Kurs:Elementare Algebra/20/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	2	3	3	3	2	2	2	3	3	3	4	5	9	4	4	0	58

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Gruppe ${}G$.
2. Ein gemeinsamer Teiler von Elementen ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$ in einem kommutativen Ring ${}R$.
3. Die Summe der Ideale ${}{\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subseteq R$ in einem kommutativen Ring ${}R$.
4. Der Quotientenkörper zu einem kommutativen Ring ${}R$.
5. Eine Basis eines ${}K$- Vektorraums ${}V$.
6. Eine konstruierbare Zahl ${}z\in {\mathbb {C} }$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Homomorphiesatz für Gruppen (Satz vom induzierten Homomorphismus).
2. Der Satz von Euler über Einheiten in einem Restklassenring von ${}\mathbb {Z}$.
3. Der Satz über die Menge der konstruierbaren Zahlen.

Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass eine zyklische Gruppe kommutativ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Illustriere die dritte binomische Formel durch eine geeignete geometrische Figur.

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass für eine komplexe Zahl ${}z$ die folgenden Beziehungen gelten.

1. Es ist ${}{\overline {z}}=\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}-\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}{\mathrm {i} }$.
2. Es ist ${}\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}={\frac {z+{\overline {z}}}{2}}$.
3. Es ist ${}\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}={\frac {z-{\overline {z}}}{2{\mathrm {i} }}}$.

Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Zeige, dass der Grad folgende Eigenschaften erfüllt.

1. ${}\operatorname {grad} \,(P+Q)\leq \max\{\operatorname {grad} \,(P),\,\operatorname {grad} \,(Q)\}\,,$

2. ${}\operatorname {grad} \,(P\cdot Q)=\operatorname {grad} \,(P)+\operatorname {grad} \,(Q)\,.$

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die kleinste natürliche Zahl, deren letzte Ziffer eine ${}3$ ist, die kein Vielfaches der ${}3$ ist und die keine Primzahl ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme in ${}\mathbb {Z}$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von ${}1071$ und ${}1029$.

Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

Es seien ${}a,m,n$ natürliche Zahlen mit ${}a\geq 1$.

1. Bestimme ${}\operatorname {ggT} (a^{m},a^{n})$.
2. Bestimme ${}\operatorname {kgV} (a^{m},a^{n})$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Wir betrachten das kleine Einmaleins als eine Verknüpfungstabelle, in der alle Produkte ${}i\cdot j$ mit ${}1\leq i,j\leq 9$ stehen. Bestimme die Primfaktorzerlegung des Produktes über alle Einträge in der Tabelle.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}n$ eine natürliche Zahl. Zeige, dass die Zahl

$n(n+1)(n+2)(n+3)$

durch ${}8$ teilbar ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme das inverse Element zu ${}{\overline {55}}$ in ${}\mathbb {Z} /(93)$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien ${}R$ und ${}S_{1},\ldots ,S_{n}$ kommutative Ringe und es seien ${}\varphi _{i}\colon R\rightarrow S_{i}$ surjektive Ringhomomorphismen. Es sei

$\varphi =\varphi _{1}\times \cdots \times \varphi _{n}\colon R\longrightarrow S_{1}\times \cdots \times S_{n}$

der zugehörige Ringhomomorphismus in den Produktring

${}S=S_{1}\times \cdots \times S_{n}\,.$

Es sei vorausgesetzt, dass die Elemente der Form ${}(1,0,\ldots ,0),(0,1,0,\ldots ,0),\ldots ,(0,\ldots ,0,1)$ zum Bild von ${}\varphi$ gehören. Zeige, dass ${}\varphi$ surjektiv ist.

Aufgabe * (5 (1+3+1) Punkte)

1. Gibt es eine Primzahl ${}x$ derart, dass auch ${}x+6$, ${}x+12$, ${}x+18$ und ${}x+24$ Primzahlen sind?
2. Gibt es mehr als eine Primzahl ${}x$ derart, dass auch ${}x+6$, ${}x+12$, ${}x+18$ und ${}x+24$ Primzahlen sind?
3. Gibt es mehr als eine Primzahl ${}x$ derart, dass auch ${}x+6$, ${}x+12$ und ${}x+18$ Primzahlen sind?

Aufgabe * (9 (2+4+3) Punkte)

Es sei ${}u\in \mathbb {R}$ eine irrationale Zahl und sei

${}G={\left\{a+bu\mid a,b\in \mathbb {Z} \right\}}\subseteq \mathbb {R} \,.$

a) Zeige, dass ${}G$ eine Untergruppe von ${}(\mathbb {R} ,0,+)$ ist.

b) Zeige, dass es kein Element ${}v\in \mathbb {R}$ mit

${}G=\mathbb {Z} v={\left\{cv\mid c\in \mathbb {Z} \right\}}\,$

gibt.

c) Zeige, dass es in ${}G$ kein positives minimales Element gibt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Berechne

${\left({\frac {2}{5}}-{\frac {1}{6}}{\sqrt[{3}]{2}}+{\frac {1}{5}}{\left({\sqrt[{3}]{2}}\right)}^{2}\right)}\cdot {\left(-{\frac {2}{5}}+7{\sqrt[{3}]{2}}+{\frac {1}{4}}{\left({\sqrt[{3}]{2}}\right)}^{2}\right)}.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der Geraden, die durch die beiden Punkte ${}(-1,1)$ und ${}(4,-2)$ verläuft.

Aufgabe (0 Punkte)