Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Vorlesung 10

Isogenien

Es seien zwei Gitter ${}\Gamma _{1}\subseteq \Gamma _{2}\subseteq {\mathbb {C} }$ gegeben, das eine Gitter sei also in dem anderen Gitter enthalten, d.h. ${}\Gamma _{1}$ ist ein Untergitter von ${}\Gamma _{2}$. Beispielsweise ist ${}\langle 2,3{\mathrm {i} }\rangle$ ein Untergitter des Standardgitters ${}\langle 1,{\mathrm {i} }\rangle$. Wenn man ein Gitter ${}\Gamma$ mit einer positiven natürlichen Zahl ${}n$ streckt, so erhält man die Untergitterbeziehung ${}n\Gamma \subseteq \Gamma$. Hierbei sind ${}\Gamma$ und ${}n\Gamma$ zueinander streckungsäquivalent, es kann also durchaus sein, dass ein streckungsäquivalentes Gitter als Untergitter von sich selbst auftritt.

Lemma

Es sei ${}\Gamma _{1}\subseteq \Gamma$ ein Untergitter eines Gitters ${}\Gamma$ in ${}{\mathbb {C} }$.

Dann gibt es ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ derart, dass ${}n\Gamma \subseteq \Gamma _{1}\subseteq \Gamma$ gilt.

Beweis

Es sei ${}\Gamma =\mathbb {Z} u+\mathbb {Z} v$ und ${}\Gamma _{1}=\mathbb {Z} w+\mathbb {Z} z$. Dann gibt es ${}p,q,r,s\in \mathbb {Z}$ mit ${}w=pu+qv$ und ${}z=ru+sv$. Da die Gitter nach Definition volldimensional sind, ist

${}\det {\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}}=\pm n\neq 0\,.$

Somit gibt es eine weitere Matrix ${}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ mit

${}{\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}n&0\\0&n\end{pmatrix}}\,.$

Mit diesem ${}n$ gilt die Behauptung.

$\Box$

Lemma

Zu Gittern ${}\Gamma _{1}\subseteq \Gamma _{2}\subseteq {\mathbb {C} }$

gibt es einen kanonischen surjektiven Gruppenhomomorphismus

${\mathbb {C} }/\Gamma _{1}\longrightarrow {\mathbb {C} }/\Gamma _{2},$

dessen Kern gleich ${}\Gamma _{2}/\Gamma _{1}$ und insbesondere endlich ist.

Beweis

Unter dem Gruppenhomomorphismus

$\pi _{2}\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }/\Gamma _{2}$

wird insbesondere auch das Untergitter ${}\Gamma _{1}\subseteq {\mathbb {C} }$ auf ${}0$ abgebildet, d.h. ${}\Gamma _{1}$ gehört zum Kern von ${}\pi _{2}$. Somit gibt es nach dem Homomorphiesatz einen induzierten Gruppenhomomorphismus

${\mathbb {C} }/\Gamma _{1}\longrightarrow {\mathbb {C} }/\Gamma _{2}.$

Dieser ist surjektiv, und sein Kern ist isomorph zu ${}\Gamma _{2}/\Gamma _{1}$. Dies ist eine endliche Gruppe.

$\Box$

Lemma

Zu Gittern ${}\Gamma _{1}\subseteq \Gamma _{2}\subseteq {\mathbb {C} }$

ist der kanonische Gruppenhomomorphismus

${\mathbb {C} }/\Gamma _{1}\longrightarrow {\mathbb {C} }/\Gamma _{2}$

eine endliche Überlagerung, deren Fasern gleich ${}\Gamma _{2}/\Gamma _{1}$ sind. Die Gruppe der Decktransformationen ist isomorph zu ${}\Gamma _{2}/\Gamma _{1}$.

