Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Vorlesung 13/latex
\setcounter{section}{13}
\zwischenueberschrift{Die Kegelabbildung}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein $\Z$-\definitionsverweis {graduierter Ring}{}{.} Dann nennt man zu einem Ideal ${\mathfrak a}$ das von allen \definitionsverweis {homogenen Elementen}{}{} aus ${\mathfrak a}$ erzeugte Ideal die \definitionswort {Homogenisierung}{} von ${\mathfrak a}$. Sie wird mit ${\mathfrak a}^h$ bezeichnet.
}
Die Homogenisierung ist wieder ein Ideal, das im Ausgangsideal enthalten ist. Zu einem Primideal ist die Homogenisierung ein Primideal.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein
$\Z$-\definitionsverweis {graduierter Ring}{}{.}
Dann versteht man unter der
\definitionswort {Kegelabbildung}{}
den
\definitionsverweis {Schemamorphismus}{}{}
\maabbeledisp {} {D(R_+)} { \operatorname{Proj} { \left( R \right) }
} { {\mathfrak p} } { {\mathfrak p}^h
} {,}
der auf den offenen Mengen zu homogenen Elementen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
durch die
\definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{}
zu
\maabb {} { { \left( R_f \right) }_0 } {R_f
} {}
gegeben ist.
}
\inputfaktbeweis
{Graduierter Ring/Z/Kegelabbildung/Schema/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
$\Z$-\definitionsverweis {graduierter Ring}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die
\definitionsverweis {Kegelabbildung}{}{}
in der Tat ein
\definitionsverweis {Schemamorphismus}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Abbildung ist wohldefiniert, da die Homogenisierung eines Primideals wieder ein Primideal ist. Zu einem homogenen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und einem Primideal ${\mathfrak p}$ ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{ {\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{ {\mathfrak p}^h
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, daher ist das Urbild von
\mathl{D_+(f)}{} gleich $D(f)$ und die Abbildung ist stetig. Das Diagramm von Abbildungen
\mathdisp {\begin{matrix} D(f) & \stackrel{ }{\longrightarrow} & D_+(f) & \\ \downarrow & & \downarrow & \\ \operatorname{Spek} { \left( R_f \right) } & \stackrel{ }{\longrightarrow} & \operatorname{Spek} { \left( { \left( R_f \right) }_0 \right) } & \!\!\!\!\! , \\ \end{matrix}} { }
kommutiert. Dabei steht oben die eingeschränkte Kegelabbildung, unten die natürliche Spektrumsabbildung, links die Identifizierung aus
Lemma 9.13
und rechts die Identifizierung aus
Lemma 12.8.
Um die Kommutativität nachzuweisen, ist für ein Primideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}
}
{ \in }{D(f)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}^h \cap (R_f)_0
}
{ =} { {\mathfrak p} \cap (R_f)_0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zu zeigen, wobei die Primideale in $R_f$ aufzufassen sind. Die Gleichheit beruht auf den Argumenten zu
Lemma 12.8.
Dadurch ist der Morphismus schematheoretisch auf
\mathl{D(f)}{} festgelegt. Die Morphismen
\maabb {} { \operatorname{Spek} { \left( R_f \right) } } { \operatorname{Spek} { \left( { \left( R_f \right) }_0 \right) }
} {}
zu verschiedenen $f$ sind miteinander kompatibel und legen einen globalen Schemamorphismus fest.
\inputbeispiel{}
{
Zum Polynomring
\mathl{K[X_0,X_1 , \ldots , X_n ]}{} in $n+1$ Variablen mit der
\definitionsverweis {Standardgraduierung}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ ist die
\definitionsverweis {Kegelabbildung}{}{}
gleich
\maabbeledisp {} { { {\mathbb A}_{ K }^{ n+1 } } \supset D( X_0,X_1 , \ldots , X_n ) } { {\mathbb P}^{n}_{K}
} { {\mathfrak p} } { {\mathfrak p}^h
} {.}
Auf den $K$-Punkten ist diese Abbildung einfach durch
\maabbeledisp {} { K^{n+1} \setminus\{0\} } {{\mathbb P}^{n}_{}(K)
} { \left( x_0 , \, x_1 , \, \ldots , \, x_n \right) } { \left( x_0 , \, x_1 , \, \ldots , \, x_n \right)
} {,}
geben, die einem Punkt $\neq 0$ die durch diesen Punkt und den Nullpunkt bestimmte Gerade zuordnet.
