- Die Krümmung auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit
Es sei eine
riemannsche Mannigfaltigkeit
und das
Tangentialbündel
sei mit dem
Levi-Civita-Zusammenhang
versehen. Wir wollen den
Krümmungsoperator
in dieser Situation genauer verstehen. Er ist bei gegebenen Vektorfeldern eine Abbildung
-
d.h. er ergibt angewendet auf ein
(zweifach differenzierbares)
Vektorfeld das Vektorfeld
-
So gesehen handelt es sich insgesamt bei einer unendlich oft differenzierbaren Mannigfaltigkeit um eine Abbildung
-
wobei aber die Argumente nicht gleichberechtigt sind.
Es sei eine
riemannsche Mannigfaltigkeit
und das
Tangentialbündel
sei mit dem
Levi-Civita-Zusammenhang
versehen. Dann besitzt der
Krümmungsoperator
folgende Eigenschaften.
- Es ist linear in allen drei Komponenten.
- Für
hängt nur von ab.
- Es ist
-
- Es ist
-
- Es ist
-
- Es ist
-
- Die Linearität in beruht darauf, dass der Zusammenhang linear ist. Die Linearität in und in beruht auf
Lemma 24.10
und auf
Lemma 11.8.
- Für die Abhängigkeit in und folgt die Aussage aus
Lemma 28.4.
Um zu zeigen, dass auch die Abhängigkeit in nur von abhängt, können wir von der lokalen Situation auf
ausgehen und
,
und
mit einer zweifach stetig differnezierbaren Funktion
ansetzen. Es ist dann nach
Lemma 25.10,
Satz 25.5
und
dem Satz von Schwarz
woraus hervorgeht, dass dies nur von abhängt.
- Ist klar aufgrund der Definition und wegen
Lemma 11.8.
- Aufgrund der
Torsionsfreiheit
(siehe
Satz 26.14)
und
der Jacobi-Identität
ist
- Wir können und aus Vektorfelder mit
beschränken. Es ist dann nach
Satz 26.14 (2)
und
dem Satz von Schwarz
- Unter Verwendung von (3), (4) und (5) ist
Dies ergibt die Behauptung.
Aufgrund von
Lemma 29.2 (2)
ist für Vektoren
in einem Punkt
ein Vektor
wohldefiniert, da man ja die Vektoren durch differenzierbare Vektorfelder mit
etc.
(lokal)
realisieren kann und dann im Punkt auswerten kann.
- Die Schnittkrümmung
Es sei eine
riemannsche Mannigfaltigkeit,
die mit dem
Levi-Civita-Zusammenhang
auf dem
Tangentialbündel
und dem zugehörigen
Krümmungsoperator
versehen sei. Dann nennt man zu
linear unabhängigen
Vektoren
über einem Punkt
die Zahl
-
die
Schnittkrümmung
zu in .
Diese Schnittkrümmung ist wohldefiniert, da im Fall der linearen Unabhängigkeit der Nenner nicht ist.
Wir betrachten den definierenden Ausdruck
-
für die Schnittkrümmung. Der Ausdruck ist nach
Lemma 29.2
linear in allen Komponenten. Wenn man oder mit einem Skalar
multipliziert, so kann man sowohl im Zähler als auch im Nenner den Faktor rausziehen. Ferner gilt
Nach
Lemma 29.2 (4)
sind
und
gleich und wegen
Lemma 29.2 (5,6)
ist auch
.
Der Zähler der Schnittkrümmung ändert sich also nicht, wenn man durch ersetzt. Wegen
ändert sich dabei auch nicht der Nenner.