Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Vorlesung 21/latex
\setcounter{section}{21}
\zwischenueberschrift{Algebren}
\inputdefinition
{}
{
Seien \mathkor {} {R} {und} {A} {} \definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{} und sei \maabb {} {R} {A } {} ein fixierter \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{.} Dann nennt man $A$ eine \definitionswort {$R$-Algebra}{.}
} Häufig ist der Ringhomomorphismus, der zum Begriff der Algebra gehört, vom Kontext her klar und wird nicht explizit aufgeführt. Z.B. ist der Polynomring $R[X]$ eine $R$-Algebra, indem man die Elemente aus $R$ als konstante Polynome auffasst, oder jeder Ring ist auf eine eindeutige Weise eine $\Z$-Algebra über den kanonischen Ringhomomorphismus \maabbele {} {\Z} {R } {n} {n_R } {.} Der Begriff der Algebra ist auch für nicht-kommutative Ringe $A$ \zusatzklammer {bei kommutativem Grundring $R$} {} {} sinnvoll, wobei dann in aller Regel die Voraussetzung gemacht wird, dass die Elemente aus $R$ mit allen Elementen aus $A$ vertauschen.
Wir werden den Begriff der Algebra vor allem in dem Fall verwenden, wo der Grundring $R$ ein Körper $K$ ist. Eine $K$-Algebra $A$ kann man stets in natürlicher Weise als Vektorraum über dem Körper $K$ auffassen. Die Skalarmultiplikation wird dabei einfach über den Strukturhomomorphismus erklärt. Eine typische Situation ist dabei, dass $\Q$ der Grundkörper ist und ein Zwischenring
\mathbed {L} {}
{\Q \subseteq L \subseteq {\mathbb C}} {}
{} {} {} {,}
gegeben ist. Dann ist $L$ über die Inklusion direkt eine $\Q$-Algebra.
Wenn man zwei Algebren über einem gemeinsamen Grundring hat, so sind vor allem diejenigen Ringhomomorphismen interessant, die den Grundring mitberücksichtigen. Dies führt zu folgendem Begriff.
\inputdefinition
{
}
{
Es seien \mathkor {} {R} {und} {S} {} kommutative $K$-\definitionsverweis {Algebren}{}{} über einem kommutativen Grundring $K$. Dann nennt man einen \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi} {R} {S } {} einen \definitionswortpraemath {K}{ Algebrahomomorphismus }{,} wenn er zusätzlich mit den beiden fixierten Ringhomomorphismen \maabb {} {K} {R } {} und \maabb {} {K} {S } {} verträglich ist.
}
Zum Beispiel ist jeder Ringhomomorphismus ein $\Z$-Algebra-Homomorphismus, da es zu jedem Ring $A$ überhaupt nur den kanonischen Ringhomomorphismus
\maabb {} {\Z} {A
} {}
gibt. Mit dieser Terminologie kann man den Einsetzungshomomorphismus
\zusatzklammer {siehe Vorlesung 16} {} {}
jetzt so verstehen, dass der Polynomring
\mathl{R[X]}{} mit seiner natürlichen Algebrastruktur und eine weitere $R$-Algebra $A$ mit einem fixierten Element
\mathl{a \in A}{} vorliegt und dass dann durch
\mathl{X \mapsto a}{} ein $R$-Algebra-Homomorphismus
\maabb {} {R[X]} {A
} {}
definiert wird.
\zwischenueberschrift{Rechnen in $K[X]/(P)$ }
Körper werden häufig ausgehend von einem schon bekannten Körper als Restklassenkörper des Polynomrings konstruiert. Die Arithmetik in einem solchen Erweiterungskörper wird in der folgenden Aussage beschrieben.
\inputfaktbeweis
{Restklassenring von KX/Wichtigste Eigenschaften/Fakt}
{Proposition}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{ \sum_{ i = 0 }^{ n } a_{ i } X^{ i}
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Polynom vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$n$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{ K[X]/(P)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der zugehörige
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Rechenregeln
\zusatzklammer {wir bezeichnen die Restklasse von $X$ in $R$ mit $x$} {} {.}}
\faktfolgerung {\aufzaehlungsechs{Man kann stets $P$ als normiert annehmen
\zusatzklammer {also \mathlk{a_n=1}{;} das werden wir im Folgenden tun} {} {.}
}{In $R$ ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x^n
}
{ = }{- \sum_{i = 0}^{n-1} a_ix^{i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Höhere Potenzen
\mathbed {x^k} {}
{k\geq n} {}
{} {} {} {,}
kann man mit den Potenzen
\mathbed {x^{i}} {}
{i \leq n-1} {}
{} {} {} {,}
ausdrücken, indem man mittels Vielfachen von (2) sukzessive den Grad um eins reduziert.