}
\zwischenueberschrift{Moduln auf einem beringten Raum}
So wie es für einen kommutativen Ring $R$ wichtig ist, die $R$-\definitionsverweis {Moduln}{}{} zu verstehen, muss man für einen beringten Raum die darauf gegebenen ${\mathcal O}_{ X }$-Moduln verstehen.
\inputdefinition
{}
{
Eine
\definitionsverweis {Garbe}{}{}
${ \mathcal M }$ auf einem
\definitionsverweis {beringten Raum}{}{}
\mathl{(X, {\mathcal O}_{ X })}{} heißt
\definitionswortpraemath {{\mathcal O}_{ X }}{ Modul }{,}
wenn es für jede
\definitionsverweis {offene Menge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf
\mathl{\Gamma { \left( U, { \mathcal M } \right) }}{} eine
$\Gamma { \left( U, {\mathcal O}_{ X } \right) }$-\definitionsverweis {Modulstruktur}{}{}
gegeben ist, die mit den
\definitionsverweis {Restriktionsabbildungen}{}{}
zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
verträglich ist.
}
Die Verträglichkeitsbedingung bedeutet, dass zu offenen Mengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} \Gamma { \left( V, {\mathcal O}_{ X } \right) } \times \Gamma { \left( V, { \mathcal M } \right) } & \stackrel{ }{\longrightarrow} & \Gamma { \left( V, { \mathcal M } \right) } & \\ \downarrow & & \downarrow & \\ \Gamma { \left( U, {\mathcal O}_{ X } \right) } \times \Gamma { \left( U, { \mathcal M } \right) } & \stackrel{ }{\longrightarrow} & \Gamma { \left( U, { \mathcal M } \right) } & \!\!\!\!\! \\ \end{matrix}} { }
kommutiert. Die Strukturgarbe ${\mathcal O}_{ X }$ ist insbesondere ein ${\mathcal O}_{ X }$-Modul. Ein
${\mathcal O}_{ X }$-Modul ist insbesondere eine Garbe von abelschen Gruppen.
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mathl{(X, {\mathcal O}_{ X } )}{} ein
\definitionsverweis {beringter Raum}{}{}
und ${ \mathcal M }$ ein
${\mathcal O}_{ X }$-\definitionsverweis {Modul}{}{.}
Eine
\definitionsverweis {Untergarbe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \mathcal N }
}
{ \subseteq }{ { \mathcal M }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass
\mathl{\Gamma { \left( U, { \mathcal N } \right) }}{} für jede offene Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
$\Gamma (U, {\mathcal O}_X )$-\definitionsverweis {Untermodul}{}{}
von
\mathl{\Gamma { \left( U, { \mathcal M } \right) }}{} ist, heißt
\definitionswortpraemath {{\mathcal O}_{ X }}{ Untermodul }{}
von ${ \mathcal M }$.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mathl{(X, {\mathcal O}_{ X } )}{} ein
\definitionsverweis {beringter Raum}{}{.}
Ein
${\mathcal O}_{ X }$-\definitionsverweis {Untermodul}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \mathcal I }
}
{ \subseteq }{ {\mathcal O}_{ X }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt
\definitionswort {Idealgarbe}{.}
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mathl{(X, {\mathcal O}_{ X } )}{} ein
\definitionsverweis {lokal beringter Raum}{}{}
und ${ \mathcal M }$ ein
${\mathcal O}_{ X }$-\definitionsverweis {Modul}{}{.}
Zu einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nennt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \mathcal M } (P)
}
{ \defeq} { { \mathcal M }_P \otimes_{ {\mathcal O}_{X,P} } \kappa (P)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
\definitionswort {Faser}{}
von ${ \mathcal M }$ im Punkt $P$.
}
Die Faser ist insbesondere ein Vektorraum über dem Restekörper $\kappa (P)$.
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mathl{{ \left( X, {\mathcal O}_{ X } \right) }}{} ein
\definitionsverweis {beringter Raum}{}{}
und seien
\mathkor {} {{ \mathcal M }} {und} {{ \mathcal N }} {}
${\mathcal O}_{ X }$-\definitionsverweis {Moduln}{}{}
auf $X$. Ein
\definitionsverweis {Garbenhomomorphismus}{}{}
\maabb {\varphi} { { \mathcal M } } { { \mathcal N }
} {}
heißt
\definitionswortpraemath {{\mathcal O}_{ X }}{ Modulhomomorphismus }{,}
wenn für jede
\definitionsverweis {offene Menge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abbildung
\maabbdisp {} { \Gamma { \left( U, { \mathcal M } \right) } } { \Gamma { \left( U, { \mathcal N } \right) }
} {}
ein
$\Gamma (U, {\mathcal O}_X )$-\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{}
ist.
