Zeige durch ein Beispiel, dass die
Kegelabbildung
-
nicht
abgeschlossen
sein muss.
Es sei ein
Körper
und
eine
standard-graduierte
-
Algebra.
Zeige, dass das Diagramm
-
aus
Schemamorphismen
kommutiert, wobei die vertikalen Abbildungen links und rechts
Kegelabbildungen
sind und die horizontalen Abbildungen Isomorphien und die natürlichen
abgeschlossenen Einbettungen
sind.
Diskutiere den Zusammenhang zwischen der
Kegelabbildung
-
und der Hopf-Faserung
.
Es sei ein
beringter Raum.
Es seien
globale Schnitte, die in das
Einheitsideal
erzeugen. Zeige, dass der zugehörige
-
Modulhomomorphismus
, ,
surjektiv
ist.
In der vorstehenden Aussage gilt nicht die Umkehrung, siehe
Aufgabe 14.10.
Es sei ein
beringter Raum.
Es seien
globale Schnitte mit
.
Zeige, dass die
Determinante
der
Matrix
genau dann eine
Einheit
in ist, wenn der zugehörige
-
Modulhomomorphismus
, ,
ein
Isomorphismus
ist.
Es sei ein
beringter Raum
und seien
und
Modulgarben
auf . Es sei
-
ein
Garbenmorphismus
und es sei
eine offene Überdeckung. Zeige die folgenden Aussagen.
- Wenn die Abbildungen
-
für alle mit der Addition verträglich sind, so gilt dies auch für
-
- Wenn die
-
für alle mit den -Skalarmultiplikationen verträglich sind, so gilt dies auch für
-
- Wenn die
-
-
Modulhomomorphismen
für alle sind, so gilt dies auch für .
Es sei ein
beringter Raum
und seien
Modulgarben
auf . Zeige, dass der
Halm
der
Prägarbe
-
in einem Punkt
gleich
ist.
Es sei ein
lokal beringter Raum
und eine
invertierbare Garbe
auf . Es sei
eine
offene Teilmenge
derart, dass die Einschränkung trivial ist, und es sei
ein
Isomorphismus.
Es sei
ein
globaler Schnitt
mit dem
Invertierbarkeitsort
. Zeige, dass
,
wobei rechts der
Invertierbarkeitsort
zu steht.
Es sei
und
invertierbare Garben
auf einem
lokal beringten Raum
. Es seien
,
und
.
Zeige, dass die
Invertierbarkeitsorte
-
erfüllen.
Es sei
ein
homogenes Polynom
vom Grad . Zeige, dass dies eine
kurze exakte Garbensequenz
-
auf dem
projektiven Raum
festlegt
(hierbei wird die Strukturgarbe auf der projektiven Hyperfläche als eine Garbe auf dem projektiven Raum aufgefasst).