Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Vorlesung 13
- Die Kegelabbildung
Es sei ein - graduierter Ring. Dann nennt man zu einem Ideal das von allen homogenen Elementen aus erzeugte Ideal die Homogenisierung von . Sie wird mit bezeichnet.
Die Homogenisierung ist wieder ein Ideal, das im Ausgangsideal enthalten ist. Zu einem Primideal ist die Homogenisierung ein Primideal.
Es sei ein - graduierter Ring. Dann versteht man unter der Kegelabbildung den Schemamorphismus
der auf den offenen Mengen zu homogenen Elementen durch die Spektrumsabbildung zu gegeben ist.
Es sei ein - graduierter Ring.
Dann ist die Kegelabbildung in der Tat ein Schemamorphismus.
Die Abbildung ist wohldefiniert, da die Homogenisierung eines Primideals wieder ein Primideal ist. Zu einem homogenen und einem Primideal ist genau dann, wenn ist, daher ist das Urbild von gleich und die Abbildung ist stetig. Das Diagramm von Abbildungen
kommutiert. Dabei steht oben die eingeschränkte Kegelabbildung, unten die natürliche Spektrumsabbildung, links die Identifizierung aus Lemma 9.13 und rechts die Identifizierung aus Lemma 12.8. Um die Kommutativität nachzuweisen, ist für ein Primideal die Gleichheit
zu zeigen, wobei die Primideale in aufzufassen sind. Die Gleichheit beruht auf den Argumenten zu Lemma 12.8. Dadurch ist der Morphismus schematheoretisch auf festgelegt. Die Morphismen zu verschiedenen sind miteinander kompatibel und legen einen globalen Schemamorphismus fest.
Zum Polynomring in Variablen mit der Standardgraduierung über einem Körper ist die Kegelabbildung gleich
Auf den -Punkten ist diese Abbildung einfach durch
geben, die einem Punkt die durch diesen Punkt und den Nullpunkt bestimmte Gerade zuordnet.
- Moduln auf einem beringten Raum
So wie es für einen kommutativen Ring wichtig ist, die - Moduln zu verstehen, muss man für einen beringten Raum die darauf gegebenen -Moduln verstehen.
Eine Garbe auf einem beringten Raum heißt -Modul, wenn es für jede offene Menge auf eine - Modulstruktur gegeben ist, die mit den Restriktionsabbildungen zu verträglich ist.
Die Verträglichkeitsbedingung bedeutet, dass zu offenen Mengen das Diagramm
kommutiert. Die Strukturgarbe ist insbesondere ein -Modul. Ein -Modul ist insbesondere eine Garbe von abelschen Gruppen.
Es sei ein beringter Raum und ein - Modul. Eine Untergarbe derart, dass für jede offene Teilmenge ein - Untermodul von ist, heißt -Untermodul von .
Es sei ein beringter Raum. Ein - Untermodul heißt Idealgarbe.
Die Faser ist insbesondere ein Vektorraum über dem Restekörper .
Es sei ein beringter Raum und seien und - Moduln auf . Ein Garbenhomomorphismus heißt -Modulhomomorphismus, wenn für jede offene Menge die Abbildung
ein - Modulhomomorphismus ist.
Ein - Modulhomomorphismus ist insbesondere ein Homomorphismus von Garben von abelschen Gruppen.
Die folgende Aussage ist eine Version des Festlegungssatzes aus der linearen Algebra.
Es sei ein beringter Raum und sei ein - Modul auf .
Dann geben globale Schnitte Anlass zu einem eindeutig bestimmten Modulhomomorphismus
Zu jeder offenen Menge ist der freie - Modul mit der Basis . Die globalen Schnitte liefern Einschränkungen . Nach dem Festlegungssatz gibt es dazu einen eindeutig bestimmten - Modulhomomorphismus
Diese Modulhomomorphismen sind mit den Einschränkungen zu verträglich und daher liegt ein Homomorphismus von Modulgarben vor.
Es sei ein beringter Raum und sei ein - Moduln auf .
Dann entspricht ein globaler Schnitt eindeutig dem Modulhomomorphismus
Dies ist ein Spezialfall von Satz 13.10.
- Konstruktionen für Modulgarben
Es sei ein beringter Raum und seien und Modulgarben auf . Dann nennt man
mit der natürlichen - Modulstruktur den (globalen) Homomorphismenmodul zu und .
