Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 12/latex
\setcounter{section}{12}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma
}
{ = }{ \langle u ,v \rangle
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Gitter}{}{}
in ${\mathbb C}$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}
}
{ \in }{ \operatorname{GL}_{ 2 } \! { \left( \Z \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ > }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_ {(m,n) \in \Z^2, \, (m,n) \neq (0,0)} (mu+nv)^{-s}
}
{ =} { \sum_ {(k,\ell) \in \Z^2, \, (k,\ell) \neq (0,0)} (k(au+bv)+ \ell (cu+dv) )^{-s}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Finde eine Lösung für die gewöhnliche Differentialgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ z'
}
{ =} { \sqrt{ z^3+az+b }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z(0)
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bis zur vierten Ordnung durch einen Potenzreihenansatz
\zusatzklammer {es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Gitter}{}{}
in ${\mathbb C}$ und $\wp$ die zugehörige
\definitionsverweis {Weierstraßsche Funktion}{}{.}
Drücke $\wp^{\prime \prime}$ als rationale Kombination in
\mathkor {} {\wp} {und} {\wp'} {}
aus.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Gitter}{}{}
in ${\mathbb C}$. Zeige, dass es zu jeder
\definitionsverweis {elliptischen Funktion}{}{}
$f$ eine rationale Funktion
\maabbdisp {h} { V_+ (F) } { {\mathbb P}^{1}_{ {\mathbb C} }
} {}
derart gibt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f
}
{ =} { h \circ \psi
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit $\psi$ aus
Satz 12.13
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Gitter}{}{}
in ${\mathbb C}$ mit dem Torus
\mathl{{\mathbb C}/\Gamma}{} und der zugehörigen elliptischen Kurve aus
Satz 12.14.
Zeige, dass die Festlegungen in
Definition 12.4
und
Definition 12.5
mit den Festlegungen in
Definition 5.7
und
Definition 5.8
übereinstimmen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Führe den Beweis zu
Satz 12.14
für die projektiven Geraden der Form
\mathl{V_+(\rho x + \sigma w)}{} durch.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass für \definitionsverweis {streckungsäquivalente}{}{} \definitionsverweis {Gitter}{}{} in ${\mathbb C}$ die zugehörigen \definitionsverweis {komplexen Tori}{}{} \definitionsverweis {isomorph}{}{} sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $E$ eine \definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{} über $\R$. Skizziere die Möglichkeiten, wie $E(\R)$ auf $E( {\mathbb C} )$ liegen kann \zusatzklammer {vergleiche Aufgabe 6.7 und Aufgabe 6.8} {} {.}
}
{Es ist nicht einfach, dem Gitter anzusehen, ob es zu einer elliptischen Kurve über $\R$
\zusatzklammer {oder über $\Q$ führt} {} {.}} {}