Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Vorlesung 29/latex
\setcounter{section}{29}
\zwischenueberschrift{Die Krümmung auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit}
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {riemannsche Mannigfaltigkeit}{}{}
und das
\definitionsverweis {Tangentialbündel}{}{}
$TM$ sei mit dem
\definitionsverweis {Levi-Civita-Zusammenhang}{}{}
versehen. Wir wollen den
\definitionsverweis {Krümmungsoperator}{}{}
$R$ in dieser Situation genauer verstehen. Er ist bei gegebenen Vektorfeldern $V,W$ eine Abbildung
\maabbdisp {R(V,W)} { C^2(M,TM) } {C^0(M,TM)
} {,}
d.h. er ergibt angewendet auf ein
\zusatzklammer {zweifach differenzierbares} {} {}
Vektorfeld $Z$ das Vektorfeld
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R(V,W)(Z)
}
{ =} { \nabla_V \nabla_W Z
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
So gesehen handelt es sich insgesamt bei einer unendlich oft differenzierbaren Mannigfaltigkeit um eine Abbildung
\maabbdisp {} {C^\infty(TM) \times C^\infty(TM) \times C^\infty(TM) } {C^\infty(TM)
} {,}
wobei aber die Argumente nicht gleichberechtigt sind.
\inputfaktbeweis
{R^n/Offene Menge/Riemannsche Metrik/Levi-Civita-Zusammenhang/Krümmungsoperator/Berechnung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{}
versehen mit einer
\definitionsverweis {riemannschen Metrik}{}{}
$g_{ij}$. Es sei $\nabla$ der
\definitionsverweis {Levi-Civita-Zusammenhang}{}{}
auf dem
\definitionsverweis {Tangentialbündel}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ E
}
{ = }{ U \times \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gilt für den
\definitionsverweis {Krümmungsoperator}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R( \partial_i , \partial_j)( \partial_k)
}
{ =} { \sum_{\ell = 1}^n R^\ell_{ijk} \partial_\ell
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R^\ell_{ijk}
}
{ =} { {\partial_i} \Gamma^\ell_{jk} - {\partial_j} \Gamma^\ell_{ik} + \sum_{ a = 1}^n \Gamma^a_{jk} \Gamma_{i a}^\ell -\sum_{ a = 1}^n \Gamma^a_{ik} \Gamma_{j a}^\ell
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei die
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Gamma_{ij}^\ell
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } \sum_{\mu = 1}^n g^{\ell \mu }(\partial_ig_{j\mu }+\partial_jg_{i\mu }-\partial_\mu g_{ij})
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Christoffelsymbole}{}{}
des Zusammenhangs bezeichnen.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies ist ein Spezialfall von Lemma 28.2.
\inputfaktbeweis
{Riemannsche Mannigfaltigkeit/Levi-Civita-Zusammenhang/Krümmungsoperator/Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {riemannsche Mannigfaltigkeit}{}{}
und das
\definitionsverweis {Tangentialbündel}{}{}
sei mit dem
\definitionsverweis {Levi-Civita-Zusammenhang}{}{}
versehen.}
\faktuebergang {Dann besitzt der
\definitionsverweis {Krümmungsoperator}{}{}
folgende Eigenschaften.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungsechs{Es ist
\mathl{R(V,W)Z}{} linear in allen drei Komponenten.
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
hängt
\mathl{(R(V,W)Z) (P)}{} nur von
\mathl{V(P),W(P),Z(P)}{} ab.
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R(V,W)
}
{ =} { -R(W,V)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R(V,W)Z+ R(W,Z)V+R(Z,V)W
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle R(V,W) T , Z \right\rangle
}
{ =} { - \left\langle R(V,W) Z , T \right\rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle R(V,W) T , Z \right\rangle
}
{ =} { \left\langle R(T,Z) V , W \right\rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\aufzaehlungsechs{Die Linearität in $Z$ beruht darauf, dass der Zusammenhang linear ist. Die Linearität in $V$ und in $W$ beruht auf
Lemma 24.10
und auf
Lemma 11.8.
}{Für die Abhängigkeit in $V$ und $W$ folgt die Aussage aus
Lemma 28.4.
