Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 6/latex
\setcounter{section}{6}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine Menge mit einer
\definitionsverweis {Verknüpfung}{}{}
\maabbeledisp {*} {M \times M} {M
} {(P,Q)} {P*Q
} {,}
die für alle Elemente $P,Q,R,S \in M$ folgende Eigenschaften erfüllt.
\aufzaehlungdrei{$P*Q=Q*P$
}{$(P*Q)*P=Q$
}{$((P*Q)*R)*S=P*((Q*S)*R)$.
}
Es sei ${\mathfrak O }$ ein beliebiges aber fest gewähltes Element aus $M$.
(a) Zeige, dass die Verknüpfung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P+Q
}
{ \defeq} {(P*Q)* {\mathfrak O }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {kommutative Gruppenstruktur}{}{}
auf $M$ mit ${\mathfrak O }$ als neutralem Element definiert.
(b) Es sei nun ${\mathfrak O } '$ ein zweites Element aus $M$. Zeige, dass die durch ${\mathfrak O }$ und durch ${\mathfrak O } '$ definierten Gruppen \definitionsverweis {isomorph}{}{} sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Begründe die Assoziativität der Verknüpfung in Satz 6.3 für die Fälle, wo manche der Schnittpunkte zusammenfallen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Berechne auf der durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Y^2
}
{ =} {X^3+1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebenen
\definitionsverweis {elliptischen Kurve}{}{}
die
\definitionsverweis {Summen}{}{}
\mathl{(0,1)+ (0,1)}{} und
\mathl{(0,1)+ (0,1)+ (0,1)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne auf der durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Y^2
}
{ =} {X^3+1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebenen
\definitionsverweis {elliptischen Kurve}{}{}
die
\definitionsverweis {Summe}{}{}
\mathl{(2,3)+ (3, \sqrt{28})}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Berechne auf der durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Y^2
}
{ =} {X^3+4X
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebenen
\definitionsverweis {elliptischen Kurve}{}{}
die
\definitionsverweis {Summe}{}{}
\mathl{(2,4)+ (2,4)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne auf der durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y^2
}
{ =} {x^3-25x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebenen
\definitionsverweis {elliptischen Kurve}{}{}
die
\definitionsverweis {Summe}{}{}
\zusatzklammer {vergleiche
Beispiel 4.11} {} {}
\mathl{\left( { \frac{ 1681 }{ 144 } } , \, { \frac{ 62279 }{ 1728 } } \right) + \left( 5 , \, 0 \right)}{.}
}
{} {}
Bei den beiden folgenden Aufgaben verwende man, dass die einzige kompakte zusammenhängende reelle eindimensionale Mannigfaltigkeit die $S^1$ ist und dass die einzige eindimensionale kompakte zusammenhängende reelle Lie-Gruppe die $S^1$ mit der üblichen Verknüpfung ist.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $E$ eine
\definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{}
über $\R$, gegeben in
\definitionsverweis {kurzer Weierstraßform}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y^2
}
{ = }{ X^3+aX+b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
\aufzaehlungvier{Das Polynom
\mathl{X^3+aX+b}{} besitzt in $\R$ genau eine Nullstellen.
}{$E(\R)$ ist in der metrischen Topologie
\definitionsverweis {zusammenhängend}{}{.}
}{Es gilt die
\definitionsverweis {Homöomorphie}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{E(\R)
}
{ \cong }{ S^1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ E(R)
}
{ \cong }{ S^1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
als
\definitionsverweis {reelle Lie-Gruppe}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $E$ eine
\definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{}
über $\R$, gegeben in
\definitionsverweis {kurzer Weierstraßform}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y^2
}
{ = }{ X^3+aX+b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
\aufzaehlungvier{Das Polynom
\mathl{X^3+aX+b}{} besitzt in $\R$ drei Nullstellen.
