Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Arbeitsblatt 21
- Aufwärmaufgaben
Aufgabe
Es seien und Körper, sei eine endliche Körpererweiterung und sei , , ein Zwischenring. Zeige, dass dann ebenfalls ein Körper ist.
Aufgabe
Es sei eine Körpererweiterung und sei ein Element. Zeige, dass dann der Quotientenkörper von ist.
Aufgabe
Berechne im Körper das Produkt
Aufgabe
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (2 Punkte)
Bestimme in das Inverse von .
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei eine Körpererweiterung und ein nicht algebraisches Element. Zeige, dass dann eine Isomorphie
Aufgabe (5 (1+1+2+1) Punkte)
Betrachte den Körper mit Elementen.
- Zeige, dass kein Quadrat in ist und folgere, dass
- Betrachte die
quadratische Körpererweiterung
und berechne
- Finde das Inverse zu in .
- Zeige, dass kein Quadrat in ist, dafür aber in .
Aufgabe (5 Punkte)
Es seien und zwei verschiedene Primzahlen. Zeige, dass ein Unterkörper von ist, der über den Grad vier besitzt.
Aufgabe (4 Punkte)
Aufgabe (4 Punkte)
Führe in die Division mit Rest „ durch “ für die beiden Polynome und durch.
Aufgabe (4 Punkte)
Aufgabe (2 Punkte)
Es sei ein endlicher Körper mit Elementen. Zeige, dass es in genau primitive Elemente gibt, wobei die Eulersche Funktion bezeichnet.
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