Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 2/kontrolle
- Übungsaufgaben
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass es keinen echten Zwischenring zwischen und gibt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Formuliere und beweise das allgemeine Distributivitätsgesetz für einen Ring.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein Ring und seien und Elemente in . Berechne das Produkt
Wie lautet das Ergebnis, wenn der Ring kommutativ ist?
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Formuliere die binomischen Formeln für zwei reelle Zahlen und beweise die Formeln mit Hilfe des Distributivgesetzes.
Aufgabe * Aufgabe 2.7 ändern
Man mache sich dies auch für und klar.
Aufgabe * Aufgabe 2.8 ändern
Es sei eine -elementige Menge. Zeige, dass die Anzahl der -elementigen Teilmengen von gleich dem Binomialkoeffizienten
ist.
Aufgabe Aufgabe 2.9 ändern
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein kommutativer Ring und seien Nichtnullteiler in . Zeige, dass das Produkt ebenfalls ein Nichtnullteiler ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein Ring und seien , Unterringe. Zeige, dass dann auch der Durchschnitt ein Unterring von ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei eine Menge. Zeige, dass die Potenzmenge mit dem Durchschnitt als Multiplikation und der symmetrischen Differenz
als Addition (mit welchen neutralen Elementen?) ein kommutativer Ring ist.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Beweise die Formel
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme die Nullteiler und die Nichtnullteiler in .
Die nächste Aufgabe verwendet den Begriff des nilpotenten Elementes in einem Ring.
Ein Element eines Ringes heißt nilpotent, wenn ist für eine natürliche Zahl .
Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein kommutativer Ring und es seien nilpotente Elemente. Zeige, dass dann die Summe ebenfalls nilpotent ist.
Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei eine fixierte positive natürliche Zahl. Zeige, dass die Menge aller rationalen Zahlen, die man mit einer Potenz von als Nenner schreiben kann, einen Unterring von bildet.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei der von und erzeugte Unterring von . Zeige, dass alle rationalen Zahlen enthält, die sich mit einer Potenz von im Nenner schreiben lassen.
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