} Ein ${\mathcal O}_{ X }$-\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{} ist insbesondere ein Homomorphismus von Garben von abelschen Gruppen.
Die folgende Aussage ist eine Version des Festlegungssatzes aus der linearen Algebra.
\inputfaktbeweis
{Beringter Raum/Modulgarbe/Schnitte und Modulgarbenhomomorphismus/Festlegungssatz/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathl{{ \left( X, {\mathcal O}_{ X } \right) }}{} ein
\definitionsverweis {beringter Raum}{}{}
und sei ${ \mathcal M }$ ein
${\mathcal O}_{ X }$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
auf $X$.}
\faktfolgerung {Dann geben
\definitionsverweis {globale Schnitte}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s_1 , \ldots , s_n
}
{ \in }{ \Gamma { \left( X, { \mathcal M } \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Anlass zu einem eindeutig bestimmten
\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{}
\maabbeledisp {\varphi} { {\mathcal O}_{ X }^n } { { \mathcal M }
} {e_i} { s_i
} {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Zu jeder
\definitionsverweis {offenen Menge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma { \left( U, {\mathcal O}_{ X }^n \right) }
}
{ = }{ \Gamma { \left( U, {\mathcal O}_{ X } \right) }^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {freie}{}{}
$\Gamma { \left( U, {\mathcal O}_{ X } \right) }$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
mit der Basis
\mathl{e_1 , \ldots , e_n}{.} Die globalen Schnitte $s_i$ liefern Einschränkungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \left( s_i \right) } {{|}}_{U}
}
{ \in }{ \Gamma { \left( U, { \mathcal M } \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Nach
dem Festlegungssatz
gibt es dazu einen eindeutig bestimmten
$\Gamma { \left( U, {\mathcal O}_{ X } \right) }$-\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{}
\maabbeledisp {} { \Gamma { \left( U, {\mathcal O}_{ X } \right) }^n } { \Gamma { \left( U, { \mathcal M } \right) }
} { e_i} { { \left( s_i \right) } {{|}}_{U}
} {.}
Diese Modulhomomorphismen sind mit den Einschränkungen zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ \subseteq }{U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
verträglich und daher liegt ein Homomorphismus von Modulgarben vor.
\inputfaktbeweis
{Beringter Raum/Modulgarbe/Schnitt und Modulgarbenhomomorphismus/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathl{{ \left( X, {\mathcal O}_{ X } \right) }}{} ein
\definitionsverweis {beringter Raum}{}{}
und sei ${ \mathcal M }$ ein
${\mathcal O}_{ X }$-\definitionsverweis {Moduln}{}{}
auf $X$.}
\faktfolgerung {Dann entspricht ein
\definitionsverweis {globaler Schnitt}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \in }{ \Gamma { \left( X, { \mathcal M } \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eindeutig dem
\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{}
\maabbeledisp {\varphi} { {\mathcal O}_{ X } } { { \mathcal M }
} {1} { s
} {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies ist ein Spezialfall von Satz 13.10.
\zwischenueberschrift{Konstruktionen für Modulgarben}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mathl{(X, {\mathcal O}_{ X })}{} ein
\definitionsverweis {beringter Raum}{}{}
und seien
\mathkor {} {{ \mathcal M }} {und} {{ \mathcal N }} {}
\definitionsverweis {Modulgarben}{}{}
auf $X$. Dann nennt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Hom} { \left( { \mathcal M }, { \mathcal N } \right) }
}
{ =} { { \left\{ \varphi: { \mathcal M } \rightarrow { \mathcal N } \mid \varphi \text{ Modulhomomorphismus} \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit der natürlichen
$\Gamma { \left( X, {\mathcal O}_{ X } \right) }$-\definitionsverweis {Modulstruktur}{}{}
den
\zusatzklammer {globalen} {} {}
\definitionswort {Homomorphismenmodul}{}
zu
\mathkor {} {{ \mathcal M }} {und} {{ \mathcal N }} {.}
}
Im Wesentlichen gibt es zu jeder Konstruktion für $R$-Moduln eine analoge Konstruktion für ${\mathcal O}_{ X }$-Moduln. Der Leitgedanke ist dabei, dass die konstruierten Objekte wieder die \anfuehrung{richtigen Eigenschaften}{} innerhalb der Kategorie aller ${\mathcal O}_{ X }$-Moduln besitzt. Von daher ist auch zu erwarten, dass die vorstehende Definition noch nicht das letzte Wort ist, sondern um eine Garbenversion zu erweitern ist.
