Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Arbeitsblatt 14

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass das Bild unter einem Ringhomomorphismus ein Unterring ist.

Aufgabe *

Zeige, dass das Bild eines Ideals unter einem Ringhomomorphismus nicht unbedingt wieder ein Ideal ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring mit endlich vielen Elementen. Zeige, dass ${}R$ genau dann ein Integritätsbereich ist, wenn ${}R$ ein Körper ist.

Aufgabe

Bestimme die multiplikative Ordnung aller Einheiten im Restklassenkörper ${}\mathbb {Z} /(7)$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige direkt, ohne mit Restklassen zu argumentieren, dass eine Primzahl ${}p$ die Eigenschaft besitzt, dass wenn ${}p$ ein Produkt teilt, dass sie dann einen der Faktoren teilt.

Aufgabe (3 Punkte)

Studiere den kanonischen Ringhomomorphismus in den Endomorphismenring für ${}R=\mathbb {Z} /(n)$ für ${}n>0$.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die multiplikative Ordnung aller Einheiten im Restklassenkörper ${}\mathbb {Z} /(11)$.

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne ${}3^{1571}$ in ${}\mathbb {Z} /(13)$.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}f_{j}$, ${}j\in J$, eine Familie von Elementen in ${}R$. Es sei angenommen, dass die ${}f_{j}$ zusammen das Einheitsideal erzeugen. Zeige, dass es eine endliche Teilfamilie ${}f_{j}$, ${}j\in J_{0}\subseteq J$ gibt, die ebenfalls das Einheitsideal erzeugt.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal mit dem Restklassenring

${}S=R/{\mathfrak {a}}\,.$

Zeige, dass die Ideale von ${}S$ eindeutig denjenigen Idealen von ${}R$ entsprechen, die ${}{\mathfrak {a}}$ umfassen.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass jeder Restklassenring eines Hauptidealringes wieder ein Hauptidealring ist. Man gebe ein Beispiel, dass ein Restklassenring eines Hauptidealbereiches kein Hauptidealbereich sein muss.

In der folgenden Aufgabe darf man wieder den topologischen Raum ${}X$ durch einen metrischer Raum bzw. eine offene Teilmenge des ${}\mathbb {R} ^{n}$ ersetzen.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und ${}R=\operatorname {C} ^{0}\,(X,\mathbb {R} )$ der Ring der stetigen Funktionen auf ${}X$. Es sei ${}T\subseteq X$ eine Teilmenge. Zeige, dass die Teilmenge

${}I={\left\{f\in R\mid f\vert _{T}=0\right\}}\,$

ein Ideal in ${}R$ ist. Definiere einen Ringhomomorphismus

$R/I\longrightarrow \operatorname {C} ^{0}\,(T,\mathbb {R} ).$

Ist dieser immer injektiv? Surjektiv?