Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Arbeitsblatt 12

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}D$ eine kommutative Gruppe und ${}A$ eine ${}D$- graduierte ${}R$-Algebra. Zeige ${}1\in A_{0}$ und folgere, dass ${}A_{0}$ eine ${}R$- Unteralgebra von ${}A$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}A=\bigoplus _{d\in D}A_{d}$ ein graduierter kommutativer Ring und es sei ${}A_{e}$ eine Stufe, die eine Einheit enthalte. Zeige, dass ${}A_{e}$ als ${}A_{0}$- Modul isomorph zu ${}A_{0}$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}D$ eine kommutative Gruppe und ${}A$ eine ${}D$- graduierte kommutative ${}R$- Algebra. Es sei ${}{\mathfrak {a}}\subseteq A$ ein homogenes Ideal. Zeige, dass der Restklassenring ${}R/{\mathfrak {a}}$ ebenfalls ${}D$-graduiert ist.

Aufgabe

Zeige, dass es im Polynomring in ${}n$ Variablen genau ${}{\binom {d+n-1}{n-1}}$ Monome vom Grad ${}d$ gibt.

Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel für zwei monomiale Ideale ${}{\mathfrak {a}}$ und ${}{\mathfrak {b}}$ in einem Polynomring und einer natürlichen Zahl ${}d$ derart, dass das Produkt ${}{\mathfrak {a}}\cdot {\mathfrak {b}}$ ein Erzeugendensystem von Monomen vom Grad ${}\leq d$ besitzt, die beiden Ideale aber nicht.

Aufgabe

Zeige, dass die Teilmengen ${}D_{+}({\mathfrak {a}})\subseteq \operatorname {Proj} {\left(R\right)}$ zu homogenen Idealen in einem ${}\mathbb {Z}$- graduierten Ring ${}R$ in der Tat eine Topologie auf dem projektiven Spektrum ${}\operatorname {Proj} {\left(R\right)}$ festlegen.

Aufgabe

Zeige, dass die offenen Teilmengen ${}D_{+}(f)\subseteq \operatorname {Proj} {\left(R\right)}$ zu homogenen Elementen ${}f\in R_{+}$ in einem ${}\mathbb {Z}$- graduierten Ring ${}R$ eine Basis der Topologie auf dem projektiven Spektrum bilden.

Aufgabe

Bestimme das projektive Spektrum zum Achsenkreuz ${}\operatorname {Spek} {\left(K[X,Y]/(XY)\right)}$ (in der Standardgraduierung).

Aufgabe

Skizziere das projektive Spektrum zu den Achsenebenen ${}\operatorname {Spek} {\left(K[X,Y,Z]/(XYZ)\right)}$ (in der Standardgraduierung).

Aufgabe *

Bestimme den Schnittpunkt der beiden Geraden

${}L=V_{+}(6X-8Y+3Z)\,$

und

${}M=V_{+}(2X+9Y-5Z)\,$

in der projektiven Ebene.

Aufgabe

Zeige, dass zwei verschiedene Punkte ${}P$ und ${}Q$ in der projektiven Ebene eindeutig eine projektive Gerade definieren, auf der beide Punkte liegen. Wie berechnet man die Geradengleichung aus den Koordinaten der Punkte?

Aufgabe

Zeige, dass der globale Schnittring ${}\Gamma {\left({\mathbb {P} }_{R}^{n},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}\right)}$ des projektiven Raumes gleich ${}R$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass die in Beispiel 10.7 über Verklebungen konstruierte projektive Gerade ${}{\mathbb {P} }_{K}^{1}$ mit der projektiven Geraden im Sinne von Beispiel 12.10, also ${}\operatorname {Proj} {\left(K[X,Y]\right)}$, übereinstimmt.

Aufgabe

Es sei ${}D_{+}(L)\cong {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\subset {\mathbb {P} }_{K}^{n}$, wobei ${}L$ eine homogene Linearform im zugehörigen Polynomring ${}K[X_{0},\ldots ,X_{n}]$ sei. Zeige, dass die Zariski-Topologie auf dem projektiven Raum die Zariski-Topologie auf dem affinen Raum induziert.

Aufgabe

Es sei ${}P=\left(a_{0},\,\ldots ,\,a_{n}\right)\in {\mathbb {P} }_{K}^{n}$ ein Punkt im projektiven Raum. Zeige, dass es eine offene affine Umgebung ${}U\cong {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\subset {\mathbb {P} }_{K}^{n}$ derart gibt, dass ${}P$ in diesem affinen Raum dem Nullpunkt entspricht.

Aufgabe

Es sei ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n}$ der projektive Raum der Dimension ${}n$ über dem Körper ${}K$ und seien

${}D_{+}(X_{i})\cong {{\mathbb {A} }_{K}^{n}},D_{+}(X_{j})\cong {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\subset {\mathbb {P} }_{K}^{n}\,$

zwei affine offene Teilmengen. Beschreibe die (nicht überall definierte) Übergangsabbildung von ${}D_{+}(X_{i})$ nach ${}D_{+}(X_{j})$.

Aufgabe

Es seien ${}m+1$ homogene Polynome ${}F_{0},\ldots ,F_{m}$ in ${}n+1$ Variablen gegeben, die alle den gleichen Grad ${}d$ besitzen. Zeige, dass es eine offene Menge ${}U\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{n}$ gibt, auf der die Polynome einen Morphismus

${\mathbb {P} }_{K}^{n}\supseteq U\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{m}$

definieren.

Aufgabe

Es sei ${}S$ ein ${}\mathbb {Z}$- graduierter Ring, der in der ersten Stufe eine homogene Einheit besitze, und es sei ${}{\mathfrak {a}}\subseteq S$ ein homogenes Ideal. Zeige für ${}n\in \mathbb {Z}$ die Gleichheit von ${}(S/{\mathfrak {a}})_{0}$- Moduln

${}(S/{\mathfrak {a}})_{n}=(S/{\mathfrak {a}})_{0}\otimes _{S_{0}}S_{n}\,.$

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein standard-graduierter Ring und ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein homogenes Ideal. Es sei ${}f\in R$ ein homogenes Element vom Grad ${}1$. Zeige für ${}n\in \mathbb {Z}$ die folgende Gleichheit von ${}(R_{f}/{\mathfrak {a}}_{f})_{0}$- Moduln

${}((R/{\mathfrak {a}})_{f})_{n}=(R_{f}/{\mathfrak {a}}_{f})_{n}=(R_{f}/{\mathfrak {a}}_{f})_{0}\otimes _{(R_{f})_{0}}(R_{f})_{n}\,.$