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mathl{(X, {\mathcal O}_{ X })}{} ein
\definitionsverweis {beringter Raum}{}{}
und seien
\mathkor {} {{ \mathcal M }} {und} {{ \mathcal N }} {}
\definitionsverweis {Modulgarben}{}{}
auf $X$. Dann nennt man die Zuordnung
\mathdisp {U \longmapsto \operatorname{Hom} { \left( { \mathcal M } {{|}}_U , { \mathcal N }{{|}}_U \right) } = { \left\{ \varphi: { \mathcal M }{{|}}_U \rightarrow { \mathcal N }{{|}}_U \mid \varphi \text{ Modulhomomorphismus} \right\} }} { }
die
\definitionswort {Homomorphismengarbe}{}
zu
\mathkor {} {{ \mathcal M }} {und} {{ \mathcal N }} {.}
Sie wird mit
\mathl{{\mathcal Hom} { \left( { \mathcal M } , { \mathcal N } \right) }}{} bezeichnet.
}
Es ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathcal Hom} { \left( { \mathcal M }, { \mathcal N } \right) } { \left( U \right) }
}
{ =} { \operatorname{Hom} { \left( { \mathcal M } {{|}}_U , { \mathcal N } {{|}}_U \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Beringter Raum/Modulgarben/Homomorphismenmodulgarbe/Garbe/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathl{(X, {\mathcal O}_{ X })}{} ein
\definitionsverweis {beringter Raum}{}{}
und seien
\mathkor {} {{ \mathcal M }} {und} {{ \mathcal N }} {}
\definitionsverweis {Modulgarben}{}{}
auf $X$.}
\faktfolgerung {Dann ist die
\definitionsverweis {Homomorphismengarbe}{}{}
\mathl{{\mathcal Hom} { \left( { \mathcal M } , { \mathcal N } \right) }}{} eine
${\mathcal O}_{ X }$-\definitionsverweis {Modulgarbe}{}{}
auf $X$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es liegt die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathcal Hom} { \left( { \mathcal M }, { \mathcal N } \right) } { \left( U \right) }
}
{ =} { \operatorname{Hom} { \left( { \mathcal M } {{|}}_U , { \mathcal N } {{|}}_U \right) }
}
{ \subseteq} { \operatorname{Mor} { \left( { \mathcal M } {{|}}_U ,{ \mathcal N } {{|}}_U \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
vor, und rechts steht nach
Lemma 4.9
eine Garbe. Die Homomorphieeigenschaft, also die Verträglichkeit mit der Addition und der Skalarmultiplikation, kann man dabei lokal testen
\zusatzklammer {siehe
Aufgabe 13.11} {} {,}
so dass links eine Untergarbe steht. Die ${\mathcal O}_{ X }$-Struktur auf
\mathl{{\mathcal Hom} { \left( { \mathcal M }, { \mathcal N } \right) }}{} wird durch die Addition und Skalarmultiplikation in der zweiten Komponente gegeben, und dies ist mit den Einschränkungen verträglich.
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mathl{(X, {\mathcal O}_{ X })}{} ein
\definitionsverweis {beringter Raum}{}{}
und sei ${ \mathcal M }$ eine
\definitionsverweis {Modulgarbe}{}{}
auf $X$. Dann nennt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \mathcal M }^*
}
{ =} { {\mathcal Hom} { \left( { \mathcal M }, {\mathcal O}_{ X } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit der natürlichen
${\mathcal O}_{ X }$-\definitionsverweis {Modulstruktur}{}{}
den
\definitionswort {dualen Modul}{}
zu ${ \mathcal M }$.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mathl{(X, {\mathcal O}_{ X })}{} ein
\definitionsverweis {beringter Raum}{}{}
und seien
\mathl{{ \mathcal F } , { \mathcal G }}{}
\definitionsverweis {Modulgarben}{}{}
auf $X$. Dann nennt man die
\definitionsverweis {Vergarbung}{}{}
der
\definitionsverweis {Prägarbe}{}{}
\mathdisp {U \longmapsto \Gamma { \left( U, { \mathcal F } \right) } \otimes_{ \Gamma (U, {\mathcal O}_X ) } \Gamma { \left( U, { \mathcal G } \right) }} { }
das
\definitionswort {Tensorprodukt}{}
der Moduln. Sie wird mit
\mathl{{ \mathcal F } \otimes_{ {\mathcal O}_{ X } } { \mathcal G }}{} bezeichnet.
