Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Arbeitsblatt 13

Aufgabe

Zeige durch ein Beispiel, dass die Kegelabbildung

${{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n}$

nicht abgeschlossen sein muss.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein ${}\mathbb {Z}$- graduierter Ring und ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal in ${}R$. Zeige, dass die Homogenisierung ${}{\mathfrak {p}}^{h}$ ebenfalls ein Primideal ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}R=K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$ eine standard-graduierte ${}K$- Algebra. Zeige, dass das Diagramm

${\begin{matrix}\operatorname {Spek} {\left(R\right)}\supseteq D(R_{+})&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&V({\mathfrak {a}})\cap D(X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n})&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&{{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}\supseteq D(X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n})&\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\\operatorname {Proj} {\left(R\right)}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&V_{+}({\mathfrak {a}})&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&{\mathbb {P} }_{K}^{n}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

aus Schemamorphismen kommutiert, wobei die vertikalen Abbildungen links und rechts Kegelabbildungen sind und die horizontalen Abbildungen Isomorphien und die natürlichen abgeschlossenen Einbettungen sind.

Aufgabe

Diskutiere den Zusammenhang zwischen der Kegelabbildung

${\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{2}\supset {\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{2}\setminus \{(0,0)\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$

und der Hopf-Faserung ${}S^{3}\rightarrow S^{2}$.

Aufgabe

Es sei ${}{\mathcal {F}}$ ein ${}{\mathcal {O}}_{X}$- Modul auf einem beringten Raum ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$. Zeige, dass zu jedem Punkt ${}P\in X$ der Halm ${}{\mathcal {F}}_{P}$ ein ${}{\mathcal {O}}_{X,P}$- Modul ist.

Aufgabe

Es seien ${}{\mathcal {F}}$ und ${}{\mathcal {G}}$ ${}{\mathcal {O}}_{X}$- Moduln auf einem beringten Raum ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$. Zeige, dass dann auch die direkte Summe ${}{\mathcal {F}}\oplus {\mathcal {G}}$ ein ${}{\mathcal {O}}_{X}$-Modul ist.

Aufgabe

Es sei ${}{\mathcal {F}}$ ein ${}{\mathcal {O}}_{X}$- Modul auf einem beringten Raum ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ und ${}{\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {F}}$ ein ${}{\mathcal {O}}_{X}$- Untermodul. Zeige, dass die Quotientengarbe ${}{\mathcal {F}}/{\mathcal {G}}$ in natürlicher Weise ein ${}{\mathcal {O}}_{X}$-Modul ist.

Aufgabe

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum. Zeige, dass ${}s\in \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$ genau dann eine Einheit ist, wenn der zugehörige ${}{\mathcal {O}}_{X}$- Modulhomomorphismus ${}{\mathcal {O}}_{X}\rightarrow {\mathcal {O}}_{X}$ ein Isomorphismus ist.

Aufgabe

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum. Es seien ${}s_{1},\ldots ,s_{n}\in \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$ globale Schnitte, die in ${}\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$ das Einheitsideal erzeugen. Zeige, dass der zugehörige ${}{\mathcal {O}}_{X}$- Modulhomomorphismus ${}{\mathcal {O}}_{X}^{n}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X}$, ${}e_{i}\longmapsto s_{i}$, surjektiv ist.

In der vorstehenden Aussage gilt nicht die Umkehrung, siehe Aufgabe 14.10.

Aufgabe

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum. Es seien ${}s_{1},\ldots ,s_{n}\in \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})^{n}$ globale Schnitte mit ${}s_{i}=\left(s_{i1},\,\ldots ,\,s_{in}\right)$. Zeige, dass die Determinante der Matrix ${}{\left(s_{ij}\right)}_{1\leq i,j\leq n}$ genau dann eine Einheit in ${}\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$ ist, wenn der zugehörige ${}{\mathcal {O}}_{X}$- Modulhomomorphismus ${}{\mathcal {O}}_{X}^{n}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X}^{n}$, ${}e_{i}\longmapsto s_{i}$, ein Isomorphismus ist.

Aufgabe

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum und seien ${}{\mathcal {M}}$ und ${}{\mathcal {N}}$ Modulgarben auf ${}X$. Es sei

$\varphi \colon {\mathcal {M}}\longrightarrow {\mathcal {N}}$

ein Garbenmorphismus und es sei ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Wenn die Abbildungen

   $\varphi _{U_{i}}\colon \Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {M}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {N}}\right)}$

   für alle ${}i$ mit der Addition verträglich sind, so gilt dies auch für

   $\varphi _{X}\colon \Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {N}}\right)}.$

2. Wenn die

   $\varphi _{U_{i}}\colon \Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {M}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {N}}\right)}$

   für alle ${}i$ mit den ${}\Gamma (U_{i},{\mathcal {O}}_{X})$-Skalarmultiplikationen verträglich sind, so gilt dies auch für

   $\varphi _{X}\colon \Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {N}}\right)}.$

3. Wenn die

   $\varphi {|}_{U_{i}}\colon {\mathcal {M}}{|}_{U_{i}}\longrightarrow {\mathcal {N}}{|}_{U_{i}}$

   ${}{\mathcal {O}}_{X}{|}_{U_{i}}$- Modulhomomorphismen für alle ${}i$ sind, so gilt dies auch für ${}\varphi$.