}{Die Potenzen
$x^0=1,\, x^1$ $, \ldots , x^{n-1}$
bilden eine $K$-Basis von $R$.
}{$R$ ist ein $K$-Vektorraum der Dimension $n$.
}{In $R$ werden zwei Elemente
\mathkor {} {P= \sum_{ i = 0 }^{ n-1 } b_{ i } x^{ i}} {und} {Q= \sum_{ i = 0 }^{ n-1 } c_{ i } x^{ i}} {}
komponentenweise addiert, und multipliziert, indem sie als Polynome multipliziert werden und dann die Restklasse berechnet wird.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\aufzaehlungsechs{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(P)
}
{ = }{ { \left( { \frac{ P }{ a_n } } \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
da es bei einem Hauptideal nicht auf eine Einheit ankommt.
}{Dies folgt direkt durch Umstellung der definierenden Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Dies folgt durch Multiplikation der Gleichung in (2) mit Potenzen von $x$.
}{Dass die Potenzen
\mathbed {x^{i}} {}
{i=0 , \ldots , n-1} {}
{} {} {} {,}
ein Erzeugendensystem bildet, folgt aus Teil (2) und (3). Zum Beweis der linearen Unabhängigkeit sei angenommen, es gebe eine lineare Abhängigkeit, sagen wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sum_{ i = 0 }^{ n-1 } c_{ i } x^{ i}
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
D.h., dass das Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q
}
{ = }{ \sum_{ i = 0 }^{ n-1 } c_{ i } X^{ i }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
unter der Restklassenabbildung auf $0$ geht, also zum Kern gehört. Dann muss es aber ein Vielfaches von $P$ sein, was aber aus Gradgründen erzwingt, dass $Q$ das Nullpolynom sein muss. Also sind alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c_i
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Dies folgt direkt aus (4).
}{Dies ist klar.
}
\inputbeispiel{
}
{
Wir betrachten den
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{L
}
{ =} {\Q[X]/(X^3+2X^2-5)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und bezeichnen die Restklasse von $X$ mit $x$. Aufgrund von
Proposition 21.3
besitzt jedes Element $f$ aus $L$ eine eindeutige Darstellung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ = }{ax^2 + bx +c
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mathl{a,b,c \in \Q}{,} so dass also ein dreidimensionaler $\Q$-Vektorraum vorliegt. Da
\mathl{X^3+2X^2-5}{} in $L$ zu $0$ gemacht wird, gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^3
}
{ =} {-2x^2+5
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daraus ergeben sich die Gleichungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^4
}
{ =} {-2x^3+5x
}
{ =} {-2(-2x^2+5) +5x
}
{ =} {4x^2+5x-10
}
{ } {}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^5
}
{ =} {-2x^4+5x^2
}
{ =} {-2(4x^2+5x-10) + 5 x^2
}
{ =} {-3x^2 -10x +20
}
{ } {}
}
{}{}{,}
etc. Man kann hierbei auf verschiedene Arten zu dem eindeutig bestimmten kanonischen Repräsentanten reduzieren.
Berechnen wir nun das Produkt
\mathdisp {(3x^2-2x+4)(2x^2+x-1)} { . }
Dabei wird distributiv ausmultipliziert und anschließend werden die Potenzen reduziert. Es ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ (3x^2-2x+4)(2x^2+x-1)
}
{ =} { 6x^4+3x^3-3x^2 -4x^3-2x^2+2x +8x^2+4x-4
}
{ =} { 6x^4 -x^3 +3x^2+6x-4
}
{ =} { 6(4x^2+5x-10) +2x^2-5+3x^2+6x-4
}
{ =} { 29x^2 +36x-69
}
}
{}
{}{.}
}
\zwischenueberschrift{Endliche Körpererweiterungen}
Wenn $P$ in der vorstehenden Proposition irreduzibel ist, so ist
\mathl{K[X]/(P)}{} ein Körper und damit liegt eine Körpererweiterung
\mathdisp {K \subseteq K[X]/(P) =L} { }
vor. Bei einer $K$-Algebra und insbesondere einer Körpererweiterung hat man durch den Vektorraumbegriff sofort die folgenden Begriffe zur Verfügung.