}{$E(\R)$ besteht in der metrischen Topologie aus zwei
\definitionsverweis {Zusammenhangskomponenten}{}{.}
}{Es gilt die
\definitionsverweis {Homöomorphie}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{E(\R)
}
{ \cong }{ S^1 \uplus S^1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ E(R)
}
{ \cong }{ S^1 \times \Z/(2)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
als
\definitionsverweis {reelle Lie-Gruppe}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $E$ eine
\definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{}
über $\R$, gegeben in
\definitionsverweis {kurzer Weierstraßform}{}{}
und
\definitionsverweis {Zerlegungsform}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y^2
}
{ = }{ X^3+aX+b
}
{ = }{ (X- \lambda_1)(X- \lambda_2)(X- \lambda_3)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda_1
}
{ < }{ \lambda_2
}
{ < }{ \lambda_3
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ B
}
{ = }{ (0, \lambda_2)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und zerlegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{E(\R)
}
{ = }{ M \uplus N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { { \left\{ P \in E(\R) \mid \lambda_1 \leq x(P) \leq \lambda_2 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{N
}
{ =} { { \left\{ P \in E(\R) \mid x(P) \geq \lambda_3 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass durch
\mathl{P \mapsto P +B}{} eine Bijektion zwischen
\mathkor {} {M} {und} {N} {}
gegeben ist.
}{Zeige, dass die Summe von zwei Punkten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P,Q
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in $N$ liegt.
}{Zeige, dass die Summe von zwei Punkten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P,Q
}
{ \in }{N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
wieder in $N$ liegt.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme auf der durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y^2
}
{ =} {x^3-x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebenen
\definitionsverweis {elliptischen Kurve}{}{}
$E$ über $\Z/(3)$ die
\definitionsverweis {Gruppenstruktur}{}{}
von $E { \left( \Z/(3) \right) }$.
}
{} {}
Die Lösung zur folgenden Aufgabe nimmt Bezug auf spätere Resultate. Man kann aber auch alles direkt berechnen.
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme auf der durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y^2
}
{ =} {x^3-x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebenen
\definitionsverweis {elliptischen Kurve}{}{}
$E$ über $\Z/(5)$ die
\definitionsverweis {Gruppenstruktur}{}{}
von $E { \left( \Z/(5) \right) }$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme auf der durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y^2
}
{ =} {x^3-x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebenen
\definitionsverweis {elliptischen Kurve}{}{}
$E$ über $\Z/(7)$ die
\definitionsverweis {Gruppenstruktur}{}{}
von $E { \left( \Z/(7) \right) }$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Überprüfe die zweite Darstellung aus
Korollar 6.7,
also
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ 2(x,y)
}
{ =} { \left( { \frac{ 9x^4+6ax^2+a^2 }{ 4(x^3+ax+b) } } -2x , \, { \left( - { \frac{ (3x^2+a)^3 }{ 8(x^3+ax+b)^2 } } + { \frac{ 3x(3x^2+a) }{ 2(x^3+ax+b) } } -1 \right) } y \right)
}
{ =} {\left( { \frac{ x^4-2ax^2-8bx+a^2 }{ 4(x^3+ax+b) } } , \, { \frac{ x^6 + 5ax^4 + 20bx^3-5a^2x^2 -4abx -a^3-8b^2 }{ 8(x^3+ax+b)^2 } } y \right)
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}
{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $E$ eine
\definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ mit kurzer Weierstraßgleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y^2
}
{ = }{x^3+ax+b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir betrachten den Ring
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S
}
{ =} {K[x_1,x_2,y_1,y_2]/( y_1^2-x_1^3-ax_1-b, y_2^2-x_2^3-ax_2-b )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
in dem man die Gruppenstruktur auf der elliptischen Kurve mit rationalen Funktionen formulieren kann, siehe
Satz 6.5.
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass eine
\definitionsverweis {endliche Erweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K[x_1,x_2]
}
{ \subseteq }{ S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorliegt.
}{Bestimme eine Ganzheitsgleichung für
\mathl{y_2-y_1}{} über $K[x_1,x_2]$.
