Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 12/latex

\setcounter{section}{12}






\zwischenueberschrift{Aufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma }
{ = }{ \langle u ,v \rangle }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Gitter}{}{} in ${\mathbb C}$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} }
{ \in }{ \operatorname{GL}_{ 2 } \! { \left( \Z \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s }
{ > }{ 2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_ {(m,n) \in \Z^2, \, (m,n) \neq (0,0)} (mu+nv)^{-s} }
{ =} { \sum_ {(k,\ell) \in \Z^2, \, (k,\ell) \neq (0,0)} (k(au+bv)+ \ell (cu+dv) )^{-s} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Finde eine Lösung für die gewöhnliche Differentialgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ z' }
{ =} { \sqrt{ z^3+az+b } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z(0) }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} bis zur vierten Ordnung durch einen Potenzreihenansatz \zusatzklammer {es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b }
{ \in }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Gitter}{}{} in ${\mathbb C}$ und $\wp$ die zugehörige \definitionsverweis {Weierstraßsche Funktion}{}{.} Drücke $\wp^{\prime \prime}$ als rationale Kombination in \mathkor {} {\wp} {und} {\wp'} {} aus.

}
{} {}





\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Gitter}{}{} in ${\mathbb C}$. Zeige, dass es zu jeder \definitionsverweis {elliptischen Funktion}{}{} $f$ eine rationale Funktion \maabbdisp {h} { V_+ (F) } { {\mathbb P}^{1}_{ {\mathbb C} } } {} derart gibt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f }
{ =} { h \circ \psi }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit $\psi$ aus Satz 12.13 gilt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Gitter}{}{} in ${\mathbb C}$ mit dem Torus
\mathl{{\mathbb C}/\Gamma}{} und der zugehörigen elliptischen Kurve aus Satz 12.14. Zeige, dass die Festlegungen in Definition 12.4 und Definition 12.5 mit den Festlegungen in Definition 5.7 und Definition 5.8 übereinstimmen.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Führe den Beweis zu Satz 12.14 für die projektiven Geraden der Form
\mathl{V_+(\rho x + \sigma w)}{} durch.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass für \definitionsverweis {streckungsäquivalente}{}{} \definitionsverweis {Gitter}{}{} in ${\mathbb C}$ die zugehörigen \definitionsverweis {komplexen Tori}{}{} \definitionsverweis {isomorph}{}{} sind.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $E$ eine \definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{} über $\R$. Skizziere die Möglichkeiten, wie $E(\R)$ auf $E( {\mathbb C} )$ liegen kann \zusatzklammer {vergleiche Aufgabe 6.7 und Aufgabe 6.8} {} {.}

}
{Es ist nicht einfach, dem Gitter anzusehen, ob es zu einer elliptischen Kurve über $\R$ \zusatzklammer {oder über $\Q$ führt} {} {.}} {}