Beweis

Es liegt das kommutative Diagramm

${\begin{matrix}{\mathbb {C} }&{\stackrel {\pi _{1}}{\longrightarrow }}&{\mathbb {C} }/\Gamma _{1}&\\&\!\!\!\!\!\pi _{2}\searrow &\downarrow \pi \!\!\!\!\!&\\&&{\mathbb {C} }/\Gamma _{2}\,,&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

wobei ${}\pi _{1}$ und ${}\pi _{2}$ nach Satz 8.6 Überlagerungen sind. Zu einer offenen Umgebung ${}P\in U\subseteq {\mathbb {C} }/\Gamma _{2}$, für die es in ${}{\mathbb {C} }$ die disjunkten und zu ${}U$ homöomorphen offenen Umgebungen ${}g+{\tilde {U}}$, ${}g\in \Gamma _{2}$, gibt, ist das Urbild ${}\pi ^{-1}(U)$ in ${}{\mathbb {C} }/\Gamma _{1}$ die disjunkte Vereinigung der offenen Mengen ${}\pi _{1}(g+{\tilde {U}})$, ${}[g]\in \Gamma _{2}/\Gamma _{1}$, wobei

$\pi _{1}(g+{\tilde {U}})\longrightarrow U$

Homöomorphismen sind. Daher liegt eine Überlagerung vor.

Ein Element ${}[g]\in \Gamma _{2}/\Gamma _{1}$ definiert einen stetigen Gruppenhomomorphismus

$g\colon {\mathbb {C} }/\Gamma _{1}\longrightarrow {\mathbb {C} }/\Gamma _{1},\,z\longmapsto z+g,$

derart, dass das Diagramm

${\begin{matrix}{\mathbb {C} }/\Gamma _{1}&{\stackrel {g}{\longrightarrow }}&{\mathbb {C} }/\Gamma _{1}&\\&\!\!\!\!\!\pi \searrow &\downarrow \pi \!\!\!\!\!&\\&&{\mathbb {C} }/\Gamma _{2}&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

kommutiert. Dabei definiert ${}g$ genau dann die Identität auf ${}{\mathbb {C} }/\Gamma _{1}$, wenn ${}g\in \Gamma _{1}$ ist, also wenn ${}[g]=[0]$ in ${}\Gamma _{2}/\Gamma _{1}$ ist. Die Addition in ${}\Gamma _{2}/\Gamma _{1}$ entspricht dabei der Hintereinanderschaltung von Abbildungen.

$\Box$

Lemma

Zu Gittern ${}\Gamma _{1}\subseteq \Gamma _{2}\subset {\mathbb {C} }$

ist der kanonische Gruppenhomomorphismus

${\mathbb {C} }/\Gamma _{1}\longrightarrow {\mathbb {C} }/\Gamma _{2}$

ein Homomorphismus von komplexen Lie-Gruppen.

Beweis

Dies folgt aus Lemma 10.2 und aus Lemma 10.3, da die holomorphen Strukturen auf ${}{\mathbb {C} }/\Gamma _{1}$ bzw. ${}{\mathbb {C} }/\Gamma _{2}$ beide von ${}{\mathbb {C} }$ geerbt sind (siehe Satz 8.6).

$\Box$

Definition

Zu komplexen Tori ${}E_{1}$ und ${}E_{2}$ nennt man einen holomorphen Gruppenhomomorphismus ${}\varphi \colon E_{1}\rightarrow E_{2}$ eine Isogenie

Nach Lemma 10.4 ist also zu einem Untergitter ${}\Gamma _{1}\subseteq \Gamma _{2}$ die induzierte Abbildung ${}{\mathbb {C} }/\Gamma _{1}\rightarrow {\mathbb {C} }/\Gamma _{2}$ eine Isogenie.

Lemma

Es sei ${}\Gamma =\langle u,v\rangle \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$.

Dann führt die Multiplikation mit ${}n$ zu einem kommutativen Diagramm

${\begin{matrix}{\mathbb {C} }&{\stackrel {n}{\longrightarrow }}&{\mathbb {C} }&\\\downarrow &&\downarrow &\\{\mathbb {C} }/\Gamma &{\stackrel {[n]}{\longrightarrow }}&{\mathbb {C} }/\Gamma &\!\!\!\!\!.\\\end{matrix}}$

von Gruppenhomomorphismen. Die Abbildung ${}[n]$ ist eine surjektive Isogenie und der Kern von ${}[n]$ wird durch die ${}n^{2}$ Elemente

${\left\{i{\frac {u}{n}}+j{\frac {v}{n}}\mid i,j=0,1,\ldots ,n-1\right\}}$

repräsentiert.

Beweis

Es liegt die Untergitterbeziehung ${}n\Gamma \subseteq \Gamma$ vor, daher folgen die Aussagen aus Lemma 10.4.