\inputdefinition
{}
{
Eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt \definitionswort {endlich}{,} wenn $L$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler Vektorraum}{}{}
über $K$ ist.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.}
Dann nennt man die
$K$-\definitionsverweis {Vektorraumdimension}{}{}
von $L$ den \definitionswort {Grad}{} der Körpererweiterung.
}
Bei
\mathl{L=K[X]/(P)}{} mit einem irreduziblen Polynom $P$ ist nach Satz 21.3(5) der Grad der Körpererweiterung gleich dem Grad von $P$.
\zwischenueberschrift{Minimalpolynom}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $A$ eine kommutative
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{A
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Element. Dann heißt $f$ \definitionswort {algebraisch}{} über $K$, wenn es ein von $0$ verschiedenes Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P(f)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
Wenn ein Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das algebraische Element
\mathl{f \in A}{} annulliert
\zusatzklammer {also \mathlk{P(f)=0}{} ist} {} {,}
so kann man durch den Leitkoeffizienten dividieren und erhält dann auch ein normiertes annullierendes Polynom.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $A$ eine
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{A
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
ein über $K$
\definitionsverweis {algebraisches Element}{}{.}
Dann heißt das
\definitionsverweis {normierte Polynom}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P(f)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
welches von minimalem
\definitionsverweis {Grad}{}{}
mit dieser Eigenschaft ist, das \definitionswort {Minimalpolynom}{} von $f$.
}
Wenn $f$ nicht algebraisch ist, so wird das Nullpolynom als Minimalpolynom betrachtet.
\inputbeispiel{}
{
Bei einer Körpererweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind die Elemente
\mathl{a \in K}{} trivialerweise
\definitionsverweis {algebraisch}{}{,}
und zwar ist jeweils
\mathl{X-a \in K[X]}{} das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{.}
Weitere Beispiele liefern über
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ = }{ \Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die komplexen Zahlen
\mathl{\sqrt{2}, { \mathrm i}, 3^{1/5}}{,} etc. Annullierende Polynome aus
\mathl{\Q[X]}{} sind dafür
\mathl{X^2-2}{,}
\mathl{X^2+1}{,}
\mathl{X^5-3}{}
\zusatzklammer {es handelt sich dabei übrigens um die Minimalpolynome, was in den ersten beiden Fällen einfach und im dritten Fall etwas schwieriger zu zeigen ist} {} {.}
Man beachte, dass beispielsweise
\mathl{X- \sqrt{2}}{} zwar ein annullierendes Polynom für $\sqrt{2}$ ist, dessen Koeffizienten aber nicht zu $\Q$ gehören.
}
\inputfaktbeweis
{Algebraerweiterung über Körper/Minimalpolynom und Einsetzung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$A$ eine
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ A
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Element.}
\faktvoraussetzung {Es sei $P$ das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
von $f$ über $K$.}
\faktfolgerung {Dann ist der
\definitionsverweis {Kern}{}{}
des
\definitionsverweis {kanonischen}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{}
\maabbeledisp {} {K[X]} {A
} {X} {f
} {,}
das von $P$ erzeugte
\definitionsverweis {Hauptideal}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir betrachten
den kanonischen Einsetzungshomorphismus
\maabbeledisp {} {K[X]} {A
} {X} {f
} {.}
Dessen Kern ist nach
Satz 13.6
und nach
Satz 16.11
ein Hauptideal, sagen wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ = }{ (F)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei wir $F$ als normiert annehmen dürfen
\zusatzklammer {im nicht-algebraischen Fall liegt das Nullideal vor und die Aussage ist trivialerweise richtig} {} {.}
Das Minimalpolynom $P$ gehört zu ${\mathfrak a}$. Andererseits ist der Grad von $F$ größer oder gleich dem Grad von $P$, da ja dessen Grad minimal gewählt ist. Daher muss der Grad gleich sein und somit ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ F
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
da beide normiert sind.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $A$ eine $R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
und sei
\mathbed {f_i \in A} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
eine Familie von Elementen aus $A$. Dann heißt die kleinste $R$-Unteralgebra von $A$, die alle $f_i$ enthält, die von diesen Elementen \stichwort {erzeugte $R$-Algebra} {.} Sie wird mit
\mathl{R[f_i,\, i \in I]}{} bezeichnet.
