Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Vorlesung 22

Algebraische Körpererweiterung

Satz

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und sei ${}f\in L$ ein Element. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}f$ ist algebraisch über ${}K$.
2. Es gibt ein normiertes Polynom ${}P\in K[X]$ mit ${}P(f)=0$.
3. Es besteht eine lineare Abhängigkeit zwischen den Potenzen

   $f^{0}=1,f^{1}=f,f^{2},f^{3},\ldots .$

4. Die von ${}f$ über ${}K$ erzeugte ${}K$-Algebra ${}K[f]$ hat endliche ${}K$-Dimension.
5. ${}f$ liegt in einer endlichdimensionalen ${}K$-Algebra ${}M\subseteq L$.

Beweis

${}(1)\Rightarrow (2)$. Das ist trivial, da man ein von ${}0$ verschiedenes Polynom stets normieren kann, indem man durch den Leitkoeffizienten dividiert. ${}(2)\Rightarrow (3)$. Nach (2) gibt es ein Polynom ${}P\in K[X]$, ${}P\neq 0$, mit ${}P(f)=0$. Sei ${}P=\sum _{i=0}^{n}c_{i}X^{i}$. Dann ist

${}P(f)=\sum _{i=0}^{n}c_{i}f^{i}=0\,$

eine lineare Abhängigkeit zwischen den Potenzen. ${}(3)\Rightarrow (1)$. Umgekehrt bedeutet die lineare Abhängigkeit, dass es Elemente ${}c_{i}$ gibt, die nicht alle ${}0$ sind mit ${}\sum _{i=0}^{n}c_{i}f^{i}=0$. Dies ist aber die Einsetzung ${}P(f)$ für das Polynom ${}P=\sum _{i=0}^{n}c_{i}X^{i}$, und dieses ist nicht das Nullpolynom. ${}(2)\Rightarrow (4)$. Sei

${}P=\sum _{i=0}^{n}c_{i}X^{i}\,$

ein normiertes Polynom mit ${}P(f)=0$, also mit

${}c_{n}=1\,.$

Dann kann man umstellen

${}f^{n}=-\sum _{i=0}^{n-1}c_{i}f^{i}\,$

D.h. ${}f^{n}$ kann man durch kleinere Potenzen ausdrücken. Durch Multiplikation dieser Gleichung mit weiteren Potenzen von ${}f$ ergibt sich, dass man auch die höheren Potenzen durch die Potenzen ${}f^{i}$, ${}i\leq n-1$, ausdrücken kann. ${}(4)\Rightarrow (5)$. Das ist trivial. ${}(5)\Rightarrow (3)$. Wenn ${}f$ in einer endlichdimensionalen Algebra ${}M\subseteq L$ liegt, so liegen darin auch alle Potenzen von ${}f$. Da es in einem endlichdimensionalen Vektorraum keine unendliche Folge von linear unabhängigen Elementen geben kann, müssen diese Potenzen linear abhängig sein.

$\Box$

Satz

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und sei ${}f\in L$ ein algebraisches Element.

Dann ist die von ${}f$ erzeugte ${}K$-Algebra ${}K[f]\subseteq L$ ein Körper.

Beweis

Nach Satz 22.1 ist ${}M=K[f]$ eine endlichdimensionale ${}K$-Algebra. Wir müssen zeigen, dass ${}M$ ein Körper ist. Es sei dazu ${}g\in M$ ein von ${}0$ verschiedenes Element. Damit ist auch ${}K[g]\subseteq M=K[f]$, sodass ${}K[g]$ wieder eine endlichdimensionale Algebra ist. Daher ist, wiederum nach Satz 22.1, das Element ${}g$ algebraisch über ${}K$ und es gibt ein Polynom ${}P\in K[X]$, ${}P\neq 0$, mit ${}P(g)=0$. Wir ziehen aus diesem Polynom die höchste Potenz von ${}X$ heraus und schreiben ${}P=QX^{k}$, wobei der konstante Term von ${}Q$ von ${}0$ verschieden sei. Die Ersetzung von ${}X$ durch ${}g$ ergibt

${}0=P(g)=Q(g)g^{k}\,.$

Da ${}g\neq 0$ ist und sich alles im Körper ${}L$ abspielt, folgt ${}Q(g)=0$. Wir können durch den konstanten Term von ${}Q$ dividieren und erhalten die Gleichung

${}1+c_{1}g+\cdots +c_{d}g^{d}=0\,.$

Umstellen ergibt

${}g{\left(-c_{1}g^{0}-\cdots -c_{d}g^{d-1}\right)}=1\,.$

Das heißt, dass das Inverse zu ${}g$ sich als Polynom in ${}g$ schreiben lässt und daher zu ${}K[g]$ und erst recht zu ${}K[f]$ gehört.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und sei ${}f\in L$ ein algebraisches Element.