Um zu zeigen, dass auch die Abhängigkeit in $Z$ nur von $Z(P)$ abhängt, können wir von der lokalen Situation auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ausgehen und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ = }{ \partial_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W
}
{ = }{ \partial_j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Z
}
{ = }{ h \partial_k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einer zweifach stetig differnezierbaren Funktion
\maabb {h} {U} {\R
} {}
ansetzen. Es ist dann nach
Lemma 25.10,
Satz 25.5
und
dem Satz von Schwarz
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{ R { \left( \partial_i, \partial_j \right) } { \left( h \partial_k \right) }
}
{ =} { \nabla_{\partial_i} { \left( \nabla_{\partial_j} { \left( h \partial_k \right) } \right) } - \nabla_{\partial_j} { \left( \nabla_{\partial_i} { \left( h \partial_k \right) } \right) }
}
{ =} { \nabla_{\partial_i} { \left( h \nabla_{\partial_j} \partial_k+ { \left( \partial_j h \right) } \partial_k \right) } - \nabla_{\partial_j} { \left( h \nabla_{\partial_i} \partial_k + { \left( \partial_i h \right) } \partial_k \right) }
}
{ =} { h \nabla_{\partial_i} { \left( \nabla_{\partial_j} \partial_k \right) } + { \left( \partial_i h \right) } \nabla_{\partial_j} \partial_k + { \left( \partial_j h \right) } \nabla_{\partial_i} \partial_k + { \left( \partial_i \partial_j h \right) } \partial_k
-h \nabla_{\partial_j} { \left( \nabla_{\partial_i} \partial_k \right) } - { \left( \partial_j h \right) } \nabla_{\partial_i} \partial_k - { \left( \partial_i h \right) } \nabla_{\partial_j} \partial_k -{ \left( \partial_j \partial_i h \right) } \partial_k
}
{ =} { h \nabla_{\partial_i} { \left( \nabla_{\partial_j} \partial_k \right) }-h \nabla_{\partial_j} { \left( \nabla_{\partial_i} \partial_k \right) }
}
}
{}{}{,}
woraus hervorgeht, dass dies nur von $h(P)$ abhängt.
}{Ist klar aufgrund der Definition und wegen
Lemma 11.8.
}{Aufgrund der
\definitionsverweis {Torsionsfreiheit}{}{}
\zusatzklammer {siehe
Satz 26.14} {} {}
und
der Jacobi-Identität
ist
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{ R(V,W)Z+ R(W,Z)V+R(Z,V)W
}
{ =} { \nabla_V { \left( \nabla_W Z \right) } -\nabla_W { \left( \nabla_V Z \right) } - \nabla_{[V,W]} Z +\nabla_W { \left( \nabla_Z V \right) } -\nabla_Z { \left( \nabla_W V \right) } - \nabla_{[W,Z]} V+\nabla_Z { \left( \nabla_V W \right) } -\nabla_V { \left( \nabla_Z W \right) } - \nabla_{[Z,V]} W
}
{ =} { \nabla_V { \left( [W,Z ] \right) } + \nabla_W { \left( [Z, V] \right) } + \nabla_Z { \left( [V, W] \right) } - \nabla_{[V,W]} Z - \nabla_{[W,Z]} V - \nabla_{[Z,V]} W
}
{ =} {\nabla_V { \left( [W,Z ] \right) } - \nabla_{[W,Z]} V + \nabla_W { \left( [Z, V] \right) } - \nabla_{[Z,V]} W + \nabla_Z { \left( [V, W] \right) } - \nabla_{[V,W]} Z
}
{ =} { [V, [W,Z]] + [W, [Z,V]] + [Z, [V,W]]
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {0
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{.}
}{Wir können und aus Vektorfelder $V,W$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ [V,W]
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
beschränken. Es ist dann nach
Satz 26.14 (2)
und
dem Satz von Schwarz
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{ \left\langle R(V,W)T , Z \right\rangle
}
{ =} { \left\langle \nabla_V \nabla_WT -\nabla_W \nabla_VT , Z \right\rangle
}
{ =} { \left\langle \nabla_V \nabla_WT , Z \right\rangle - \left\langle \nabla_W \nabla_VT , Z \right\rangle
}
