Bei der Konstruktion von aus betrachtet man die formalen Brüche
und identifiziert zwei Brüche
und ,
wenn
ist. Das gleiche Verfahren kann man für jeden Integritätsbereich anwenden und erhält dadurch einen Körper, in dem als
Unterring
enthalten ist.
Zu einem
Integritätsbereich ist der Quotientenkörper als die Menge der formalen Brüche
mit natürlichen Identifizierungen und Operationen definiert.
Diese Definition ist etwas vage, gemein ist das folgende: Auf der Menge der Paare aus führt man eine
Äquivalenzrelation
ein, indem man
Die zugehörige Quotientenmenge ist dann der Quotientenkörper, also
Die Äquivalenzklasse zu schreibt man als . Man definiert dann durch
,
,
spezielle Elemente in und durch
und
(wohldefinierte)
Verknüpfungen, die zu einem kommutativen Ring machen. Bei
gilt
und somit liegt ein Körper vor. Die Abbildung
ist ein injektiver Ringhomomorphismus.
Die wichtigsten Beispiele für einen Quotientenkörper sind die rationalen Zahlen
und der Quotientenkörper des Polynomrings in einer Variablen über einem (Grund-)körper . Man bezeichnet ihn mit
und nennt ihn den Körper der rationalen Funktionen
(über ).
In der Tat definiert ein Bruch aus zwei Polynomen
, ,
eine Funktion
wobei
das Komplement der Nullstellenmenge von bezeichnet. Wie schon im Fall von Polynomen und den dadurch definierten polynomialen Funktionen muss man auch hier bei einem endlichen Grundkörper vorsichtig sein und darf nicht die formalen Brüche mit den dadurch definierten Funktionen gleichsetzen.Bei
ist dies aber eine richtige und hilfreiche Vorstellung.
Die folgende Aussage kann man so verstehen, dass der Quotientenkörper der minimale Körper ist, in dem man einen Integritätsbereich als Unterring realisieren kann.
Damit die Ringhomomorphismen kommutieren muss
und damit
sein. Es kann also maximal einen solchen Ringhomomorphismus geben, der durch die letzte Gleichung definiert sein muss. Da für
auch
ist und ein
Körper
ist, gibt es
. Es ist zu zeigen, dass dadurch ein wohldefinierter Ringhomomorphismus gegeben ist. Zur Wohldefiniertheit sei
,
also
.
Dann ist auch
und durch Multiplizieren mit der Einheit folgt
Wir zeigen exemplarisch für die Addition, dass ein Ringhomomorphismus vorliegt. Es ist
Für die vorstehende Aussage ist die Injektivität der Abbildung
wichtig. Beispielsweise gibt es für den Ringhomomorphismus
keine Faktorisierung über , da es überhaupt keinen Ringhomomorphismus von in einen endlichen Restklassenring von gibt.
mit von verschiedenen Elementen . Die Primfaktorzerlegungen dieser Elemente seien
und ,
wobei die nicht untereinander assoziiert seien, und Einheiten sind. Dann ist
eine Darstellung der gewünschten Art. Wenn zwei Darstellungen
gegeben sind, so erhält man durch Multiplikation mit für hinreichend großes , dass links und rechts alle Exponenten positiv werden. Aus der Faktorialität folgt daraus
für alle und damit auch
.
Man kann also beispielsweise jede rationale Zahl
eindeutig schreiben als
mit Primzahlen und Exponenten
.
Der multiplikative Übergang von nach enspricht also auf der Ebene der Exponenten dem additiven Übergang von nach .
Die eben angeführte eindeutige Darstellung ist mit der Multiplikation verträglich. In der nächsten Aussage bedeutet die Schreibweise die Menge aller -Tupel mit Werten in , wobei aber jeweils nur endlich viele Einträge von verschieden sein dürfen.