$\Box$

Der folgende Satz charakterisiert die nichtkonstanten Isogenien.

Lemma

Es seien ${}\Gamma _{1},\Gamma _{2}\subseteq {\mathbb {C} }$ Gitter. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.

1. Es gibt ein ${}s\in {\mathbb {C} }^{\times }$ mit ${}s\Gamma _{1}\subseteq \Gamma _{2}$.
2. Es gibt einen surjektiven Homomorphismus von komplexen Lie-Gruppen

   $\varphi \colon {\mathbb {C} }/\Gamma _{1}\longrightarrow {\mathbb {C} }/\Gamma _{2}.$

3. Es gibt einen Homomorphismus von komplexen Lie-Gruppen

   $\varphi \colon {\mathbb {C} }/\Gamma _{1}\longrightarrow {\mathbb {C} }/\Gamma _{2}$

   mit einem endlichen Kern.

4. Es gibt einen nichtkonstanten Homomorphismus von komplexen Lie-Gruppen

   $\varphi \colon {\mathbb {C} }/\Gamma _{1}\longrightarrow {\mathbb {C} }/\Gamma _{2}.$

Beweis

Von (1) nach (2), (3). Nach Satz 10.8 können wir ${}s\Gamma _{1}$ durch ${}\Gamma _{1}$ ersetzen, da dies den Quotienten mit seiner holomorphen Struktur nicht ändert. Die Aussage (2) und (3) folgen somit aus Lemma 10.2 und Lemma 10.4. Aus (2) bzw. (3) folgt direkt (4). Es sei also (4) erfüllt. Wir betrachten den zusammengesetzten holomorphen Gruppenhomomorphismus

${\mathbb {C} }{\stackrel {\pi _{1}}{\longrightarrow }}{\mathbb {C} }/\Gamma _{1}{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}{\mathbb {C} }/\Gamma _{2}.$

Der Kern dieser Abbildung umfasst ${}\Gamma _{1}$. Nach Lemma 8.15 besitzt diese Gesamtabbildung eine Faktorisierung

${\mathbb {C} }{\stackrel {\cdot s}{\longrightarrow }}{\mathbb {C} }{\stackrel {\pi _{2}}{\longrightarrow }}{\mathbb {C} }/\Gamma _{2}$

mit einer komplexen Zahl ${}s$. Somit gilt ${}s\cdot \Gamma _{1}\subseteq \Gamma _{2}$ und wegen der Nichtkonstanz ist ${}s\neq 0$.

$\Box$

Satz

Es seien ${}\Gamma _{1},\Gamma _{2}\subseteq {\mathbb {C} }$ Gitter.

Dann sind ${}\Gamma _{1}$ und ${}\Gamma _{2}$ genau dann zueinander streckungsäquivalent, wenn ${}{\mathbb {C} }/\Gamma _{1}$ und ${}{\mathbb {C} }/\Gamma _{2}$ als komplexe Lie-Gruppen isomorph sind.

Beweis

Die Hinrichtung wurde in Lemma 9.11 gezeigt. Die Rückrichtung folgt aus Lemma 10.7.

$\Box$

Satz

Es seien ${}E_{1}$ und ${}E_{2}$ komplexe Tori über ${}{\mathbb {C} }$ und

$\varphi \colon E_{1}\longrightarrow E_{2}$

eine nichtkonstante Isogenie.

Dann gibt es eine Isogenie

$\psi \colon E_{2}\longrightarrow E_{1}$

derart, dass ${}\psi \circ \varphi$ die ${}n$-Multiplikation auf ${}E_{1}$ ist.

Beweis

Dies folgt aus Lemma 10.7 und Lemma 10.1.

$\Box$

Lemma

Es seien ${}E_{1}={\mathbb {C} }/\Gamma _{1}$ und ${}E_{2}={\mathbb {C} }/\Gamma _{2}$ komplexe Tori.

Dann entsprechen die Isogenien ${}\varphi \colon E_{1}\rightarrow E_{2}$ den komplexen Zahlen ${}s\in {\mathbb {C} }$ mit ${}s\Gamma _{1}\subseteq \Gamma _{2}$.

Beweis

Dies folgt aus Lemma 10.7.