}{Bestimme eine Ganzheitsgleichung für
\mathl{{ \frac{ y_2-y_1 }{ x_2-x_1 } }}{} über $K(x_1,x_2)$.
}
vor.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $E$ eine
\definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ mit kurzer Weierstraßgleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y^2
}
{ = }{x^3+ax+b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Eliminiere in der Formel für die Addition
\zusatzklammer {siehe
Satz 6.5} {} {}
die Terme
\mathkor {} {y_1^1} {und} {y_2^2} {}
unter Verwendung der Kurvengleichung.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f_2 (x)
}
{ =} { { \frac{ x^4-2ax^2-8bx+a^2 }{ 4(x^3+ax+b) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{q_2(x)
}
{ =} { { \frac{ x^6 + 5ax^4 + 20bx^3-5a^2x^2 -4abx -a^3-8b^2 }{ 8(x^3+ax+b)^2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f_2'
}
{ = }{ 2q_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Schreibe \mathkor {} {f_{m+1}} {und} {q_{m+1}} {} aus Korollar 6.8 ohne eine höhere Potenz von $q_m$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\mathkor {} {f_m} {und} {q_m} {}
wie in
Korollar 6.8
definiert. Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f_m'
}
{ = }{ mq_m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Y^2
}
{ =} {X^3+rX^2+sX+t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Gleichung einer
\definitionsverweis {elliptischen Kurve}{}{.}
Zeige, dass die Verdoppelung eines Punktes $(x,y)$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2(x,y)
}
{ =} { \left( \alpha^2 -2x -r , \, \alpha^3 -3 \alpha x- \alpha r + y \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \alpha
}
{ = }{ { \frac{ 3x^2+2rx+s }{ 2y } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Y^2
}
{ =} {X^3+rX^2+sX+t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Gleichung einer
\definitionsverweis {elliptischen Kurve}{}{}
$E$. Zeige, dass die Addition auf $E$ im Sinne von
Bemerkung 6.1
durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (x_1,y_1) + (x_2,y_2)
}
{ =} { \left( \alpha^2-r -x_1-x_2 , \, \alpha { \left( \alpha^2-r -x_1-x_2 \right) } + \beta \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \alpha
}
{ = }{ { \frac{ y_2-y_1 }{ x_2-x_1 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \beta
}
{ = }{ y_1 - \alpha x_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Y^2
}
{ =} { (X- \lambda_1)(X- \lambda_2)(X- \lambda_3)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Gleichung einer
\definitionsverweis {elliptischen Kurve}{}{}
in
\definitionsverweis {Zerlegungsform}{}{.}
Zeige, dass die Verdoppelung eines Punktes $(x,y)$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2(x,y)
}
{ =} { \left( \alpha^2 -2x + \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 , \, \alpha^3 -3 \alpha x + \alpha ( \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 ) +y \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \alpha
}
{ = }{ { \frac{ 3x^2-2 (\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 ) x+ \lambda_1 \lambda_2 + \lambda_1\lambda_3 + \lambda_2 \lambda_3 }{ 2y } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V_+(F)
}
{ \subseteq }{ {\mathbb P}^{n}_{K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {glatte}{}{}
\definitionsverweis {Hyperfläche}{}{}
vom Grad $3$. Woran scheitert bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Idee, mit Hilfe des dritten Durchstoßungspunktes zu einer durch zwei Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P,Q
}
{ \in }{V_+(F)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegebenen Geraden eine Addition auf $V_+(F)$ zu definieren? Wie sieht es bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
aus?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme auf der Fermat-Kubik in vier Variablen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} {V_+(X^3+Y^3+Z^3+W^3)
}
{ \subseteq} { {\mathbb P}^{3}_{K}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
den dritten Durchstoßungspunkt der durch die beiden Punkte
\mathkor {} {(1,-1,0,0)} {und} {(0,0,1,-1)} {}
gegebenen Gerade.
}
{} {}