Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Vorlesung 29



Die Krümmung auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit

Es sei eine riemannsche Mannigfaltigkeit und das Tangentialbündel sei mit dem Levi-Civita-Zusammenhang versehen. Wir wollen den Krümmungsoperator in dieser Situation genauer verstehen. Er ist bei gegebenen Vektorfeldern eine Abbildung

d.h. er ergibt angewendet auf ein (zweifach differenzierbares) Vektorfeld das Vektorfeld

So gesehen handelt es sich insgesamt bei einer unendlich oft differenzierbaren Mannigfaltigkeit um eine Abbildung

wobei aber die Argumente nicht gleichberechtigt sind.



Es sei offen versehen mit einer riemannschen Metrik . Es sei der Levi-Civita-Zusammenhang auf dem Tangentialbündel .

Dann gilt für den Krümmungsoperator

mit

wobei die

die Christoffelsymbole des Zusammenhangs bezeichnen.

Dies ist ein Spezialfall von Lemma 28.2.



Es sei eine riemannsche Mannigfaltigkeit und das Tangentialbündel sei mit dem Levi-Civita-Zusammenhang versehen. Dann besitzt der Krümmungsoperator folgende Eigenschaften.

  1. Es ist linear in allen drei Komponenten.
  2. Für hängt nur von ab.
  3. Es ist
  4. Es ist
  5. Es ist
  6. Es ist
  1. Die Linearität in beruht darauf, dass der Zusammenhang linear ist. Die Linearität in und in beruht auf Lemma 24.10 und auf Lemma 11.8.
  2. Für die Abhängigkeit in und folgt die Aussage aus Lemma 28.4. Um zu zeigen, dass auch die Abhängigkeit in nur von abhängt, können wir von der lokalen Situation auf ausgehen und , und mit einer zweifach stetig differnezierbaren Funktion ansetzen. Es ist dann nach Lemma 25.10, Satz 25.5 und dem Satz von Schwarz
    woraus hervorgeht, dass dies nur von abhängt.
  3. Ist klar aufgrund der Definition und wegen Lemma 11.8.
  4. Aufgrund der Torsionsfreiheit (siehe Satz 26.14) und der Jacobi-Identität ist
  5. Wir können und aus Vektorfelder mit beschränken. Es ist dann nach Satz 26.14  (2) und dem Satz von Schwarz
  6. Unter Verwendung von (3), (4) und (5) ist
    Dies ergibt die Behauptung.


Aufgrund von Lemma 29.2  (2) ist für Vektoren in einem Punkt ein Vektor wohldefiniert, da man ja die Vektoren durch differenzierbare Vektorfelder mit etc. (lokal) realisieren kann und dann im Punkt auswerten kann.



Die Schnittkrümmung

Es sei eine riemannsche Mannigfaltigkeit, die mit dem Levi-Civita-Zusammenhang auf dem Tangentialbündel und dem zugehörigen Krümmungsoperator versehen sei. Dann nennt man zu linear unabhängigen Vektoren über einem Punkt die Zahl

die Schnittkrümmung zu in .

Diese Schnittkrümmung ist wohldefiniert, da im Fall der linearen Unabhängigkeit der Nenner nicht ist.



Es sei eine riemannsche Mannigfaltigkeit, die mit dem Levi-Civita-Zusammenhang auf dem Tangentialbündel und dem zugehörigen Krümmungsoperator versehen sei.

Dann hängt die Schnittkrümmung zu zwei linear unabhängigen Vektoren nur von der durch die Vektoren erzeugten Ebene

ab.

Wir betrachten den definierenden Ausdruck

für die Schnittkrümmung. Der Ausdruck ist nach Lemma 29.2 linear in allen Komponenten. Wenn man oder mit einem Skalar multipliziert, so kann man sowohl im Zähler als auch im Nenner den Faktor rausziehen. Ferner gilt

Nach Lemma 29.2  (4) sind und gleich und wegen Lemma 29.2  (5,6) ist auch . Der Zähler der Schnittkrümmung ändert sich also nicht, wenn man durch ersetzt. Wegen

ändert sich dabei auch nicht der Nenner.


Auf einer zweidimensionalen riemannschen Mannigfaltigkeit gibt es in jedem Tangentialraum nur den Raum selbst als zweidimensionalen Untervektorraum. Das bedeutet, dass im zweidimensionalen Fall nach Lemma 29.4 die Argumente in der Schnittkrümmung überflüssig sind. Deshalb fassen wir in dieser Situation die Schnittkrümmung als eine reellwertige Funktion auf der Mannigfaltigkeit auf.




Für eine zweidimensionale riemannsche Mannigfaltigkeit

ist die Schnittkrümmung auf jeder Karte gleich .

Wir können direkt die Situation auf einer Karte betrachten. Nach Lemma 29.4 kann man im zweidimensionalen Fall die Schnittkrümmung mit einer beliebigen Basis ausrechnen, wir nehmen und . Für die Schnittkrümmung ist unter Verwendung von Lemma 29.2  (5)

Dabei ist gemäß Lemma 29.1

Dies ergibt

Nach Lemma 29.2  (4) ist

Wir multiplizieren den Zähler der Schnittkrümmung mit und erhalten

Also ist



Es sei offen und sei eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und die Faser zu , wobei in jedem Punkt von regulär sei.

Dann ist die Gaußkrümmung von gleich der Schnittkrümmung von .

Nach Lemma 29.6 ist die Schnittkrümmung auf einer Karte gleich . Wegen

ist

was mit der Gaußkrümmung gemäß Satz 19.7 übereinstimmt.


Für die euklidische Ebene mit dem Standardskalarprodukt ist die Schnittkrümmung konstant gleich .



Für die Einheitskugel mit der induzierten riemannschen Struktur ist die Schnittkrümmung konstant gleich . Dies folgt aus Beispiel 5.6 in Verbindung mit Lemma 29.7.



Wir knüpfen an Beispiel 18.8 und Beispiel 26.7 an. Mit Lemma 29.1 ist

Nach Lemma 29.6 gilt für die Schnittkrümmung

es liegt also konstante Schnittkrümmung vor.



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