

Noethersche Räume

Definition

Ein topologischer Raum ${}X$ heißt noethersch, wenn in ihm jede aufsteigende Kette

${}U_{1}\subseteq U_{2}\subseteq U_{3}\subseteq \ldots \,$

von offenen Mengen stationär wird, d.h. es gibt ein ${}n$ mit

${}U_{n}=U_{n+1}=U_{n+2}=\ldots \,.$

Lemma

Ein topologischer Raum ${}X$

ist genau dann noethersch, wenn in ihm jede offene Teilmenge quasikompakt ist.

Beweis

Zunächst ist in einem noetherschen Raum jede offene Teilmenge selbst noethersch. Für die Hinrichtung genügt es also zu zeigen, dass ${}X$ quasikompakt ist. Sei ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung und angenommen, es gäbe keine endliche Teilüberdeckung. Dann kann man eine echt aufsteigende unendliche Kette von offenen Teilmengen der Form

${}V_{n}=\bigcup _{i\in I_{n}}U_{i}\,$

mit ${}I_{n}\subseteq I$ endlich konstruieren. Es sei umgekehrt jede offene Teilmenge quasikompakt und eine aufsteigende Kette ${}U_{k}\subseteq U_{k+1}$ gegeben. Dann ist

${}U=\bigcup _{k\in \mathbb {N} }U_{k}\,$

offen und quasikompakt und daher gibt es eine endliche Teilüberdeckung. Dies bedeutet, dass es einen Index ${}n$ mit ${}U_{n}=U_{k}$ für alle ${}k\geq n$ gibt.

$\Box$

Für einen noetherschen Raum gilt: jede nichtleere Teilmenge von offenen Mengen (abgeschlossenen Mengen) besitzt ein maximales (minimales) Element. Dies kann man vorteilhaft als Beweisprinzip einsetzen (Beweis durch noethersche Induktion): Man möchte zeigen, dass eine gewisse Eigenschaft ${}E$ für alle abgeschlossenen Teilmengen gilt, und man betrachtet die Menge derjenigen abgeschlossenen Teilmengen, die ${}E$ nicht erfüllen. Man möchte zeigen, dass die Menge leer ist, und nimmt an, dass sie nicht leer ist. Dann besitzt sie auch ein minimales Element, und dies muss man dann zum Widerspruch führen. Die Gültigkeit dieses Beweisprinzips beruht darauf, dass man in einer nichtleeren Menge ohne einem minimalen Element eine unendlich absteigende Kette konstruieren kann. Ein typisches Beispiel für dieses Beweisprinzip liefert der Beweis der folgenden Aussage.

Satz

Für jeden noetherschen topologischen Raum ${}X$

gibt es eine eindeutige Zerlegung ${}X=V_{1}\cup \ldots \cup V_{k}$ in abgeschlossene irreduzible Teilmengen.

Beweis

Die Existenz beweisen wir durch noethersche Induktion über die abgeschlossenen Teilmengen von ${}X$. Angenommen, nicht jede abgeschlossene Teilmenge habe eine solche Zerlegung. Dann gibt es auch eine minimale Teilmenge, sagen wir ${}V\subseteq X$, ohne eine solche Zerlegung. Diese Menge ${}V$ kann nicht irreduzibel sein, sondern es gibt eine nicht-triviale Darstellung ${}V=V_{1}\cup V_{2}$. Da ${}V_{1}$ und ${}V_{2}$ echte Teilmengen von ${}V$ sind, gibt es für diese beiden jeweils endliche Darstellungen als Vereinigung von abgeschlossenen irreduziblen Teilmengen. Diese beiden vereinigen sich zu einer endlichen Darstellung von ${}V$, was ein Widerspruch ist.
Zur Eindeutigkeit. Seien

${}X=V_{1}\cup \ldots \cup V_{k}=W_{1}\cup \ldots \cup W_{m}\,$

zwei Zerlegungen in irreduzible Teilmengen (jeweils ohne Inklusionsbeziehung). Es ist

${}V_{1}=V_{1}\cap X=V_{1}\cap (W_{1}\cup \ldots \cup W_{m})=(V_{1}\cap W_{1})\cup \ldots \cup (V_{1}\cap W_{m})\,.$

Da ${}V_{1}$ irreduzibel ist, muss ${}V_{1}\subseteq W_{j}$ für ein ${}j$ sein. Umgekehrt ist mit dem gleichen Argument ${}W_{j}\subseteq V_{i}$ für ein ${}i$, woraus ${}i=1$ und ${}V_{1}=W_{j}$ folgt. Ebenso findet sich ${}V_{2}$ etc. in der Zerlegung rechts wieder, sodass die Zerlegung eindeutig ist.

$\Box$

Die dabei auftretenden Mengen nennt man die irreduziblen Komponenten des Raumes.

Definition

Ein Schema ${}X$ heißt noethersch, wenn es durch endlich viele affine Schemata zu noetherschen Ringen überdeckt werden kann.