Dann stimmen die von ${}f$ über ${}K$ erzeugte Unteralgebra und der von ${}f$ über ${}K$ erzeugte Unterkörper überein.

Es gilt also ${}K[f]=K(f)$.

Beweis

Die Inklusion ${}K[f]\subseteq K(f)$ gilt immer, und nach Voraussetzung ist der Unterring ${}K[f]$ aufgrund von Satz 22.1 schon ein Körper.

$\Box$

Bemerkung  

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}P\in K[X]$ ein irreduzibles Polynom und ${}K\subseteq L=K[X]/(P)$ die zugehörige Körpererweiterung. Dann kann man zu ${}z=F(x)$, ${}z\neq 0$, (mit $F\in K[X],\,x={\overline {X}}$) auf folgende Art das Inverse ${}z^{-1}$ bestimmen. Es sind ${}P$ und ${}F$ teilerfremde Polynome in ${}K[X]$ und daher gibt es nach Satz 16.11 und  Satz 17.12 eine Darstellung der ${}1$, die man mit Hilfe des euklidischen Algorithmus finden kann. Wenn ${}RF+SP=1$ ist, so ist die Restklasse von ${}R$, also ${}{\overline {R}}=R(x)$, das Inverse zu ${}{\overline {F}}=z$.

Algebraischer Abschluss

Definition

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung. Dann nennt man die Menge

${}M={\left\{x\in L\mid x{\text{ ist algebraisch über }}K\right\}}\,$

den algebraischen Abschluss von ${}K$ in ${}L$.

Satz

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und sei ${}M$ der algebraische Abschluss von ${}K$ in ${}L$.

Dann ist ${}M$ ein Unterkörper von ${}L$.

Beweis

Wir müssen zeigen, dass ${}M$ bezüglich der Addition, der Multiplikation, des Negativen und des Inversen abgeschlossen ist. Seien ${}x,y\in M$. Wir betrachten die von ${}x$ und ${}y$ erzeugte ${}K$-Unteralgebra ${}U=K[x,y]$, die aus allen ${}K$-Linearkombinationen der ${}x^{i}y^{j}$, ${}i,j\in \mathbb {N}$, besteht. Da sowohl ${}x$ als auch ${}y$ algebraisch sind, kann man nach Satz 22.1 gewisse Potenzen ${}x^{n}$ und ${}y^{m}$ durch kleinere Potenzen ersetzen. Daher kann man alle Linearkombinationen mit den Monomen ${}x^{i}y^{j}$, ${}i<n$, ${}j<m$, ausdrücken. D.h. alle Operationen spielen sich in dieser endlichdimensionalen Unteralgebra ab. Daher sind Summe, Produkt und das Negative nach Satz 22.1 wieder algebraisch. Für das Inverse sei ${}z\neq 0$ algebraisch. Dann ist ${}K[z]$ nach Satz 22.1 ein Körper von endlicher Dimension. Daher ist ${}z^{-1}\in K[z]$ selbst algebraisch.

$\Box$

Algebraische Zahlen

Die über den rationalen Zahlen ${}\mathbb {Q}$ algebraischen komplexen Zahlen erhalten einen speziellen Namen.

Definition

Eine komplexe Zahl ${}z$ heißt algebraisch oder algebraische Zahl, wenn sie algebraisch über den rationalen Zahlen ${}\mathbb {Q}$ ist. Andernfalls heißt sie transzendent.

Die Menge der algebraischen Zahlen wird mit ${}{\mathbb {A} }$ bezeichnet.

Ferdinand von Lindemann (1852-1939)

Bemerkung  

Eine komplexe Zahl ${}z\in {\mathbb {C} }$ ist genau dann algebraisch, wenn es ein von ${}0$ verschiedenes Polynom ${}P$ mit rationalen Koeffizienten und mit ${}P(z)=0$ gibt. Durch Multiplikation mit einem Hauptnenner kann man für eine algebraische Zahl auch ein annullierendes Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten finden (das allerdings nicht mehr normiert ist). Eine rationale Zahl ${}q$ ist trivialerweise algebraisch, da sie Nullstelle des linearen rationalen Polynoms ${}X-q$ ist. Weiterhin sind die reellen Zahlen ${}{\sqrt {q}}$ und ${}q^{1/n}$ für ${}q\in \mathbb {Q}$ algebraisch. Dagegen sind die Zahlen ${}e$ und ${}\pi$ nicht algebraisch. Diese Aussagen sind keineswegs selbstverständlich, die Transzendenz von ${}\pi$ wurde beispielsweise von Ferdinand von Lindemann 1882 gezeigt.

