Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Arbeitsblatt 14
Es sei ein Ideal in einem kommutativen Ring und . Zeige
Es sei ein - Modul über einem kommutativen Ring und . Zeige
wobei rechts die Modulgarbe zum -Modul steht.
Es sei ein kommutativer Ring und ein endlich erzeugter - Modul. Es sei ein Primideal mit . Zeige, dass es ein gibt mit .
Es sei ein kommutativer Ring und sei ein - Modulhomomorphismus zwischen endlich erzeugten - Moduln. Es sei ein Primideal derart, dass der induzierte Homomorphismus surjektiv ist. Zeige, dass es ein derart gibt, dass surjektiv ist.
Es sei ein noetherscher kommutativer Ring und sei ein - Modulhomomorphismus zwischen endlich erzeugten - Moduln. Es sei ein Primideal derart, dass der induzierte Homomorphismus injektiv ist. Zeige, dass es ein derart gibt, dass injektiv ist.
Zeige anhand von und , dass die Aussagen aus Aufgabe 14.3, Aufgabe 14.4 und Aufgabe 14.5 ohne die Vorausssetzung der endlichen Erzeugtheit nicht stimmen.
Sei ein Körper,
und .
- Zeige, dass ein Primideal ist.
- Zeige .
- Zeige für .
- Zeige, dass
lokalisiert in injektiv (also auch bijektiv) ist, aber keine Nenneraufnahme an einem einzigen Element injektiv ist.
Es sei ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper . Zeige, dass eine konstante Garbe auf dem Spektrum ist.
Es sei ein kommutativer Ring und seien - Moduln. Zeige
Es sei die punktierte affine Ebene. Man gebe ein Beispiel für globale Schnitte derart, dass nicht das Einheitsideal ist, dass aber der zugehörige - Modulhomomorphismus , , surjektiv ist.
Wir betrachten zu die kurze exakte Sequenz
wobei hinten die Standardvektoren auf die Idealerzeuger gehen und vorne die auf abgebildet wird. Dies führt nach Lemma 14.9 zu einer exakten Garbensequenz
Es sei . Zeige die folgenden Aussagen.
- Es ist .
- Es ist .
- Die Auswertung der exakten Garbensequenz auf ist
wobei die hintere Abbildung nicht surjektiv ist.
Es sei ein kommutativer Ring und ein Ideal in mit der zugehörigen kurzen exakten Sequenz
Interpretiere die entsprechende kurze exakte Garbensequenz
auf dem Spektrum von . Auf welchen offenen Mengen und in welchen Punkten werden die Objekte (Auswertungen bzw. Halme) zu und die Homomorphismen zu Isomorphismen?
Es sei ein Ringhomomorphismus zwischen den kommutativen Ringen und und sei die zugehörige Spektrumsabbildung. Es sei ein - Modul mit der zugehörigen Modulgarbe auf . Zeige
wobei einfach der -Modul , aufgefasst als -Modul, ist.
Es sei ein Ringhomomorphismus zwischen den kommutativen Ringen und und sei die zugehörige Spektrumsabbildung. Es sei ein - Modul mit der zugehörigen Modulgarbe auf . Zeige
auf .
Die folgende Aufgabe beschreibt die ringtheoretische Version zu
Lemma Anhang 4.3.
Zusammen mit den beiden vorstehenden Aufgaben ergibt sie wiederum die Spektrumsversion dieser Aussage.
Es sei ein Ringhomomorphismus zwischen den kommutativen Ringen und . Es sei ein - Modul und ein -Modul. Zeige, dass es einen natürlichen Gruppenisomorphismus
gibt, wobei den -Modul , aufgefasst als -Modul, bezeichnet.
Es sei ein kommutativer Ring und sei ein quasikohärenter Modul auf . Zeige für einen - Modul .
Es seien und quasikohärente Moduln auf einem Schema . Zeige, dass dann auch die direkte Summe wieder quasikohärent ist.
Es seien und kohärente Moduln auf einem Schema . Zeige, dass dann auch die direkte Summe wieder kohärent ist.
Es seien und quasikohärente Moduln auf einem Schema und sei ein Homomorphismus. Zeige, dass der Kern ebenfalls quasikohärent ist.
Es seien und kohärente Moduln auf einem noetherschen Schema und sei ein Homomorphismus. Zeige, dass der Kern ebenfalls kohärent ist.
Es seien und quasikohärente Moduln auf einem Schema und sei ein Homomorphismus. Zeige, dass der Kokern ebenfalls quasikohärent ist.
Es sei ein noethersches Schema und sei eine globale Funktion mit Invertierbarkeitsort . Es sei ein quasikohärenter - Modul auf . Zeige
Es sei ein noethersches Schema und sei eine offene Teilmenge. Es sei ein quasikohärenter - Modul auf . Zeige, dass der Vorschub ein quasikohärenter Modul auf ist.
Betrachte zuerst die Situation, wo affin ist.
Wir betrachten die invertierbare Garbe auf dem projektiven Raum über einem Körper zusammen mit dem globalen Schnitt und der Invertierbarkeitsmenge . Es sei eine auf definierte Funktion. Zeige direkt, dass es ein derart gibt, dass
von einem globalen Element aus herrührt.
Wir betrachten die invertierbare Garbe auf der projektiven Geraden über einem Körper zusammen mit dem globalen Schnitt und der Invertierbarkeitsmenge . Finde für die folgenden Funktionen aus ein geeignetes derart, dass von einem (von welchen?) Element aus herrührt.
- ,
- ,
- .
Spezialisiere Satz 14.13 für den Fall, wo die Strukturgarbe von ist.
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