Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 10

Aufgaben

Aufgabe

Formuliere und beweise für Untergitter in ${}\mathbb {R}$ die analogen Resultate zu Lemma 10.2, Lemma 10.3 und Lemma 10.4.

Aufgabe

Es sei ${}\Gamma =\mathbb {Z} u+\mathbb {Z} v\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter und sei ${}\Gamma '=\mathbb {Z} (mu)+\mathbb {Z} (nv)\subseteq \Gamma$ mit ${}m,n\in \mathbb {N} _{+}$. Bestimme den Kern (mit Anzahl) der Isogenie ${}{\mathbb {C} }/\Gamma '\rightarrow {\mathbb {C} }/\Gamma$.

Aufgabe

Es sei ${}\Gamma =\mathbb {Z} u+\mathbb {Z} v\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter und sei ${}\Gamma '=\langle au+bv,cu+dv\rangle \subseteq \Gamma$ ein Untergitter. Zeige, dass die Anzahl von ${}\Gamma /\Gamma '$ gleich dem Betrag der Determinante von ${}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ ist.

Aufgabe

Bestimme die topologische Gestalt der Überlagerungen

${\mathbb {C} }/\Gamma _{1}\cong S^{1}\times S^{1}\longrightarrow {\mathbb {C} }/\Gamma _{2}\cong S^{1}\times S^{1}$

zu einem Untergitter ${}\Gamma _{1}\subseteq \Gamma _{2}\subseteq {\mathbb {C} }$.

Aufgabe

Skizziere auf einem Torus die Punkte, die unter der zum Untergitter ${}3\mathbb {Z} +5\mathbb {Z} {\mathrm {i} }\subseteq \mathbb {Z} +\mathbb {Z} {\mathrm {i} }$ gehörenden Abbildung

${\mathbb {C} }/(3\mathbb {Z} +5\mathbb {Z} {\mathrm {i} })\longrightarrow {\mathbb {C} }/(\mathbb {Z} +\mathbb {Z} {\mathrm {i} })$

auf den Nullpunkt abgebildet werden.

Aufgabe

Zeige, dass durch die Isogenie eine Äquivalenzrelation auf den komplexen Tori über ${}{\mathbb {C} }$ gegeben ist.

Aufgabe *

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter, ${}s\in {\mathbb {C} }$, ${}s\neq 0$, mit ${}s\Gamma \subseteq \Gamma$. Es sei ${}\Gamma \cong \mathbb {Z} ^{2}$ eine Identifizierung und ${}M$ die beschreibende Matrix der Abbildung

$s\colon \Gamma \longrightarrow \Gamma$

unter dieser Identifizierung. Es sei

$\varphi \colon {\mathbb {C} }/\Gamma \longrightarrow {\mathbb {C} }/\Gamma ,\,[z]\longmapsto [sz]$

die zugehörige Isogenie. Zeige, dass die Anzahl des Kernes von ${}\varphi$ mit der Determinante von ${}M$ übereinstimmt.

Aufgabe *

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter. Zeige direkt, dass

${\left\{s\in {\mathbb {C} }\mid s\Gamma \subseteq \Gamma \right\}}$

ein Unterring von ${}{\mathbb {C} }$ ist.

Aufgabe

Bestimme die Automorphismengruppe von ${}{\mathbb {C} }/(\mathbb {Z} +\mathbb {Z} {\mathrm {i} })$.

Aufgabe

Bestimme die Automorphismengruppe von ${}{\mathbb {C} }/(\mathbb {Z} +\mathbb {Z} {\frac {-1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}})$.

Aufgabe

Zeige, dass innerhalb der Menge aller komplexen Tori die Teilmenge derjenigen Tori, deren Endomorphismenring größer als ${}\mathbb {Z}$ ist, „dünn“ ist.