Quadratische Körpererweiterungen

Die aller einfachste Körpererweiterung ist die identische Körpererweiterung ${}K=K$, die den Grad ${}1$ besitzt. Die nächst einfachsten sind die vom Grad zwei.

Definition

Eine endliche Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ vom Grad zwei heißt eine quadratische Körpererweiterung.

Beispiele sind ${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {p}}]$, wobei ${}p$ eine Primzahl ist (oder sonst eine rationale Zahl ohne rationale Quadratwurzel) oder ${}K=K[X]/(P)$ zu einem irreduziblen quadratischen Polynom ${}P=X^{2}+aX+b$.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper mit einer Charakteristik ${}\neq 2$ und es sei ${}K\subseteq L$ eine quadratische Körpererweiterung.

Dann gibt es ein ${}x\in L$ , ${}x\notin K$ und ${}x^{2}\in K$.

Beweis

Nach Voraussetzung ist ${}L$ ein zweidimensionaler Vektorraum über ${}K$, und darin ist ${}K=K1$ ein eindimensionaler Untervektorraum. Nach dem Basisergänzungssatz gibt es ein Element ${}y\in L$ derart, dass ${}1$ und ${}y$ eine ${}K$-Basis von ${}L$ bilden. Wir können

${}y^{2}=a+by\,$

schreiben, bzw. (da ${}2$ eine Einheit ist),

${}0=y^{2}-by-a={\left(y-{\frac {b}{2}}\right)}^{2}-{\frac {b^{2}}{4}}-a\,.$

Mit ${}x=y-{\frac {b}{2}}$ gilt also ${}x^{2}={\frac {b^{2}}{4}}+a\in K$ und ${}1$ und ${}x$ bilden ebenfalls eine ${}K$-Basis von ${}L$.

$\Box$

Satz

Es sei ${}\mathbb {R} \subseteq K$ eine endliche Körpererweiterung der reellen Zahlen.

Dann ist ${}K$ isomorph zu ${}\mathbb {R}$ oder zu ${}{\mathbb {C} }$.

Beweis

Das reelle normierte Polynom ${}P\in \mathbb {R} [X]$ zerfällt über den komplexen Zahlen ${}{\mathbb {C} }$ nach dem Fundamentalsatz der Algebra in Linearfaktoren, d.h. es ist

${}P=\prod _{j}(X-\lambda _{j})\,$

mit ${}\lambda _{j}=a_{j}+b_{j}{\mathrm {i} }\in {\mathbb {C} }$. Da ${}P$ reelle Koeffizienten hat, stimmt es mit seinem komplex-konjugierten überein, d.h. es ist insgesamt

${}\prod _{j}(X-\lambda _{j})=P={\overline {P}}=\prod _{j}(X-{\overline {\lambda _{j}}})\,.$

Wegen der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung gibt es zu jedem ${}j$ ein ${}k$ mit

${}{\overline {\lambda _{j}}}=\lambda _{k}\,.$

D.h. entweder, dass ${}\lambda _{j}\in \mathbb {R}$ ist, und dann liegt ein reeller Linearfaktor vor, oder aber ${}j\neq k$ und dann ist

${}(X-\lambda _{j})(X-{\overline {\lambda _{j}}})=(X-a_{j}-b_{j}{\mathrm {i} })(X-a_{j}+b_{j}{\mathrm {i} })=X^{2}-2a_{j}X+a_{j}^{2}+b_{j}^{2}\,$

ein reelles Polynom. In der reellen Primfaktorzerlegung von ${}P$ kommen also nur lineare und quadratische Faktoren vor, und insbesondere haben im Reellen alle irreduziblen Polynome den Grad eins oder zwei.

Es sei nun ${}\mathbb {R} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Es sei ${}\mathbb {R} \subset L$ und ${}x\in L$, ${}x\not \in \mathbb {R}$. Dann ist ${}x$ algebraisch über ${}\mathbb {R}$ und nach Satz 21.12 ist ${}\mathbb {R} [x]\cong \mathbb {R} [X]/(P)$ mit einem irreduziblen Polynom ${}P$ (dem Minimalpolynom zu ${}x$). Das Polynom ${}P$ besitzt in ${}{\mathbb {C} }$ Nullstellen, sodass es einen ${}\mathbb {R}$- Algebrahomomorphismus ${}\mathbb {R} [X]/(P)\rightarrow {\mathbb {C} }$ gibt. Da beides reell-zweidimensionale Körper sind, muss eine Isomorphie vorliegen. Wir erhalten also eine endliche Körpererweiterung ${}{\mathbb {C} }\subseteq L$. Da ${}{\mathbb {C} }$ algebraisch abgeschlossen ist, muss nach Aufgabe ***** ${}{\mathbb {C} }=L$ sein.

