Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 6
- Aufgaben
Es sei eine Menge mit einer Verknüpfung
die für alle Elemente folgende Eigenschaften erfüllt.
- .
Es sei ein beliebiges aber fest gewähltes Element aus . (a) Zeige, dass die Verknüpfung
eine kommutative Gruppenstruktur auf mit als neutralem Element definiert.
(b) Es sei nun ein zweites Element aus . Zeige, dass die durch und durch definierten Gruppen isomorph sind.
Begründe die Assoziativität der Verknüpfung in Satz 6.3 für die Fälle, wo manche der Schnittpunkte zusammenfallen.
Bei den beiden folgenden Aufgaben verwende man, dass die einzige kompakte zusammenhängende reelle eindimensionale Mannigfaltigkeit die ist und dass die einzige eindimensionale kompakte zusammenhängende reelle Lie-Gruppe die mit der üblichen Verknüpfung ist.
Es sei eine elliptische Kurve über , gegeben in kurzer Weierstraßform mit . Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
- Das Polynom besitzt in genau eine Nullstellen.
- ist in der metrischen Topologie zusammenhängend.
- Es gilt die Homöomorphie .
- Es ist als reelle Lie-Gruppe.
Es sei eine elliptische Kurve über , gegeben in kurzer Weierstraßform mit . Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
- Das Polynom besitzt in drei Nullstellen.
- besteht in der metrischen Topologie aus zwei Zusammenhangskomponenten.
- Es gilt die Homöomorphie .
- Es ist als reelle Lie-Gruppe.
Es sei eine elliptische Kurve über , gegeben in kurzer Weierstraßform und Zerlegungsform mit und . Wir setzen und zerlegen mit
und
- Zeige, dass durch eine Bijektion zwischen und gegeben ist.
- Zeige, dass die Summe von zwei Punkten in liegt.
- Zeige, dass die Summe von zwei Punkten wieder in liegt.
Die Lösung zur folgenden Aufgabe nimmt Bezug auf spätere Resultate. Man kann aber auch alles direkt berechnen.
Überprüfe die zweite Darstellung aus Korollar 6.7, also
Es sei eine elliptische Kurve über einem Körper mit kurzer Weierstraßgleichung . Wir betrachten den Ring
in dem man die Gruppenstruktur auf der elliptischen Kurve mit rationalen Funktionen formulieren kann, siehe Satz 6.5.
- Zeige, dass eine endliche Erweiterung vorliegt.
- Bestimme eine Ganzheitsgleichung für über .
- Bestimme eine Ganzheitsgleichung für über .
vor.
Es sei eine elliptische Kurve über einem Körper mit kurzer Weierstraßgleichung . Eliminiere in der Formel für die Addition (siehe Satz 6.5) die Terme und unter Verwendung der Kurvengleichung.
Es sei
und
Zeige .
Schreibe und aus Korollar 6.8 ohne eine höhere Potenz von .
Es seien und wie in Korollar 6.8 definiert. Zeige .
Es sei
die Gleichung einer elliptischen Kurve. Zeige, dass die Verdoppelung eines Punktes mit durch
mit gegeben ist.
Es sei
die Gleichung einer elliptischen Kurve . Zeige, dass die Addition auf im Sinne von Bemerkung 6.1 durch
mit und gegeben ist.
Es sei
die Gleichung einer elliptischen Kurve in Zerlegungsform. Zeige, dass die Verdoppelung eines Punktes mit durch
mit gegeben ist.
Es sei eine glatte Hyperfläche vom Grad . Woran scheitert bei die Idee, mit Hilfe des dritten Durchstoßungspunktes zu einer durch zwei Punkte gegebenen Geraden eine Addition auf zu definieren? Wie sieht es bei aus?
Bestimme auf der Fermat-Kubik in vier Variablen
den dritten Durchstoßungspunkt der durch die beiden Punkte und gegebenen Gerade.
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