Kurs:Einführung in die mathematische Logik/8/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	1	3	3	2	4	4	8	2	2	4	0	6	0	5	50

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

In einer psychologischen Längsschnittstudie wird die Entwicklung von Einstellungen und Verhaltensweisen von Personen untersucht. Ein Fallbeispiel: Im Alter von ${}20$ Jahren geht Linda regelmäßig auf Demonstrationen, sie hilft im Eine-Welt-Laden mit, braut ökologisches Bier, kocht Bio-Gemüse und studiert manchmal Soziologie.

Welcher der folgenden Befunde ist nach 10 Jahren am unwahrscheinlichsten?

1. Linda arbeitet für eine Versicherungsagentur.
2. Linda engagiert sich bei Attac und arbeitet für eine Versicherungsagentur.
3. Linda engagiert sich bei Attac.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Erläutere das Prinzip Beweis durch Widerspruch für eine Aussage der Form „Aus ${}A$ folgt ${}B$“.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}\Gamma \subseteq L^{V}$ eine Ausdrucksmenge in der Sprache der Aussagenlogik über einer Aussagenvariablenmenge ${}V$ und es sei ${}\alpha \in L^{V}$. Es gelte

$\Gamma \not \vdash \alpha .$

Zeige, dass dann

$\Gamma \cup \{\neg \alpha \}$

widerspruchsfrei ist.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ein Symbolalphabet ${}S$ einer Sprache erster Stufe gegeben, ${}\alpha \in L^{S}$ und ${}I$ eine Interpretation mit ${}I\vDash \alpha$. Zeige durch ein Beispiel, dass daraus nicht im Allgemeinen die Gültigkeit ${}I\vDash \alpha {\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}$ unter einer Substitution folgt.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}(\mathbb {N} ,0,^{\prime })$ ein Dedekind-Peano-Modell der natürlichen Zahlen. Zeige, dass die Addition durch die Bedingungen

$x+0=x{\text{ für alle }}x\in \mathbb {N} {\text{ und }}x+y'=(x+y)'{\text{ für alle }}x,y\in \mathbb {N}$

eindeutig bestimmt ist.

Aufgabe * (4 (1+1+1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}(M,\preccurlyeq )$ eine nichtleere geordnete Menge. Wir betrachten die Relation ${}\prec$ auf ${}M$, die durch ${}x\prec y$, falls ${}x\preccurlyeq y$ und ${}x\neq y$ gilt, definiert ist.

1. Ist ${}\prec$ transitiv?
2. Ist ${}\prec$ reflexiv?
3. Charakterisiere, wann ${}\prec$ symmetrisch ist.
4. Ist ${}\prec$ antisymmetrisch?

Aufgabe * (8 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz von Henkin.

Aufgabe * (2 Punkte)Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2021)/8/Klausur/kontrolle (Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2021)) ändern

Zeige, dass mit

$\vdash \alpha \rightarrow \beta$

auch

$\vdash \forall x\alpha \rightarrow \forall x\beta$

gilt.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige

$\vdash \forall x{\left(\alpha \wedge \beta \right)}\rightarrow \forall x\alpha \wedge \forall x\beta .$

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Isomorphiesatz für (zweitstufige) Dedekind-Peano-Modelle.

Aufgabe (0 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (6 (4+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

${}S=\{0,1,+,\cdot ,\geq \}\,$

das Symbolalphabet für einen angeordneten Körper und es sei ${}\mathbb {R}$ die ${}S$- Struktur mit der Standardinterpretation.

1. Zeige, dass die Äquivalenzklassen zur elementaren Äquivalenz einelementig sind.
2. Zeige, dass es für die Elemente im Allgemeinen keinen charakterisierenden Ausdruck gibt.

Aufgabe (0 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass in einem gerichteten Graphen ${}(M,R)$ das modallogische euklidische Axiom genau dann gilt, wenn ${}R$ euklidisch ist.