Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 29

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit derart, dass das Tangentialbündel ${}TM$ trivial ist, und sei auf ${}M$ über eine differenzierbare Trivialisierung ${}TM\cong M\times \mathbb {R} ^{n}$ (mit Hilfe des Standardskalarproduktes auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$) eine riemannsche Struktur gegeben (siehe Aufgabe 16.2). Zeige, dass der Krümmungsoperator auf ${}M$ trivial ist.

Aufgabe *

Berechne in der zweidimensionalen Situation von Lemma 29.1 die relevanten Christoffelsymbole für den Krümmungsoperator.

Aufgabe

Wir betrachten den Torus ${}S^{1}\times S^{1}$ einerseits mit der durch die Produktstruktur (und der Einbettung ${}S^{1}\subseteq \mathbb {R} ^{2}$, siehe Aufgabe 16.3 und Aufgabe 16.4) gegebenen riemannschen Struktur und andererseits mit der eingebetteten Realisierung

${}T={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid {\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-R\right)}^{2}+z^{2}=r^{2}\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{3}\,$

mit der induzierten riemannschen Struktur. Vergleiche die Krümmungsoperatoren für diese beiden Strukturen.

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