}
Man kann diese $R$-Algebra auch als den kleinsten Unterring von $A$ charakterisieren, der sowohl $R$ als auch die $f_i$ enthält. Wir werden hauptsächlich von erzeugten $K$-Algebren in einer Körpererweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sprechen, wobei nur ein einziger Erzeuger vorgegeben ist. Man schreibt dafür dann einfach
\mathl{K[f]}{,} und diese $K$-Algebra besteht aus allen $K$-Linearkombinationen von Potenzen von $f$. Dies ist das Bild unter dem durch
\mathl{X \mapsto f}{} gegebenen Einsetzungshomomorphismus.
Gelegentlich werden wir auch den kleinsten Unterkörper von $L$ betrachten, der sowohl $K$ als auch eine Elementfamilie
\mathbed {f_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
enthält. Dieser wird mit
\mathl{K(f_i, i \in I)}{} bezeichnet, und man sagt, dass die $f_i$ ein \stichwort {Körper-Erzeugendensystem} {} von diesem Körper bilden. Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K[f_i, i \in I]
}
{ \subseteq }{ K(f_i, i \in I)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und insbesondere
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K[f]
}
{ \subseteq }{ K(f)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Körpererweiterung/Minimalpolynom/Isomorphie/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
und sei
\mathl{f \in L}{} ein
\definitionsverweis {algebraisches}{}{}
Element.}
\faktvoraussetzung {Es sei $P$ das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
von $f$.}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine kanonische
$K$-\definitionsverweis {Algebraisomorphie}{}{}
\maabbeledisp {} {K[X]/(P)} {K[f]
} {X} {f
} {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Einsetzung
\mathl{X \mapsto f}{} ergibt nach
Korollar 14.4
den kanonischen $K$-Algebrahomomorphismus
\maabbeledisp {} {K[X]} {L
} {X} {f
} {.}
Das Bild davon ist genau
\mathl{K[f]}{,} so dass ein surjektiver $K$-Algebrahomomor\-phismus
\maabbdisp {} {K[X]} {K[f]
} {}
vorliegt. Daher gibt es nach
Satz 16.3
eine
\definitionsverweis {Isomorphie}{}{}
zwischen
\mathl{K[f]}{} und dem
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
von
\mathl{K[X]}{} modulo dem Kern der Abbildung. Der Kern ist aber nach
Lemma 21.10
das vom Minimalpolynom erzeugte Hauptideal.
\inputfaktbeweis
{Algebraische Körpererweiterung/Minimalpolynom ist irreduzibel/Umkehrung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
und sei
\mathl{f \in L}{} ein
\definitionsverweis {algebraisches}{}{}
Element.}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungzwei {Das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
$P$ von $f$ über $K$ ist
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{.}
} {Wenn
\mathl{Q \in K[X]}{} ein normiertes, irreduzibles Polynom mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q(f)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, so handelt es sich um das Minimalpolynom.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\aufzaehlungzwei {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{P_1P_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Faktorzerlegung des Minimalpolynoms. Dann gilt in $L$ die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ =} { P(f)
}
{ =} { P_1(f) P_2(f)
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}{.}
Da $L$ ein Körper ist, muss ein Faktor $0$ sein, sagen wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_1(f)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Da aber $P$ unter allen Polynomen $\neq 0$, die $f$ annullieren, den minimalen Grad besitzt, müssen
\mathkor {} {P} {und} {P_1} {}
den gleichen Grad besitzen und folglich muss $P_2$ konstant
\zusatzklammer {$\neq 0$} {} {,}
also eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
sein.
} {Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q(f)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist $Q$ aufgrund von
Lemma 21.10
ein Vielfaches des Minimalpolynoms $P$, sagen wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q
}
{ = }{ GP
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Da $Q$ nach Voraussetzung irreduzibel ist, und da $P$ zumindest den Grad $1$ besitzt, muss $G$ konstant sein. Da schließlich
\mathkor {sowohl} {P} {als auch} {Q} {}
normiert sind, ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}