Kurs:Elementare Algebra/15/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	4	0	1	5	2	0	4	6	2	4	14	0	2	5	0	1	56

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Verknüpfung ${}\circ$ auf einer Menge ${}M$.
2. Das Teilen in einem kommutativen Ring ${}R$.
3. Ein faktorieller Integritätsbereich ${}R$.
4. Der Produktring zu kommutativen Ringen ${}R_{1},\ldots ,R_{n}$.
5. Ein Vektorraum ${}V$ über einem Körper ${}K$.
6. Ein aus einer Teilmenge ${}T\subseteq E$ einer Ebene ${}E$ elementar konstruierbarer Kreis ${}C$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Das Irreduzibilitätskriterium für Polynome ${}P\in K[X]$ von kleinem Grad über einem Körper.
2. Das Exponentenkriterium für die Teilbarkeit in einem faktoriellen Bereich.
3. Das Basisaustauschlemma.

Aufgabe * (4 (1+1+1+1) Punkte)

Wir betrachten den Binomialkoeffizienten als eine Verknüpfung

$\mathbb {N} \times \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,\,(n,k)\longmapsto {\binom {n}{k}},$

wobei bei ${}k>n$ der Binomialkoeffizient als ${}0$ zu interpretieren ist. Diese Verknüpfung ist offenbar nicht kommutativ.

1. Besitzt diese Verknüpfung ein neutrales Element von links?
2. Besitzt diese Verknüpfung ein neutrales Element von rechts?
3. Bestimme ${}{\binom {\binom {3}{2}}{1}}$ und ${}{\binom {3}{\binom {2}{1}}}$.
4. Ist diese Verknüpfung assoziativ?

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (1 Punkt)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}x\in K$, ${}x\neq 0$ ein Element. Erläutere, warum es sinnvoll ist, für das inverse Element zu ${}x$ die Bezeichnung ${}x^{-1}$ zu verwenden.

Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige, dass die Untergruppen von ${}\mathbb {Z}$ genau die Teilmengen der Form

${}\mathbb {Z} d={\left\{kd\mid k\in \mathbb {Z} \right\}}\,$

mit einer eindeutig bestimmten nicht-negativen Zahl ${}d$ sind.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Zeige, dass ein Polynom vom Grad zwei oder drei genau dann irreduzibel ist, wenn es keine Nullstelle in ${}K$ besitzt.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme in ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von ${}23+2{\mathrm {i} }$ und ${}1+23{\mathrm {i} }$.

Aufgabe * (6 Punkte)

Es seien ${}\ell ,m\in \mathbb {N} _{+}$ und es sei ${}x$ die Zahl mit ${}\ell$ Neunen und ${}y$ die Zahl mit ${}m$ Neunen (im Zehnersystem). Zeige, dass ${}y$ genau dann von ${}x$ geteilt wird, wenn ${}m$ von ${}\ell$ geteilt wird.

Aufgabe * (2 Punkte)

In den Klassenarbeiten der Klasse ${}7x$ können die üblichen Noten mit den Zehntelangaben ${}0,3$ oder ${}7$ erzielt werden (also beispielsweise ${}2+=1,7$, ${}2=2,0$ und ${}2-=2,3$). Es werden im Halbjahr zwei Klassenarbeiten geschrieben, ihr Durchschnitt (das arithmetische Mittel) bestimmt über die Endnote, die ganzzahlig ist. Kann es einen Unterschied machen, ob man zuerst die einzelnen Klassenarbeiten rundet und dann den Durchschnitt rundet, oder ob man den Durchschnitt nimmt und dann rundet (${},5$ soll auf die größere ganze Note gerundet werden)?

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}n\in \mathbb {N}$ und ${}\mathbb {Z} /(n)$ der zugehörige Restklassenring. Zeige, dass ${}a\in \mathbb {Z}$ eine Einheit modulo ${}n$ genau dann ist, wenn ${}a$ und ${}n$ teilerfremd sind.

Aufgabe * (14 (3+2+2+7) Punkte)

Betrachte auf ${}\mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} \setminus \{0\})$ die Relation

$(a,b)\sim (c,d),\,{\text{ falls }}ad=bc{\text{ ist}}.$

a) Zeige, dass ${}\sim$ eine Äquivalenzrelation ist.

b) Zeige, dass es zu jedem ${}(a,b)$ ein äquivalentes Paar ${}(a',b')$ mit ${}b'>0$ gibt.

c) Es sei ${}M$ die Menge der Äquivalenzklassen dieser Äquivalenzrelation. Wir definieren eine Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {Z} \longrightarrow M,\,z\longmapsto [(z,1)].$

Zeige, dass ${}\varphi$ injektiv ist.

d) Definiere auf ${}M$ (aus Teil c) eine Verknüpfung ${}+$ derart, dass ${}M$ mit dieser Verknüpfung und mit ${}[(0,1)]$ als neutralem Element eine Gruppe wird, und dass für die Abbildung ${}\varphi$ die Beziehung

${}\varphi (z_{1}+z_{2})=\varphi (z_{1})+\varphi (z_{2})\,$

für alle ${}z_{1},z_{2}\in \mathbb {Z}$ gilt.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (2 Punkte)

Kevin zahlt für einen Winterblumenstrauß mit ${}3$ Schneeglöckchen und ${}4$ Mistelzweigen ${}2{,}50$ € und Jennifer zahlt für einen Strauß aus ${}5$ Schneeglöckchen und ${}2$ Mistelzweigen ${}2{,}30$ €. Wie viel kostet ein Strauß mit einem Schneeglöckchen und ${}11$ Mistelzweigen?

Aufgabe * (5 Punkte)

Es seien ${}a,b,c\in \mathbb {R}$ reelle Zahlen. Wir betrachten die drei Vektoren

${}{\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}c\\a\\b\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}b\\c\\a\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}\,.$

Man gebe Beispiele für ${}a,b,c$ derart, dass der von diesen Vektoren erzeugte Untervektorraum die Dimension ${}0,1,2,3$ besitzt.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (1 Punkt)

Erstelle eine Kreisgleichung für den Kreis im ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit Mittelpunkt ${}(-5,5)$, der durch den Punkt ${}(-4,-1)$ läuft.