$\Box$

Das Irreduzibilitätskriterium von Eisenstein

Lemma

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich und sei ${}F=\sum _{i=0}^{n}c_{i}X^{i}\in R[X]$ ein Polynom. Es sei ${}p\in R$ ein Primelement mit der Eigenschaft, dass ${}p$ den Leitkoeffizienten ${}c_{n}$ nicht teilt, alle anderen Koeffizienten teilt, aber dass ${}p^{2}$ nicht den konstanten Koeffizienten ${}c_{0}$ teilt.

Dann besitzt ${}F$ keine Zerlegung ${}F=GH$ mit nicht-konstanten Polynomen ${}G,H\in R[X]$.

Beweis

 Es sei angenommen, dass es eine Zerlegung ${}F=GH$ mit nicht-konstanten Polynomen ${}G,H\in R[X]$ gebe, und sei ${}G=\sum _{i=0}^{k}a_{i}X^{i}$ und ${}H=\sum _{j=0}^{m}b_{j}X^{j}$. Dann ist ${}c_{0}=a_{0}b_{0}$ und dies ist ein Vielfaches von ${}p$, aber nicht von ${}p^{2}$. Da ${}p$ prim ist, teilt es einen der Faktoren, sagen wir ${}a_{0}$, aber nicht den anderen. Es ist nicht jeder Koeffizient von ${}G$ ein Vielfaches von ${}p$, da sonst ${}G$ und damit auch ${}F$ ein Vielfaches von ${}p$ wäre, was aber aufgrund der Bedingung an den Leitkoeffizienten ausgeschlossen ist. Es sei ${}r$ der kleinste Index derart, dass ${}a_{r}$ kein Vielfaches von ${}p$ ist. Es ist ${}r\leq \operatorname {grad} \,(G)<\operatorname {grad} \,(F)$, da ${}H$ nicht konstant ist. Wir betrachten den Koeffizienten ${}c_{r}$, für den

${}c_{r}=a_{0}b_{r}+a_{1}b_{r-1}+\cdots +a_{r-1}b_{1}+a_{r}b_{0}\,$

gilt. Hierbei sind ${}c_{r}$ und alle Summanden ${}a_{i}b_{r-i}$, ${}i=0,\ldots ,r-1$, Vielfache von ${}p$. Daher muss auch der letzte Summand ${}a_{r}b_{0}$ ein Vielfaches von ${}p$ sein. Dies ist aber ein Widerspruch, da ${}p\nmid a_{r}$ und ${}p\nmid b_{0}$.

$\Box$

Satz

Es sei ${}R$ ein faktorieller Bereich mit Quotientenkörper ${}K=Q(R)$ und sei ${}F=\sum _{i=0}^{n}c_{i}X^{i}\in R[X]$ ein Polynom. Es sei ${}p\in R$ ein Primelement mit der Eigenschaft, dass ${}p$ den Leitkoeffizienten ${}c_{n}$ nicht teilt, aber alle anderen Koeffizienten teilt, aber dass ${}p^{2}$ nicht den konstanten Koeffizienten ${}c_{0}$ teilt.

Dann ist ${}F$ irreduzibel in ${}K[X]$.

Beweis

Dies folgt aus Lemma 22.12 und Lemma 20.13.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}n\geq 1$.

Dann sind die Polynome ${}X^{n}-p$ irreduzibel in ${}\mathbb {Q} [X]$.

Beweis

Dies folgt direkt aus Satz 22.13 angewendet mit der Primzahl ${}p$.

$\Box$

Korollar

Es gibt endliche Körpererweiterungen von ${}\mathbb {Q}$ von beliebigem Grad.

Beweis

Aufgrund von Satz 22.13 sind zu einer Primzahl ${}p$ die Polynome ${}X^{n}-p\in \mathbb {Q} [X]$ irreduzibel und nach Satz 17.15 auch prim. Aufgrund von Satz 18.5 sind dann die Restklassenringe ${}\mathbb {Q} [X]/(X^{n}-p)$ Körper. Diese haben den Grad ${}n$ nach Proposition 21.3.

$\Box$

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