}
Aufgrund der universellen Eigenschaft der Vergarbung gibt es eine kanonische Abbildung \maabbdisp {} { \Gamma { \left( U, { \mathcal F } \right) } \otimes_{ \Gamma (U, {\mathcal O}_X ) } \Gamma { \left( U, { \mathcal G } \right) } } { \Gamma { \left( U, { \mathcal F } \otimes_{ {\mathcal O}_{ X } } { \mathcal G } \right) } } {,} die in den Halmen ein Isomorphismus ist. Der Halm ist dabei das Tensorprodukt der Halme, siehe Aufgabe 13.13.
\zwischenueberschrift{Invertierbare Garben}
\inputdefinition
{}
{
Ein
${\mathcal O}_{ X }$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
${ \mathcal L }$ auf einem
\definitionsverweis {beringten Raum}{}{}
\mathl{{ \left( X, {\mathcal O}_{ X } \right) }}{} heißt
\definitionswort {invertierbar}{,}
wenn es eine
\definitionsverweis {offene Überdeckung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X
}
{ = }{ \bigcup_{i \in I} U_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass die Einschränkungen
\mathl{{ \mathcal L } {{|}}_{U_i}}{}
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
zu
\mathl{{\mathcal O}_{ X } {{|}}_{U_i}}{} sind.
}
Eine
\definitionsverweis {invertierbare Garbe}{}{}
${ \mathcal L }$ auf einem
\definitionsverweis {beringten Raum}{}{}
\mathl{(X, {\mathcal O}_{ X } )}{} heißt
\definitionswort {trivial}{,}
wenn sie
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
zur
\definitionsverweis {Strukturgarbe}{}{}
${\mathcal O}_{ X }$ ist.
\inputbeispiel{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{,}
versehen mit der Garbe der stetigen Funktionen
\mathl{C(-,\R)}{} und
\maabb {} {L} {X
} {}
eine
\definitionsverweis {reelles Geradenbündel}{}{}
auf $X$. Dann ist die
\definitionsverweis {Garbe der stetigen Schnitte}{}{}
$S$ im Sinne von
Beispiel 3.12
ein
\definitionsverweis {invertierbarer}{}{}
$C(-,\R)$-\definitionsverweis {Modul}{}{.}
Zu einer offenen Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einer Trivialisierung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L {{|}}_U
}
{ \cong }{ \R \times U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist ja
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S(U,L {{|}}_U )
}
{ \cong }{ C(U,\R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
}
\inputbeispiel{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und ${\mathbb P}^{n}_{K}$ der
\definitionsverweis {projektive Raum}{}{}
über $K$. Die
\definitionsverweis {Strukturgarbe}{}{}
ist für jede offene Teilmenge $U$ eine Teilmenge des Funktionenkörpers
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Gamma { \left( U, {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{n}_{K} } \right) }
}
{ \subseteq} { K( { \frac{ X_1 }{ X_0 } } , \ldots , { \frac{ X_n }{ X_0 } } )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen der Faktorialität des Polynomringes gibt es zu jedem homogenen Ideal ${\mathfrak a}$ ein bis auf Multiplikation mit einem Skalar eindeutig bestimmtes homogenes Polynom $f$ von maximalem Grad ohne mehrfache Faktoren mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{D_+( {\mathfrak a} )
}
{ \subseteq} { D_+(f)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {daei ist hier
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erlaubt, wobei dann allerdings die Schreibweise $D_+(f)$ nicht verwendet wird.} {} {.}
Wegen
Satz 9.8
ist der globale Schnittring gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Gamma { \left( U, {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{n}_{K} } \right) }
}
{ =} { \Gamma { \left( D_+(f), {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{n}_{K} } \right) }
}
{ =} { { \left( K[X_0,X_1 , \ldots , X_n]_f \right) }_0
}
{ \subseteq} { K( { \frac{ X_1 }{ X_0 } } , \ldots , { \frac{ X_n }{ X_0 } } )
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \ell
}
{ \in }{\Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
fixiert. Wir definieren eine Garbe ${\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{n}_{K} } (\ell)$ durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Gamma { \left( U, {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{n}_{K} } (\ell) \right) }
