Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Arbeitsblatt 22

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}1$. Zeige, dass ${}L=K$ ist.

Aufgabe

Beweise die Lösungsformel für eine quadratische Gleichung

${}ax^{2}+bx+c=0\,$

mit ${}a,b,c\in K$ für einen Körper ${}K$ der Charakteristik ${}\neq 2$.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}\neq 2$ und sei ${}K\subseteq L$ eine quadratische Körpererweiterung. Zeige, dass es neben der Identität einen weiteren ${}K$- Algebraautomorphismus ${}L\rightarrow L$ gibt.

Aufgabe

Zeige, dass die Menge der algebraischen Zahlen ${}\mathbb {A}$ keine endliche Körpererweiterung von ${}\mathbb {Q}$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass es nur abzählbar viele algebraische Zahlen gibt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und sei ${}P\in K[X]$ ein Polynom. Zeige: ${}P$ besitzt genau dann eine Nullstelle in ${}L$, wenn es einen ${}K$- Algebrahomomorphismus ${}K[X]/(P)\rightarrow L$ gibt.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und sei ${}f\in L$ ein Element. Zeige: ${}f$ ist genau dann algebraisch über ${}K$, wenn ${}K[f]=K(f)$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das Inverse von ${}2x^{2}+3x-1$ im Körper ${}\mathbb {Q} [X]/(X^{3}-5)$ (${}x$ bezeichnet die Restklasse von ${}X$).

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}L=K(X)$ der rationale Funktionenkörper über ${}K$. Zeige, dass es zu jedem ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ einen Ringhomomorphismus ${}\varphi \colon L\rightarrow L$ derart gibt, dass ${}L\cong \varphi (L)\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$ ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Zeige, dass ein Polynom ${}P\in K[X]$ genau dann irreduzibel ist, wenn das um ${}a\in K$ „verschobene“ Polynom (das entsteht, wenn man in ${}P$ die Variable ${}X$ durch ${}X-a$ ersetzt) irreduzibel ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Formuliere und beweise das „verschobene Eisensteinkriterium“. Man gebe auch ein Beispiel eines Polynoms ${}P\in \mathbb {Q} [X]$, wo man die Irreduzibilität nicht mit dem Eisensteinkriterium, aber mit dem verschobenen Eisensteinkriterium nachweisen kann.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}p$ eine Primzahl. Betrachte das Polynom

${}P=X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^{2}+X+1\,.$

Zeige, dass ${}P$ irreduzibel in ${}\mathbb {Q} [X]$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Formuliere und beweise das umgekehrte Eisensteinkriterium, bei dem die Rollen des Leitkoeffizienten und des konstanten Koeffizienten vertauscht werden.

Aufgabe (3 Punkte)

Man wende eine Form des Eisensteinkriteriums an, um die Irreduzibilität der folgenden Polynome aus ${}\mathbb {Q} [X]$ nachzuweisen.

1. ${}X^{4}+2X^{2}+2$,
2. ${}20X^{5}-15X^{4}+125X^{3}-10X+4$,
3. ${}X^{4}+9$.