Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2016)/Arbeitsblatt 11

Übungsaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass der Ausdruck

${\left(\alpha {\frac {y}{x}}\rightarrow \beta \right)}\rightarrow {\left(\exists x\alpha \rightarrow \beta \right)}$

keine Tautologie ist (auch nicht, wenn ${}y$ weder in ${}\exists x\alpha$ noch in ${}\beta$ frei vorkommt).

Aufgabe

Beweise aus der Existenzeinführung im Antezedens die Alleinführung im Sukzedens. Sie besagt, dass man aus

$\vdash \beta \rightarrow \alpha {\frac {y}{x}}$

unter der Bedingung, dass ${}y$ weder in ${}\forall x\alpha$ noch in ${}\beta$ frei vorkommt, auf

$\vdash \beta \rightarrow \forall x\alpha$

schließen kann.

Aufgabe

Es sei ${}\alpha$ ein Ausdruck in einer Sprache ${}L^{S}$ erster Stufe. Zeige, dass

$\alpha \leftrightarrow \forall x\alpha$

keine Tautologie ist.

Aufgabe

Zeige

$\vDash \exists x(x=y).$

Aufgabe

Zeige

$\vdash \exists x(x=y).$

Aufgabe *

Zeige, dass mit

$\vdash \alpha \rightarrow \beta$

auch

$\vdash \forall x\alpha \rightarrow \forall x\beta$

gilt.

Aufgabe *

Zeige

$\vdash \forall x\alpha \wedge \forall x\beta \rightarrow \forall x{\left(\alpha \wedge \beta \right)}.$

Aufgabe *

Zeige

$\vdash \forall x{\left(\alpha \wedge \beta \right)}\rightarrow \forall x\alpha \wedge \forall x\beta .$

Aufgabe

a) Zeige

$\vdash \exists x(\alpha \wedge \beta )\rightarrow \exists x\alpha \wedge \exists x\beta .$

b) Zeige, dass

$\exists x\alpha \wedge \exists x\beta \rightarrow \exists x(\alpha \wedge \beta )$

keine Tautologie ist.

Aufgabe

Es sei ${}S$ ein erststufiges Symbolalphabet und ${}f\in S$ ein ${}n$-stelliges Funktionssymbol. Erstelle eine Ableitung für den Ausdruck

$\exists y{\left({\left(fx_{1}{\ldots }x_{n}=y\right)}\wedge \forall z{\left({\left(fx_{1}{\ldots }x_{n}=z\right)}\rightarrow y=z\right)}\right)}.$

Aufgabe *

Es seien ${}A,B,C$ einstellige Relationssymbole. Zeige, dass der Modus Barbara, also die Aussage

$(\forall x(Ax\rightarrow Bx)\wedge \forall x(Bx\rightarrow Cx))\rightarrow (\forall x(Ax\rightarrow Cx))$

im Prädikatenkalkül ableitbar ist.

Aufgabe *

Es seien ${}A,B,C$ einstellige Relationssymbole. Zeige, dass der Modus Darii, also die Aussage

$(\forall x(Ax\rightarrow Bx)\wedge \exists x(Ax\wedge Cx))\rightarrow (\exists x(Bx\wedge Cx))$

im Prädikatenkalkül ableitbar ist.

Aufgabe *

Es seien ${}x,y,u,v$ Variablen und ${}\Gamma =\{\forall x\forall y{\left(x=y\right)}\}$ und ${}\Delta =\{x=y\}$.

1. Zeige (ohne Bezug auf den Vollständigkeitssatz) ${}\Gamma \vdash u=v$.
2. Charakterisiere die Modelle ${}M$ mit ${}M\vDash \Gamma$.
3. Zeige ${}\Delta \not \vdash u=v$.

Aufgabe *

Es sei ${}G$ ein dreistelliges Relationssymbol und ${}L$ die zugehörige prädikatenlogische Sprache. Es sei ${}I$ die Interpretation, bei der die Grundmenge die euklidische Ebene ist und ${}G$ durch die dreistellige Relation interpretiert wird, bei der ${}G(A,B,C)$ zutrifft, wenn die Punkte ${}A,B,C$ auf einer Geraden liegen.