{ =} { - \left\langle \nabla_WT , \nabla_V Z \right\rangle + D_V\left\langle \nabla_W T , Z \right\rangle + \left\langle \nabla_VT , \nabla_W Z \right\rangle - D_W \left\langle \nabla_V T , Z \right\rangle
}
{ =} { \left\langle T , \nabla_W \nabla_V Z \right\rangle - D_W \left\langle T , \nabla_VZ \right\rangle + D_V { \left( - \left\langle T , \nabla_WZ \right\rangle + D_W \left\langle T , Z \right\rangle \right) } - \left\langle T , \nabla_V \nabla_W Z \right\rangle + D_V \left\langle T , \nabla_W Z \right\rangle - D_W { \left( - \left\langle T , \nabla_V Z \right\rangle + D_V \left\langle T , Z \right\rangle \right) }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \left\langle T , \nabla_W \nabla_V Z \right\rangle - \left\langle T , \nabla_V \nabla_W Z \right\rangle
}
{ =} { - \left\langle R(V,W)Z , T \right\rangle
}
{ } {}
{ } {}
}{}{.}
}{Unter Verwendung von (3), (4) und (5) ist
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{ \left\langle R(V,W)T , Z \right\rangle
}
{ =} { - \left\langle R(T,V)W , Z \right\rangle - \left\langle R(W,T)V , Z \right\rangle
}
{ =} { \left\langle R(T,V) Z , W \right\rangle + \left\langle R(W,T) Z , V \right\rangle
}
{ =} { - \left\langle R(V,Z) T , W \right\rangle - \left\langle R(Z,T) V , W \right\rangle - \left\langle R(T,Z) W , V \right\rangle - \left\langle R(Z,W) T , V \right\rangle
}
{ =} { 2 \left\langle R(T,Z) V , W \right\rangle - \left\langle R(V,Z) T , W \right\rangle - \left\langle R(Z,W) T , V \right\rangle
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { 2 \left\langle R(T,Z) V , W \right\rangle + \left\langle R(V,Z) W , T \right\rangle + \left\langle R(Z,W) V , T \right\rangle
}
{ =} { 2 \left\langle R(T,Z) V , W \right\rangle - \left\langle R(W,V) Z , T \right\rangle
}
{ =} { 2 \left\langle R(T,Z) V , W \right\rangle - \left\langle R(V,W) T , Z \right\rangle
}
{ } {}
}{}{.}
Dies ergibt die Behauptung.
}
Aufgrund von
Lemma 29.2 (2)
ist für Vektoren
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v,w,z
}
{ \in }{ T_PM
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R(v,w)(z)
}
{ \in }{ T_PM
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
wohldefiniert, da man ja die Vektoren durch differenzierbare Vektorfelder
\mathl{V,W,Z}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V(P)
}
{ = }{ v
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
etc.
\zusatzklammer {lokal} {} {}
realisieren kann und dann $R(V,W)(Z)$ im Punkt auswerten kann.
\zwischenueberschrift{Die Schnittkrümmung}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {riemannsche Mannigfaltigkeit}{}{,}
die mit dem
\definitionsverweis {Levi-Civita-Zusammenhang}{}{}
auf dem
\definitionsverweis {Tangentialbündel}{}{}
$TM$ und dem zugehörigen
\definitionsverweis {Krümmungsoperator}{}{}
$R$ versehen sei. Dann nennt man zu
\definitionsverweis {linear unabhängigen}{}{}
Vektoren
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v,w
}
{ \in }{T_PM
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
über einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Zahl
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K(v,w)
}
{ =} { { \frac{ \left\langle R(v,w)w , v \right\rangle }{ \left\langle v , v \right\rangle \left\langle w , w \right\rangle -\left\langle v , w \right\rangle^2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
\definitionswort {Schnittkrümmung}{}
zu $v,w$ in $P$.
}
Diese Schnittkrümmung ist wohldefiniert, da im Fall der linearen Unabhängigkeit der Nenner nicht $0$ ist.
