Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Arbeitsblatt 10

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}A_{n}$ eine alternierende Gruppe mit ${}n\geq 4$. Zeige, dass ${}A_{n}$ nicht kommutativ ist.

Aufgabe

Bestimme die Ordnung der ebenen Drehung um ${}291$ Grad.

Aufgabe

Führe folgendes Gedankenexperiment durch: Gegeben sei eine Kugeloberfläche aus Metall und ${}n$ gleiche Teilchen mit der gleichen positiven Ladung. Die Teilchen stoßen sich also ab. Diese Teilchen werden auf die Kugeloberfläche gebracht, wobei sie sich nach wie vor gegenseitig abstoßen, aber auf der Kugel bleiben. Welche Konfiguration nehmen die Teilchen ein? Müsste sich nicht „aus physikalischen Gründen“ eine „gleichverteilte“ Konfiguration ergeben, in der alle Teilchen gleichberechtigt sind? Müsste es nicht zu je zwei Teilchen ${}P,Q$ eine Kugelbewegung geben, die eine Symmetrie der Konfiguration ist und die ${}P$ in ${}Q$ überführt?

Die nächste Aufgabe verwendet die sogenannte Kleinsche Vierergruppe. Dies ist einfach die Produktgruppe ${}\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$.

Aufgabe

Zeige, dass die Kleinsche Vierergruppe zu einer Untergruppe der Permutationsgruppe ${}S_{4}$ isomorph ist. Wie sieht eine Realisierung als Untergruppe der Würfelgruppe aus?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass jede gerade Permutation ${}\sigma \in S_{n}$, ${}n\geq 3$, ein Produkt aus Dreierzykeln ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Betrachte die Wirkung der Tetraedergruppe auf den vier Eckpunkten eines Tetraeders. Zeige, dass dies eine Isomorphie zwischen der Tetraedergruppe und der alternierenden Gruppe ${}A_{4}$ ergibt.

Aufgabe (2 Punkte)

Wie viele Elemente besitzt die von der Drehung um ${}51$ Grad, von der Drehung um ${}99$ Grad und von der Siebteldrehung erzeugte Untergruppe der Drehgruppe ${}\operatorname {SO} _{2}$?

Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte ein regelmäßiges ${}n$-Eck und die zugehörige Gruppe der (eigentlichen und uneigentlichen) Symmetrien, also die Diedergruppe ${}D_{n}$. Beschreibe ${}D_{n}$ als Untergruppe der Permutationsgruppe ${}S_{n}$. Durch welche Permutationen wird sie erzeugt? Für welche ${}n$ handelt es sich um eine Untergruppe der alternierenden Gruppe?

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}G\subseteq \operatorname {O} _{2}\!$ eine endliche Untergruppe der (eigentlichen und uneigentlichen) Bewegungsgruppe der reellen Ebene, und sei ${}G\not \subseteq \operatorname {SO} _{2}$. Zeige, dass es einen surjektiven Gruppenhomomorphismus

$G\longrightarrow \mathbb {Z} /(2)$

gibt, dessen Kern eine zyklische Gruppe ist. Schließe, dass die Ordnung von ${}G$ gerade ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}G$ eine Gruppe mit Zentrum ${}Z(G)$. Zeige:

1. ${}G$ ist genau dann abelsch, wenn ${}G/Z(G)$ zyklisch ist.
2. Der Index von ${}Z(G)$ in ${}G$ ist keine Primzahl.
3. Ist ${}G$ von der Ordnung ${}pq$ für zwei Primzahlen ${}p$ und ${}q$, so ist ${}G$ abelsch oder ${}Z(G)$ trivial.

Die folgende Aufgabe verwendet den topologischen Begriff der Dichtheit.

Eine Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R}$ heißt dicht, wenn es zu jeder reellen Zahl ${}x\in \mathbb {R}$ und jedem ${}\epsilon >0$ Elemente ${}t\in T$ mit

${}\vert {t-x}\vert <\epsilon \,$

gibt.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}H$ eine (additive) Untergruppe der reellen Zahlen ${}\mathbb {R}$. Zeige, dass entweder ${}H={\mathbb {Z} }a$ mit einer eindeutig bestimmten nichtnegativen reellen Zahl ${}a$ ist, oder aber ${}H$ dicht in ${}\mathbb {R}$ ist.