1. Zeige ${}I\vDash Gxyz\leftrightarrow Gyxz$.
2. Zeige, dass im Allgemeinen nicht ${}I\vDash \forall x\forall y\forall z{\left(Gxyz\rightarrow Gxyu\right)}$ gelten muss.
3. Es sei ${}\Gamma =\{\forall x\forall y\forall z{\left(Gxyz\leftrightarrow Gyxz\right)},\,\forall x\forall y\forall z{\left(Gxyz\leftrightarrow Gxzy\right)}\}$. Erstelle eine Ableitung für ${}\Gamma \vdash Gxyz\leftrightarrow Gyzx$.
4. Zeige, dass der Ausdruck ${}Gxyz\wedge Gxyu$ bei der gegebenen Interpretation nicht bedeutet, dass die die freien Variablen ${}x,y,z,u$ belegenden Punkte auf einer Geraden liegen.
5. Formuliere einen Ausdruck aus ${}L$ in vier freien Variablen, der bei der gegebenen Interpretation besagt, dass die die freien Variablen belegenden Punkte auf einer Geraden liegen.

Die beiden folgenden Aufgaben sind vermutlich mühselig.

Aufgabe

Man gebe einen formalen Beweis für die Aussage, dass die Hintereinanderschaltung von zwei surjektiven Abbildungen auf einer Menge wieder surjektiv ist.

Aufgabe

Man gebe einen formalen Beweis für die Aussage, dass die Hintereinanderschaltung von zwei injektiven Abbildungen auf einer Menge wieder injektiv ist.

Aufgabe

Es sei ${}\Gamma$ eine Ausdrucksmenge aus einer Sprache erster Stufe und ${}\alpha$ ein weiterer Ausdruck. Es sei ${}\alpha$ nicht aus ${}\Gamma$ ableitbar. Zeige, dass man aus ${}\Gamma \cup \{\neg \alpha \}$ keinen Widerspruch (also keinen Ausdruck der Form ${}\beta \wedge \neg \beta$) ableiten kann.

Aufgabe

Begründe die folgenden Ableitungsregeln (es seien ${}s,t$ Terme, ${}\alpha ,\beta$ Ausdrücke und ${}\Gamma$ eine Ausdrucksmenge).

1. Wenn ${}\Gamma \vdash s=t$, dann ist auch ${}\Gamma \vdash \alpha {\frac {s}{x}}\rightarrow \alpha {\frac {t}{x}}$,
2. Wenn ${}\Gamma \vdash \alpha {\frac {t}{x}}$, dann ist auch ${}\Gamma \vdash \exists x\alpha$,
3. Wenn ${}\Gamma \vdash \alpha {\frac {y}{x}}\rightarrow \beta$, dann ist auch ${}\Gamma \vdash \exists x\alpha \rightarrow \beta$, unter der Bedingung, dass ${}y$ nicht frei in ${}\Gamma ,\exists x\alpha ,\beta$ vorkommt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}\alpha \in L^{S}$. Zeige die Ableitbarkeit

$\vdash \exists x\exists x\alpha \leftrightarrow \exists x\alpha .$

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}\alpha \in L^{S}$. Zeige die Ableitbarkeit

$\vdash \exists x\forall y\alpha \rightarrow \forall y\exists x\alpha .$

Zeige, dass

$\forall y\exists x\alpha \rightarrow \exists x\forall y\alpha$

nicht ableitbar ist.

Aufgabe (5 (2+2+1) Punkte)

Es seien ${}\alpha ,\beta \in L^{S}$.

a) Zeige, dass

${\left(\exists x{\left(\alpha \rightarrow \beta \right)}\right)}\rightarrow {\left(\exists x\alpha \rightarrow \exists x\beta \right)}$

nicht allgemeingültig ist.

b) Zeige, dass

${\left(\exists x\alpha \rightarrow \exists x\beta \right)}\rightarrow {\left(\exists x{\left(\alpha \rightarrow \beta \right)}\right)}$

allgemeingültig ist.

c) Zeige, dass

${\left(\exists x\alpha \rightarrow \exists x\beta \right)}\rightarrow {\left(\exists x{\left(\alpha \rightarrow \beta \right)}\right)}$

nicht allgemeingültig wäre, wenn man auch leere Grundmengen zulassen würde.

Aufgabe (4 Punkte)

Formuliere mit dem zweistelligen Funktionssymbol ${}\cdot$ die Aussage, dass wenn eine Zahl ${}a$ die Zahl ${}b$ teilt und ${}b$ die Zahl ${}c$ teilt, dass dann ${}a$ auch ${}c$ teilt.

Erstelle eine Ableitung für diese Aussage.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass es eine Ausdrucksmenge ${}\Gamma$ mit der Eigenschaft gibt, dass für jede Interpretation ${}I$ genau dann ${}I\vDash \Gamma$ gilt, wenn die Grundmenge der Interpretation unendlich ist.