Insbesondere ist das Spektrum zu einem noetherschen Ring ein noethersches Schema.

Lemma

Ein noethersches Schema

ist ein noetherscher topologischer Raum.

Beweis

Eine endliche Vereinigung von noetherschen Räumen ist wieder noethersch, deshalb können wir direkt davon ausgehen, dass ein Spektrum zu einem noetherschen Ring vorliegt. Wir müssen gemäß Lemma 11.9 zeigen, dass eine jede offene Teilmenge ${}U=D({\mathfrak {a}})\subseteq \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ quasikompakt ist. Da ${}R$ noethersch ist, gilt ${}{\mathfrak {a}}={\left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right)}$ und daher

${}D({\mathfrak {a}})=D(f_{1})\cup \ldots \cup D(f_{n})\,$

nach Proposition 8.4  (2). Nach Korollar 8.6 in Verbindung mit Proposition 8.11 sind die ${}D(f_{i})$ quasikompakt, also auch ihre endliche Vereinigung.

$\Box$

Mit unseren bisher entwickelten topologischen Methoden können wir direkt das folgende rein algebraische Resultat beweisen.

Lemma

In einem noetherschen kommutativen Ring

gibt es nur endlich viele minimale Primideale.

Beweis

Siehe Aufgabe 11.15.

$\Box$

Integre Schemata

Definition

Ein beringter Raum ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ heißt reduziert, wenn für jede offene Teilmenge ${}U\subseteq X$ der Ring ${}\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$ reduziert ist.

Definition

Ein Schema ${}X$ heißt integer, wenn es irreduzibel und reduziert ist.

Lemma

In einem integren Schema

sind die Restriktionsabbildungen

$\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow \Gamma (V,{\mathcal {O}}_{X})$

zu ${}\emptyset \neq V\subseteq U\subseteq X$ injektiv.

Beweis

Sei ${}f\in \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$ nicht ${}0$. Die Menge

${}X_{f}={\left\{P\in X\mid f(P)\neq 0\right\}}\,$

ist offen nach Lemma 7.16 und wegen der Reduziertheit nicht leer. Wegen der Irreduzibilität von ${}X$ ist ${}X_{f}\cap V$ ebenfalls nicht leer und somit ist die Restriktion von ${}f$ auf ${}V$ ebenfalls nicht ${}0$.

$\Box$

Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}R=K[X,Y]/(X^{2},XY)$. Es ist ${}{\mathfrak {q}}=(X)$ das einzige minimale Primideal von ${}R$ und daher ist ${}\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ irreduzibel. Wegen ${}Y\notin {\mathfrak {q}}$ und ${}XY=0$ gilt in der Lokalisierung ${}R_{\mathfrak {q}}$ die Gleichheit ${}X=0$, und es ist

${}R_{\mathfrak {q}}=K[Y]_{(0)}=K(Y)\,$

ein Körper. Die Restriktionsabbildung ${}R\rightarrow R_{\mathfrak {q}}$ ist nicht injektiv. Es ist

${}D(X)=\emptyset \,,$

das Element ${}X$ ist aber in der Lokalisierung ${}R_{(X,Y)}$ nicht ${}0$.

Lemma

In einem integren Schema ${}X$ ist zu jeder nichtleeren offenen Menge ${}U\subseteq X$

der Schnittring ${}\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$ ein Integritätsbereich.

Beweis

Da ${}U$ offen und nicht leer ist, gibt es eine nichtleere offene affine Teilmenge

${}V=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}\subseteq U\,.$

Nach Lemma 11.16 genügt es zu zeigen, dass ${}R$ ein Integritätsbereich ist. Es sei ${}{\mathfrak {a}}$ das Nilradikal von ${}R$. Wegen der Irreduzibilität von ${}V$, die aus der Irreduzibilität von ${}X$ folgt, ist nach Lemma 11.3 das Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ ein Primideal. Da die Reduziertheit nach Aufgabe 10.14 eine lokale Eigenschaft ist, gilt ${}{\mathfrak {a}}=0$. Das Nullideal ist also ein Primideal und damit ist ${}R$ ein Integritätsbereich.

$\Box$

Lemma

Zu einem integren Schema

ist der Halm der Strukturgarbe im generischen Punkt ein Körper.

Beweis

Den Halm kann man ausgehend von einer beliebigen nichtleeren affinen offenen Teilmenge ${}U$ bestimmen. Diese haben die Form ${}U=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ mit einem kommutativen Ring ${}R$, der aufgrund von Lemma 11.18 ein Integritätsbereich ist. Der generische Punkt entspricht dabei dem Nullideal, und die Lokalisierung am Nullideal ergibt den Quotientenkörper von ${}R$.

$\Box$

Definition

Zu einem integren Schema nennt man den Halm der Strukturgarbe im generischen Punkt den Funktionenkörper von ${}X$.

In einem integren Schema ist der Schnittring zu jeder nichtleeren offenen Menge ein Unterring des Funktionenkörpers.

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