\inputfaktbeweis
{Riemannsche Mannigfaltigkeit/Levi-Civita-Zusammenhang/Schnittkrümmung/Tangentiale Ebene/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {riemannsche Mannigfaltigkeit}{}{,}
die mit dem
\definitionsverweis {Levi-Civita-Zusammenhang}{}{}
auf dem
\definitionsverweis {Tangentialbündel}{}{}
$TM$ und dem zugehörigen
\definitionsverweis {Krümmungsoperator}{}{}
$R$ versehen sei.}
\faktfolgerung {Dann hängt die
\definitionsverweis {Schnittkrümmung}{}{}
zu zwei linear unabhängigen Vektoren
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v,w
}
{ \in }{ T_PM
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nur von der durch die Vektoren erzeugten Ebene
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \R v + \R w
}
{ \subseteq} { T_PM
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ab.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir betrachten den definierenden Ausdruck
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K(v,w)
}
{ =} { { \frac{ \left\langle R(v,w)w , v \right\rangle }{ \left\langle v , v \right\rangle \left\langle w , w \right\rangle - \left\langle v , w \right\rangle^2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für die Schnittkrümmung. Der Ausdruck
\mathl{R(v,w)z}{} ist nach
Lemma 29.2
linear in allen Komponenten. Wenn man $v$ oder $w$ mit einem Skalar
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
multipliziert, so kann man sowohl im Zähler als auch im Nenner den Faktor $a^2$ rausziehen. Ferner gilt
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \left\langle R(v+w,w) w , v +w \right\rangle
}
{ =} { \left\langle R(v,w)w +R(w,w)w , v+w \right\rangle
}
{ =} { \left\langle R(v,w)w , v \right\rangle + \left\langle R(w,w)w , v \right\rangle + \left\langle R(v,w)w , w \right\rangle + \left\langle R(w,w)w , w \right\rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Nach
Lemma 29.2 (4)
sind
\mathkor {} {\left\langle R(w,w)w , v \right\rangle} {und} {\left\langle R(w,w)w , w \right\rangle} {}
gleich $0$ und wegen
Lemma 29.2 (5,6)
ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left\langle R(v,w)w , w \right\rangle
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Der Zähler der Schnittkrümmung ändert sich also nicht, wenn man $v$ durch $v+w$ ersetzt. Wegen
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{ \left\langle v+w , v+w \right\rangle \left\langle w , w \right\rangle -\left\langle v+w , w \right\rangle^2
}
{ =} { \left\langle v , v \right\rangle \left\langle w , w \right\rangle+\left\langle w , w \right\rangle \left\langle w , w \right\rangle +2\left\langle v , w \right\rangle \left\langle w , w \right\rangle -\left\langle v , w \right\rangle^2-\left\langle w , w \right\rangle^2 -2 \left\langle v , w \right\rangle \left\langle w , w \right\rangle
}
{ =} { \left\langle v , v \right\rangle \left\langle w , w \right\rangle -\left\langle v , w \right\rangle^2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ändert sich dabei auch nicht der Nenner.
\inputbemerkung
{}
{
Auf einer zweidimensionalen riemannschen Mannigfaltigkeit gibt es in jedem Tangentialraum nur den Raum selbst als zweidimensionalen Untervektorraum. Das bedeutet, dass im zweidimensionalen Fall nach Lemma 29.4 die Argumente in der \definitionsverweis {Schnittkrümmung}{}{} überflüssig sind. Deshalb fassen wir in dieser Situation die Schnittkrümmung als eine reellwertige Funktion auf der Mannigfaltigkeit auf.
}
\inputfaktbeweis
{Riemannsche Mannigfaltigkeit/Zweidimensional/Levi-Civita-Zusammenhang/Schnittkrümmung/Berechnung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Für eine zweidimensionale
\definitionsverweis {riemannsche Mannigfaltigkeit}{}{}}
\faktfolgerung {ist die
\definitionsverweis {Schnittkrümmung}{}{}
auf jeder Karte gleich
\mathl{- { \frac{ R^2_{121} }{ g_{11} } }}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir können direkt die Situation auf einer Karte betrachten. Nach
Lemma 29.4
kann man im zweidimensionalen Fall die Schnittkrümmung mit einer beliebigen Basis ausrechnen, wir nehmen
\mathkor {} {\partial_1} {und} {\partial_2} {.}
Für die Schnittkrümmung ist unter Verwendung von
Lemma 29.2 (5)
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ K( \partial_1, \partial_2)
}
{ =} { { \frac{ \left\langle R(\partial_1 ,\partial_2)\partial_2 , \partial_1 \right\rangle }{ \left\langle \partial_1 , \partial_1 \right\rangle \left\langle \partial_2 , \partial_2 \right\rangle -\left\langle \partial_1 , \partial_2 \right\rangle^2 } }
}
{ =} { { \frac{ \left\langle R(\partial_1 ,\partial_2)\partial_2 , \partial_1 \right\rangle }{ g_{11} g_{22} -g_{12}^2 } }
}
{ =} { - { \frac{ \left\langle R(\partial_1 ,\partial_2)\partial_1 , \partial_2 \right\rangle }{ g_{11} g_{22} -g_{12}^2 } }
}
{ } {
