Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Arbeitsblatt 11

Aufgabe

Zeige, dass in einem irreduziblen topologischen Raum ${}X$ jede nichtleere offene Teilmenge ${}U\subseteq X$ dicht ist.

Aufgabe

Zeige, dass ein metrischer Raum ${}X$ nur dann irreduzibel ist, wenn er einpunktig ist.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und ${}Y\subseteq X$ eine Teilmenge mit der induzierten Topologie. Zeige, dass ${}Y$ genau dann irreduzibel ist, wenn der Abschluss ${}{\overline {Y}}$ irreduzibel ist.

Man sagt, dass ein topologischer Raum die Trennungseigenschaft ${}T_{0}$ erfüllt, wenn es zu je zwei Punkten ${}x\neq y$ eine offene Menge ${}U$ mit ${}x\in U$ und ${}y\notin U$ oder eine offene Menge ${}V$ mit ${}x\notin V$ und ${}y\in V$ gibt.

Man sagt, dass ein topologischer Raum die Trennungseigenschaft ${}T_{1}$ erfüllt, wenn jeder Punkt ${}x\in X$ abgeschlossen ist.

Aufgabe

Zeige, dass ein Schema die Trennungseigenschaft ${}T0$ erfüllt.

Aufgabe

Zeige, dass für ein affines Schema ${}X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ folgende Eigenschaften äquivalent sind.

1. In ${}R$ ist jedes Primideal maximal.
2. In ${}X$ ist jeder Punkt abgeschlossen.
3. ${}X$ ist ein Hausdorffraum.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für ein nulldimensionales affines Schema ${}X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$, das nicht diskret ist.

Aufgabe

Es sei ${}Y\subseteq X$ eine irreduzible Teilmenge in einem topologischen Raum ${}X$ und ${}\eta \in Y$ ein Punkt. Zeige, dass ${}\eta$ genau dann ein generischer Punkt von ${}Y$ ist, wenn ${}{\overline {\{\eta \}}}=Y$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ das Spektrum zu einem kommutativen Ring ${}R$ und ${}Y=V({\mathfrak {p}})\subseteq X$ die abgeschlossene Teilmenge zu einem Primideal ${}{\mathfrak {p}}$. Zeige, dass ${}{\mathfrak {p}}$ der generische Punkt von ${}V({\mathfrak {p}})$ ist.

Aufgabe *

Es sei ${}M\neq \emptyset$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension ${}n$. Zeige, dass es eine Kette von abgeschlossenen Untermannigfaltigkeiten

${}M_{0}\subseteq M_{1}\subseteq M_{2}\subseteq \ldots \subseteq M_{n-1}\subseteq M_{n}=M\,$

derart gibt, dass die abgeschlossene Untermannigfaltigkeit ${}M_{i}$ die Dimension ${}i$ besitzt.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein noetherscher topologischer Raum. Zeige, dass dann auch jede Teilmenge ${}Y\subseteq X$ mit der induzierten Topologie wieder noethersch ist.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein noetherscher topologischer Raum. Zeige, dass jede Teilmenge ${}Y\subseteq X$ mit der induzierten Topologie quasikompakt ist.

Aufgabe

Zeige, dass die reellen Zahlen ${}\mathbb {R}$ mit der metrischen Topologie kein noetherscher topologischer Raum ist.

Aufgabe *

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}\operatorname {Spek} {\left(R\right)}=\bigcup _{i\in I}D(f_{i})$ mit ${}f_{i}\in R$. Es sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal in ${}R$ mit der Eigenschaft, dass die Erweiterungsideale ${}{\mathfrak {a}}R_{f_{i}}$ endlich erzeugt sind. Zeige, dass ${}{\mathfrak {a}}$ endlich erzeugt ist.

Aufgabe *

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ das zugehörige affine Schema. Zeige, dass ${}X$ genau dann ein noethersches Schema ist, wenn ${}R$ ein noetherscher Ring ist.

Aufgabe

Zeige, dass es in einem noetherschen kommutativen Ring nur endlich viele minimale Primideale gibt.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel eines nicht-noetherschen Ringes, dessen Reduktion ein Körper ist.

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Ein multiplikatives System ${}F\subseteq R$ nennt man einen Ultrafilter, wenn ${}0\not \in F$ ist und wenn ${}F$ maximal mit dieser Eigenschaft ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}F\subset R$ ein Ultrafilter. Zeige, dass das Komplement von ${}F$ ein minimales Primideal in ${}R$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ ein beringter Raum. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ ist ein reduzierter beringter Raum.
2. Für jeden Punkt ${}P\in X$ ist der Halm ${}{\mathcal {O}}_{X,P}$ reduziert.

Aufgabe

Zeige, dass für ein Schema die Integrität im Allgemeinen keine lokale Eigenschaft ist.