$\Box$

Lemma

Es seien ${}E_{1},E_{2},E_{3}$ komplexe Tori. Dann gelten folgende Aussagen

1. Wenn ${}\varphi \colon E_{1}\rightarrow E_{2}$ und

   $\psi \colon E_{2}\longrightarrow E_{3}$

   Isogenien sind, so ist auch ${}\psi \circ \varphi$ eine Isogenie.

2. Wenn

   $\varphi ,\psi \colon E_{1}\longrightarrow E_{2}$

   Isogenien sind, so ist auch ihre Summe ${}\varphi +\psi$ eine Isogenie.

Beweis

1. Ist klar.
2. Folgt direkt aus dem Diagramm

   $E_{1}{\stackrel {\varphi ,\psi }{\longrightarrow }}E_{2}\times E_{2}{\stackrel {+}{\longrightarrow }}E_{2}.$

$\Box$

Definition

Komplexe Tori ${}E_{1},E_{2}$ über ${}{\mathbb {C} }$ heißen isogen, wenn es eine nichtkonstante Isogenie ${}E_{1}\rightarrow E_{2}$ gibt.

Endomorphismenring

Definition

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter und ${}E={\mathbb {C} }/\Gamma$ der zugehörige komplexe Torus. Man nennt

${}\operatorname {End} _{}{\left(E\right)}={\left\{f:E\rightarrow E\mid f{\text{ Isogenie}}\right\}}\,$

mit der Addition und der Hintereinanderschaltung von Isogenien den Endomorphismenring von ${}E$.

Lemma

Zu einem komplexen Torus

ist der Endomorphismenring ein Integritätsbereich.

Beweis

Bei der Korrespondenz aus Lemma 10.10 zwischen Isogenien und Multiplikationen in ${}{\mathbb {C} }$ entsprechen sich auch die Hintereinanderschaltungen und die Summen. Dies gilt insbesondere für ${}\Gamma '=\Gamma$, sodass sich alles innerhalb von ${}{\mathbb {C} }$ abspielt. Es liegt also eine Unterring von ${}{\mathbb {C} }$ vor.

$\Box$

Der Standardfall ist, dass der Endomorphismenring gleich ${}\mathbb {Z}$ ist und einfach nur aus den Multiplikationen mit ganzen Zahlen im Sinne von Lemma 10.6 besteht. Es gibt aber auch Fälle, wo der Endomorphismenring größer ist. Wenn ${}\Gamma$ das definierende Gitter ist, so ist die entscheidende Frage, ob es komplexe Zahlen ${}s\notin \mathbb {Z}$ gibt mit ${}s\Gamma \subseteq \Gamma$. Wenn das Gitter in der Form ${}\mathbb {Z} 1+\mathbb {Z} u$ gegeben ist, so muss ${}s$ selbst zu dem Gitter gehören, also ${}s=n+mu$, und es muss

${}su=nu+mu^{2}\in \Gamma \,$

gelten, also ${}mu^{2}\in \Gamma$. D.h. ${}u$ muss eine quadratische Gleichung über ${}\mathbb {Z}$ erfüllen. Daher besteht ein enger Zusammenhang zwischen elliptischen Kurven über ${}{\mathbb {C} }$ mit „großem“ Endomorphismenring und imaginär-quadratischen Zahlbereichen.

Beispiel

Zum Gitter ${}\mathbb {Z} +\mathbb {Z} {\mathrm {i} }$ gibt es neben den Multiplikationen mit einer ganzen Zahl noch die Multiplikation mit ${}{\mathrm {i} }$, die das Gitter in sich selbst überführt. Der Endomorphismenring der elliptischen Kurve ${}{\mathbb {C} }/(\mathbb {Z} +\mathbb {Z} {\mathrm {i} })$ ist ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$.

Beispiel

Zum Gitter ${}\Gamma =\mathbb {Z} +\mathbb {Z} {\frac {-1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}$ gibt es neben den Multiplikationen mit einer ganzen Zahl noch die Multiplikation mit ${}{\frac {-1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}$, die das Gitter in sich selbst überführt. Der Endomorphismenring des komplexen Torus ${}{\mathbb {C} }/\Gamma$ ist ${}\mathbb {Z} [{\frac {-1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}]$.

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