}
}
{}
{}{}
Dabei ist gemäß
Lemma 29.1
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R( \partial_1 , \partial_2)( \partial_1)
}
{ =} { R^1_{121} \partial_1+ R^2_{121} \partial_2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies ergibt
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ K( \partial_1, \partial_2)
}
{ =} { - { \frac{ \left\langle R(\partial_1 ,\partial_2)\partial_1 , \partial_2 \right\rangle }{ g_{11} g_{22} -g_{12}^2 } }
}
{ =} { - { \frac{ R^1_{121} g_{12}+ R^2_{121} g_{22} }{ g_{11} g_{22} -g_{12}^2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Nach
Lemma 29.2 (4)
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle R(\partial_1, \partial_1) \partial_1 , \partial_2 \right\rangle
}
{ =} { R^1_{121} g_{11} + R_{121}^2 g_{12}
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir multiplizieren den Zähler der Schnittkrümmung mit $g_{11}$ und erhalten
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ g_{11} { \left( R^1_{121} g_{12}+ R^2_{121} g_{22} \right) }
}
{ =} { g_{11} { \left( R^1_{121} g_{12}+ R^2_{121} g_{22} \right) } - g_{12} { \left( R^1_{121} g_{11} + R_{121}^2 g_{12} \right) }
}
{ =} { g_{11} g_{22} R^2_{121} - g_{12}^2 R^2_{121}
}
{ =} { { \left( g_{11} g_{22} - g_{12}^2 \right) } R^2_{121}
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K( \partial_1, \partial_2)
}
{ =} { - { \frac{ R^2_{121} }{ g_{11} } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Fläche im Raum/Schnittkrümmung/Gaußkrümmung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W
}
{ \subseteq }{ \R^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{}
und sei
\maabb {h} {W} { \R
} {}
eine zweifach
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y
}
{ = }{ h^{-1}(c)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Faser zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$
\definitionsverweis {regulär}{}{}
sei.}
\faktfolgerung {Dann ist die
\definitionsverweis {Gaußkrümmung}{}{}
von $Y$ gleich der
\definitionsverweis {Schnittkrümmung}{}{}
von $Y$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Nach
Lemma 29.6
ist die Schnittkrümmung auf einer Karte gleich
\mathl{- { \frac{ R^2_{121} }{ g_{11} } }}{.} Wegen
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ R^2_{121}
}
{ =} { {\partial_1} \Gamma^2_{12} - {\partial_2} \Gamma^2_{11} + \Gamma^1_{12} \Gamma_{1 1}^2 + \Gamma^2_{12} \Gamma_{1 2}^2 - \Gamma^1_{11} \Gamma_{12 }^2 - \Gamma^2_{11} \Gamma_{2 2}^2
}
{ =} { -g_{11} K
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
ist
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ K
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ g_{11} } } { \left( \partial_2 \Gamma_{11}^2 - \partial_1 \Gamma_{12}^2 + \Gamma^1_{11} \Gamma^2_{12} + \Gamma_{11}^2 \Gamma_{22}^2 - \Gamma_{12}^1 \Gamma_{11}^2- { \left( \Gamma_{12}^2 \right) }^2 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
was mit der Gaußkrümmung gemäß
Satz 19.7
übereinstimmt.
\inputbeispiel{}
{
Für die \definitionsverweis {euklidische Ebene}{}{} $\R^2$ mit dem \definitionsverweis {Standardskalarprodukt}{}{} ist die \definitionsverweis {Schnittkrümmung}{}{} konstant gleich $0$.
}
\inputbeispiel{}
{
Für die
\definitionsverweis {Einheitskugel}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S^2
}
{ \subseteq }{ \R^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der induzierten
\definitionsverweis {riemannschen Struktur}{}{}
ist die
\definitionsverweis {Schnittkrümmung}{}{}
konstant gleich $1$. Dies folgt aus
Beispiel 5.6
in Verbindung mit
Lemma 29.7.
}
\inputbeispiel{}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Parallel lines in Poincare's model of hyperbolic geometry.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Parallel lines in Poincare's model of hyperbolic geometry.svg } {} {Januszkaja} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
Wir knüpfen an
Beispiel 18.8
und
Beispiel 26.7
an. Mit
Lemma 29.1
ist
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ R^2_{121}
}
{ =} { {\partial_1} \Gamma^2_{12} - {\partial_2} \Gamma^2_{11} + \Gamma^1_{12} \Gamma_{1 1}^2 + \Gamma^2_{12} \Gamma_{1 2}^2 - \Gamma^1_{11} \Gamma_{12 }^2 - \Gamma^2_{11} \Gamma_{2 2}^2
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ y^2 } } - { \frac{ 1 }{ y^2 } }+ { \frac{ 1 }{ y^2 } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ y^2 } }
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Nach
Lemma 29.6
gilt für die
\definitionsverweis {Schnittkrümmung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K
}
{ =} { - { \frac{ R^2_{121} }{ g_{11 } }}
}
{ =} { - { \frac{ { \frac{ 1 }{ y^2 } } }{ { \frac{ 1 }{ y^2 } } } }
}
{ =} { -1
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
es liegt also konstante Schnittkrümmung $-1$ vor.
}