Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Arbeitsblatt 13

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und seien ${}f,g$ Nichtnullteiler in ${}R$. Zeige, dass das Produkt ${}fg$ ebenfalls ein Nichtnullteiler ist.

Aufgabe

Zeige, dass ein Unterring eines Körpers ein Integritätsbereich ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Ring, bei dem das multiplikative Monoid eine Gruppe ist. Welche Möglichkeiten gibt es da?

Aufgabe

Es sei ${}A$ eine Menge mit zwei Verknüpfungen, die beide für sich ein Monoid bilden. Ferner seien beide Verknüpfungen miteinander distributiv verbunden. Gibt es (interessante) Beispiele für eine solche algebraische Struktur? Kann ein Ring diese doppelte Distributivität besitzen?

Aufgabe

Zeige, dass die Umkehrabbildung eines Ringisomorphismus wieder ein Ringhomomorphismus ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring mit Elementen ${}x,y,z,w\in R$, wobei ${}z$ und ${}w$ Einheiten seien. Beweise die folgenden Bruchrechenregeln.

1. ${}{\frac {x}{1}}=x\,,$

2. ${}{\frac {1}{x}}=x^{-1}\,,$

3. ${}{\frac {1}{-1}}=-1\,,$

4. ${}{\frac {0}{z}}=0\,,$

5. ${}{\frac {z}{z}}=1\,,$

6. ${}{\frac {x}{z}}={\frac {xw}{zw}}\,,$

7. ${}{\frac {x}{z}}\cdot {\frac {y}{w}}={\frac {xy}{zw}}\,,$

8. ${}{\frac {x}{z}}+{\frac {y}{w}}={\frac {xw+yz}{zw}}\,.$

Gilt die zu (8) analoge Formel, die entsteht, wenn man die Addition mit der Multiplikation vertauscht, also

${}(x-z)\cdot (y-w)=(x+w)(y+z)-(z+w)\,?$

Zeige, dass die „beliebte Formel“

${}{\frac {x}{z}}+{\frac {y}{w}}={\frac {x+y}{z+w}}\,$

nicht gilt, außer im Nullring.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Studiere den kanonischen Ringhomomorphismus in den Endomorphismenring für ${}R=\mathbb {Z}$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}f\in R$. Charakterisiere mit Hilfe der Multiplikationsabbildung

$\mu _{f}\colon R\longrightarrow R,\,g\longmapsto fg,$

wann ${}f$ ein Nichtnullteiler und wann ${}f$ eine Einheit ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}f\in R$ ein nilpotentes Element. Zeige, dass ${}1+f$ eine Einheit ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}R$ ein Ring und seien ${}L$ und ${}M$ zwei Mengen mit den in Aufgabe 12.10 konstruierten Ringen ${}A=\operatorname {Abb} \,{\left(L,R\right)}$ und ${}B=\operatorname {Abb} \,{\left(M,R\right)}$. Zeige, dass eine Abbildung ${}L\rightarrow M$ einen Ringhomomorphismus

$B\longrightarrow A$

induziert.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine nilpotente lineare Abbildung. Zeige, dass ${}\varphi ^{n}=0$ ist, wobei ${}n$ die Dimension von ${}V$ bezeichnet.

In der folgenden Aufgabe muss man mittels einiger topologischer Eigenschaften der reellen Zahlen argumentieren.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}X$ eine Teilmenge von ${}\mathbb {R}$ und ${}C(X,\mathbb {R} )$ der Ring der stetigen Funktionen von ${}X$ nach ${}\mathbb {R}$. Dann ist durch

$\varphi \colon C(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )\longrightarrow C(X,\mathbb {R} ),\,f\longmapsto f\vert _{X},$

ein Ringhomomorphismus gegeben.

1. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann surjektiv ist, wenn ${}X$ abgeschlossen ist.
2. Für welche Mengen ${}X$ ist ${}\varphi$ injektiv?

In der letzten Aufgabe geht es nochmal „nur“ um Gruppen. Die darin verwendete Konstruktion spielt bei „elliptischen Kurven“ eine wichtige Rolle.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}M$ eine Menge mit einer Verknüpfung

$*\colon M\times M\longrightarrow M,\,(P,Q)\longmapsto P*Q,$

die für alle Elemente ${}P,Q,R,S\in M$ folgende Eigenschaften erfüllt.

1. ${}P*Q=Q*P$
2. ${}(P*Q)*P=Q$
3. ${}((P*Q)*R)*S=P*((Q*S)*R)$.

Es sei ${}{\mathfrak {O}}$ ein beliebiges aber fest gewähltes Element aus ${}M$. (a) Zeige, dass die Verknüpfung

${}P+Q:=(P*Q)*{\mathfrak {O}}\,$

eine kommutative Gruppenstruktur auf ${}M$ mit ${}{\mathfrak {O}}$ als neutralem Element definiert.

(b) Es sei nun ${}{\mathfrak {O}}'$ ein zweites Element aus ${}M$. Zeige, dass die durch ${}{\mathfrak {O}}$ und durch ${}{\mathfrak {O}}'$ definierten Gruppen isomorph sind.