Im Wesentlichen gibt es zu jeder Konstruktion für -Moduln eine analoge Konstruktion für -Moduln. Der Leitgedanke ist dabei, dass die konstruierten Objekte wieder die „richtigen Eigenschaften“ innerhalb der Kategorie aller -Moduln besitzt. Von daher ist auch zu erwarten, dass die vorstehende Definition noch nicht das letzte Wort ist, sondern um eine Garbenversion zu erweitern ist.
Es sei ein beringter Raum und seien und Modulgarben auf . Dann nennt man die Zuordnung
die Homomorphismengarbe zu und . Sie wird mit bezeichnet.
Es ist also
Es sei ein beringter Raum und seien und Modulgarben auf .
Dann ist die Homomorphismengarbe eine - Modulgarbe auf .
Es liegt die Beziehung
vor, und rechts steht nach Lemma 4.9 eine Garbe. Die Homomorphieeigenschaft, also die Verträglichkeit mit der Addition und der Skalarmultiplikation, kann man dabei lokal testen (siehe Aufgabe 13.11), sodass links eine Untergarbe steht. Die -Struktur auf wird durch die Addition und Skalarmultiplikation in der zweiten Komponente gegeben, und dies ist mit den Einschränkungen verträglich.
Es sei ein beringter Raum und sei eine Modulgarbe auf . Dann nennt man
mit der natürlichen - Modulstruktur den dualen Modul zu .
Es sei ein beringter Raum und seien Modulgarben auf . Dann nennt man die Vergarbung der Prägarbe
das Tensorprodukt der Moduln. Sie wird mit bezeichnet.
Aufgrund der universellen Eigenschaft der Vergarbung gibt es eine kanonische Abbildung
die in den Halmen ein Isomorphismus ist. Der Halm ist dabei das Tensorprodukt der Halme, siehe Aufgabe 13.13.
- Invertierbare Garben
Ein - Modul auf einem beringten Raum heißt invertierbar, wenn es eine offene Überdeckung derart gibt, dass die Einschränkungen isomorph zu sind.
Eine invertierbare Garbe auf einem beringten Raum heißt trivial, wenn sie isomorph zur Strukturgarbe ist.
Es sei ein topologischer Raum, versehen mit der Garbe der stetigen Funktionen und eine reelles Geradenbündel auf . Dann ist die Garbe der stetigen Schnitte im Sinne von Beispiel 3.12 ein invertierbarer - Modul. Zu einer offenen Menge mit einer Trivialisierung ist ja ,
Es sei ein Körper und der projektive Raum über . Die Strukturgarbe ist für jede offene Teilmenge eine Teilmenge des Funktionenkörpers
Wegen der Faktorialität des Polynomringes gibt es zu jedem homogenen Ideal ein bis auf Multiplikation mit einem Skalar eindeutig bestimmtes homogenes Polynom von maximalem Grad ohne mehrfache Faktoren mit
(daei ist hier erlaubt, wobei dann allerdings die Schreibweise nicht verwendet wird.). Wegen Satz 9.8 ist der globale Schnittring gleich
Sei fixiert. Wir definieren eine Garbe durch
Dabei handelt es sich um eine invertierbare Garbe. Auf (und ebenso auf den ) ist nämlich
ein - Modulisomorphismus, der sich auf die kleineren offenen Teilmengen überträgt. Die globale Auswertung auf dem projektiven Raum ist einfach , was zeigt, dass (bei ) diese invertierbaren Garben zu nicht zueinander isomorph sind (das stimmt für alle ).
Zu einem lokal beringten Raum , einer invertierbaren Garbe auf und einem globalen Schnitt nennt man
den Invertierbarkeitsort von .
Das Komplement , also das Nullstellengebilde des Schnittes, bezeichnen wir mit .
Es sei ein lokal beringter Raum, eine invertierbare Garbe auf und ein globaler Schnitt.
Dann ist der Invertierbarkeitsort offen.
Dies folgt durch eine lokale Betrachtung aus Lemma 7.16.
Es sei ein lokal beringter Raum und eine invertierbare Garbe auf . Es sei ein globaler Schnitt mit dem Invertierbarkeitsort .
Dann ist die Einschränkung trivial.
Der globale Schnitt gibt nach Lemma 13.11 Anlass zu einem Modulhomomorphismus
und insbesondere zu einem Modulhomomorphismus
Für jeden Punkt ist dies ein Isomorphismus, daher ist nach Lemma 4.6 ebenfalls ein Isomorphismus.
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