}
{ =} { \Gamma { \left( D_+(f) , {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{n}_{K} } (\ell) \right) }
}
{ \defeq} { { \left( K[X_0,X_1 , \ldots , X_n] _f \right) }_\ell
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{.}
Dabei handelt es sich um eine
\definitionsverweis {invertierbare Garbe}{}{.}
Auf
\mathl{D_+(X_0)}{}
\zusatzklammer {und ebenso auf den \mathlk{D_+(X_i)}{}} {} {}
ist nämlich
\maabbeledisp {} {{ \left( K[X_0,X_1 , \ldots , X_n]_{X_0} \right) }_0 } { { \left( K[X_0,X_1 , \ldots , X_n]_{X_0} \right) }_\ell
} { { \frac{ F }{ G } } } { X_0^\ell \cdot { \frac{ F }{ G } }
} {,}
ein
${ \left( K[X_0,X_1 , \ldots , X_n]_{X_0} \right) }_0$-\definitionsverweis {Modulisomorphismus}{}{,}
der sich auf die kleineren offenen Teilmengen überträgt. Die globale Auswertung auf dem projektiven Raum ist einfach
\mathl{{ \left( K[X_0,X_1 , \ldots , X_n] \right) }_\ell}{,} was zeigt, dass
\zusatzklammer {bei
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{n
}
{ \geq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
diese invertierbaren Garben zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\ell
}
{ \geq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nicht zueinander isomorph sind
\zusatzklammer {das stimmt für alle $\ell$} {} {.}
}
\inputdefinition
{}
{
Zu einem
\definitionsverweis {lokal beringten Raum}{}{}
\mathl{(X, {\mathcal O}_{ X })}{,} einer
\definitionsverweis {invertierbaren Garbe}{}{}
${ \mathcal L }$ auf $X$ und einem
\definitionsverweis {globalen Schnitt}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \in }{ \Gamma { \left( X, { \mathcal L } \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nennt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X_s
}
{ \defeq} { { \left\{ P \in X \mid s_P \notin {\mathfrak m}_P { \mathcal L }_P \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
den
\definitionswort {Invertierbarkeitsort}{}
von $s$.
}
Das Komplement
\mathl{X \setminus X_s}{,} also das Nullstellengebilde des Schnittes, bezeichnen wir mit
\mathl{Z(s)}{.}
\inputfaktbeweis
{Lokal beringter Raum/Invertierbare Garbe/Schnitt/Invertierbarkeit/Offen/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathl{(X, {\mathcal O}_{ X })}{} ein
\definitionsverweis {lokal beringter Raum}{}{,}
${ \mathcal L }$ eine
\definitionsverweis {invertierbare Garbe}{}{}
auf $X$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \in }{ \Gamma { \left( X, { \mathcal L } \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {globaler Schnitt}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist der
\definitionsverweis {Invertierbarkeitsort}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X_s
}
{ \subseteq }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt durch eine lokale Betrachtung aus Lemma 7.16.
\inputfaktbeweis
{Lokal beringter Raum/Invertierbare Garbe/Schnitt/Invertierbarkeit/Trivial/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathl{(X, {\mathcal O}_{ X })}{} ein
\definitionsverweis {lokal beringter Raum}{}{}
und ${ \mathcal L }$ eine
\definitionsverweis {invertierbare Garbe}{}{}
auf $X$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \in }{ \Gamma { \left( X, { \mathcal L } \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {globaler Schnitt}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {Invertierbarkeitsort}{}{}
$X_s$.}
\faktfolgerung {Dann ist die
\definitionsverweis {Einschränkung}{}{}
\mathl{{ \mathcal L } {{|}}_{X_s}}{}
\definitionsverweis {trivial}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Der globale Schnitt $s$ gibt nach
Lemma 13.11
Anlass zu einem
\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{}
\maabbeledisp {} { {\mathcal O}_{ X } } { { \mathcal L }
} {1} {s
} {,}
und insbesondere zu einem Modulhomomorphismus
\maabbdisp {\varphi} { {\mathcal O}_{ X } {{|}}_{X_s} } { { \mathcal L } {{|}}_{X_s}
} {.}
Für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{X_s
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist dies ein Isomorphismus, daher ist $\varphi$ nach
Lemma 4.6
ebenfalls ein Isomorphismus.