Aufgabe

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum und sei ${}{\mathcal {F}}$ eine Modulgarbe auf ${}X$.

Zeige, dass es einen natürlichen ${}{\mathcal {O}}_{X}$- Modulhomomorphismus

${\mathcal {F}}\longrightarrow {\mathcal {F}}^{**}$

gibt.

Aufgabe

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum und seien ${}{\mathcal {F}},{\mathcal {G}}$ Modulgarben auf ${}X$. Zeige, dass der Halm der Prägarbe

$U\longmapsto \Gamma {\left(U,{\mathcal {F}}\right)}\otimes _{\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})}\Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)}$

in einem Punkt ${}P\in X$ gleich

${}{\begin{aligned}\operatorname {colim} _{\Gamma {\left(U,{\mathcal {F}}\right)}\otimes _{\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})}\Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)}}\,P\in U&={\left(\operatorname {colim} _{\Gamma {\left(U,{\mathcal {F}}\right)}}\,P\in U\right)}\otimes _{\left(\operatorname {colim} _{\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})}\,P\in U\right)}{\left(\operatorname {colim} _{\Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)}}\,P\in U\right)}\\&={\mathcal {F}}_{P}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X,P}}{\mathcal {G}}_{P}\end{aligned}}$

ist.

Aufgabe

Es sei ${}{\mathcal {F}}$ eine Modulgarbe auf einem beringten Raum ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ und sei ${}{\mathcal {F}}^{*}$ die duale Garbe zu ${}{\mathcal {F}}$. Zeige, dass es einen natürlichen ${}{\mathcal {O}}_{X}$- Homomorphismus

${\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {F}}^{*}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X}$

gibt.

Aufgabe

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein lokal beringter Raum und ${}{\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf ${}X$. Es sei ${}U\subseteq X$ eine offene Teilmenge derart, dass die Einschränkung ${}{\mathcal {L}}{|}_{U}$ trivial ist, und es sei ${}\varphi \colon {\mathcal {L}}{|}_{U}\rightarrow {\mathcal {O}}_{X}{|}_{U}$ ein Isomorphismus. Es sei ${}s\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {L}}\right)}$ ein globaler Schnitt mit dem Invertierbarkeitsort ${}X_{s}$. Zeige, dass ${}X_{s}\cap U=U_{\varphi (s)}$, wobei rechts der Invertierbarkeitsort zu ${}\Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{X}{|}_{U}\right)}$ steht.

Aufgabe

Es sei ${}{\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf einem beringten Raum ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$. Zeige, dass die duale Garbe ${}{\mathcal {L}}^{*}$ ebenfalls invertierbar ist.

Aufgabe

Es sei ${}{\mathcal {L}}$ und ${}{\mathcal {M}}$ invertierbare Garben auf einem beringten Raum ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$. Zeige, dass die Tensorierung ${}{\mathcal {L}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {M}}$ ebenfalls invertierbar ist.

Aufgabe

Es sei ${}{\mathcal {L}}$ und ${}{\mathcal {M}}$ invertierbare Garben auf einem lokal beringten Raum ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$. Es seien ${}s\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {L}}\right)}$, ${}t\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}$ und ${}st\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {L}}\otimes {\mathcal {M}}\right)}$. Zeige, dass die Invertierbarkeitsorte

${}X_{st}=X_{s}\cap X_{t}\,$

erfüllen.

Aufgabe

Zeige, dass eine invertierbare Garbe ${}{\mathcal {L}}$ auf einem beringten Raum ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ in natürlicher Weise isomorph zu ihrem Bidual ${}{\mathcal {L}}^{**}$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}{\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf einem beringten Raum ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ und sei ${}{\mathcal {L}}^{*}$ die duale Garbe zu ${}{\mathcal {L}}$. Zeige, dass es einen natürlichen ${}{\mathcal {O}}_{X}$- Isomorphismus

${\mathcal {L}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {L}}^{*}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X}$

gibt.

Aufgabe

Wir betrachten den projektiven Raum über einem Körper ${}K$ und die invertierbare Garbe ${}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}(m)$ zu ${}m>0$. Es sei ${}f\in \Gamma {\left({\mathbb {P} }_{K}^{n},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}(m)\right)}=K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]_{m}$. Zeige für die Invertierbarkeitsmenge die Gleichheit ${}{\left({\mathbb {P} }_{K}^{n}\right)}_{f}=D_{+}(f)$.

Aufgabe

Wir betrachten den projektiven Raum über einem Körper ${}K$ und die invertierbaren Garben ${}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}(\ell )$. Zeige ${}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}(\ell )\otimes {\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}(m)\cong {\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}(\ell +m)$.

Aufgabe

Es sei ${}F\in K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein homogenes Polynom ${}\neq 0$ vom Grad ${}d$. Zeige, dass dies eine kurze exakte Garbensequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}(-d)\,{\stackrel {\cdot F}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{V_{+}(F)}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

auf dem projektiven Raum festlegt (hierbei wird die Strukturgarbe auf der projektiven Hyperfläche ${}V_{+}(F)$ als eine Garbe auf dem projektiven Raum aufgefasst).