Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Vorlesung 1/latex
\setcounter{section}{1}
\zwischenueberschrift{Komplex differenzierbare Funktionen}
Die Funktionentheorie beschäftigt sich mit komplex differenzierbaren Funktionen von \mathkor {} {{\mathbb C}} {nach} {{\mathbb C}} {} bzw. von einer offenen Teilmenge davon. Wir wiederholen den Differenzierbarkeitsbegriff mit seinen Rechenregeln, wobei wir den Fall \mathkor {} {\R} {und} {{\mathbb C}} {} parallel behandeln und dafür ${\mathbb K}$ schreiben. Im Laufe der Vorlesung wird sich aber ergeben, dass sich die komplexe von der reellen Situation in vielfältiger Hinsicht unterscheidet.
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ \subseteq }{ {\mathbb K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt und
\maabbdisp {f} {D} { {\mathbb K}
} {}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{.} Man sagt, dass $f$ \definitionswort {differenzierbar}{} in $a$ ist, wenn der
\definitionsverweis {Limes}{}{}
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ x \in D \setminus \{ a \} , \, x \rightarrow a } \, \frac{ f (x )-f (a) }{ x -a }} { }
existiert. Im Fall der Existenz heißt dieser Limes der \definitionswort {Differentialquotient}{} oder die \definitionswort {Ableitung}{} von $f$ in $a$, geschrieben
\mathdisp {f'(a)} { . }
}
\inputfakt{Differenzierbar/D offen K/Linear Approximierbar/Fakt}{Satz}{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ \subseteq }{ {\mathbb K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt und
\maabbdisp {f} {D} { {\mathbb K}
} {}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $f$ in $a$ genau dann
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{,}
wenn es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \in }{{\mathbb K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und eine Funktion
\maabbdisp {r} {D} { {\mathbb K}
} {}
gibt mit $r$
\definitionsverweis {stetig}{}{}
in $a$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r(a)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} { f(a) + s (x-a) + r(x) (x-a)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
Die in diesem Satz formulierte Eigenschaft, die zur Differenzierbarkeit äquivalent ist, nennt man auch die \stichwort {lineare Approximierbarkeit} {.} Die affin-lineare Abbildung
\maabbeledisp {} {D} { {\mathbb K}
} {x} { f(a) + f'(a) (x-a)
} {,}
heißt dabei die \stichwort {affin-lineare Approximation} {.} Ihr Graph heißt die \stichwort {Tangente} {} an $f$ im Punkt $a$. Die durch
\mathl{f(a)}{} gegebene konstante Funktion kann man als konstante Approximation ansehen. Das Konzept der linearen Approximierbarkeit erlaubt es, die Differenzierbarkeit auf die Stetigkeit
\zusatzklammer {einer anderen Funktion} {} {}
zurückzuführen und dadurch verschiedene Rechenregeln einfach beweisen zu können.
\inputfakt{Differenzierbar/D offen K/Stetigkeit im Punkt/Fakt}{Korollar}{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ \subseteq }{ {\mathbb K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt und
\maabbdisp {f} {D} { {\mathbb K}
} {}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{,}}
\faktvoraussetzung {die im Punkt $a$
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
sei.}
\faktfolgerung {Dann ist $f$
\definitionsverweis {stetig}{}{}
in $a$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
Die folgenden Rechenregeln für differenzierbare Funktionen kann man über die lineare Approximierbarkeit oder über Rechenregeln für Funktionslimiten beweisen, wie dies in Analysis I durchgeführt wird.
\inputfakt{Differenzierbar/D offen K/Summenregel/Fakt}{Lemma}{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D
}
{ \subseteq }{ {\mathbb K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt und
\maabbdisp {f,g} {D} { {\mathbb K}
} {}
\definitionsverweis {Funktionen}{}{,}
die in $a$
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
seien.}
\faktfolgerung {Dann ist die Summe
\mathl{f + g}{} differenzierbar in $a$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (f + g)'(a)
}
{ =} { f'(a) + g'(a)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
Die folgende Ableitungsregel heißt \stichwort {Produktregel} {.}
\inputfakt{Differenzierbar/D offen K/Produktregel/Fakt}{Lemma}{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D
}
{ \subseteq }{ {\mathbb K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt und
\maabbdisp {f,g} {D} { {\mathbb K}
} {}
\definitionsverweis {Funktionen}{}{,}
die in $a$
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
seien.}
\faktfolgerung {Dann ist das Produkt
\mathl{f \cdot g}{} differenzierbar in $a$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (f \cdot g)'(a)
}
{ =} { f'(a) g(a) + f(a) g'(a)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
\inputfakt{Polynom/K/Ableitung/Fakt}{Korollar}{}
{
\faktsituation {Eine
\definitionsverweis {Polynomfunktion}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f
}
{ =} { c_0 +c_1 z+c_2 z^2+c_3 z^3 + \cdots + c_{n-1} z^{n-1} + c_n z^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}}
\faktfolgerung {ist in jedem Punkt
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{,}
und für die Ableitung gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f'(z)
}
{ =} { c_1 +2c_2z +3c_3z^2 + \cdots + (n-1) c_{n-1} z^{n-2} + n c_n z^{n-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
Die folgende Ableitungsregel heißt \stichwort {Quotientenregel} {.}
\inputfakt{Differenzierbar/D offen K/Quotientenregel/Fakt}{Lemma}{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D
}
{ \subseteq }{ {\mathbb K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt und
\maabbdisp {f,g} {D} { {\mathbb K}
} {}
\definitionsverweis {Funktionen}{}{,}
die in $a$
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
seien.}
\faktvoraussetzung {Die Funktion $g$ habe keine Nullstelle in $D$.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mathl{f/g}{} differenzierbar in $a$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left( \frac{ f }{ g } \right)' (a)
}
{ =} { { \frac{ f'(a) g(a) - f(a) g'(a) }{ (g(a))^2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
Die folgende Ableitungsregel heißt \stichwort {Kettenregel} {.}
\inputfakt{Differenzierbar/D offen K/Kettenregel/Fakt}{Satz}{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathkor {} {D} {und} {E} {}
\definitionsverweis {offene Mengen}{}{}
in ${\mathbb K}$ und seien
\maabbdisp {f} {D} { {\mathbb K}
} {}
und
\maabbdisp {g} {E} { {\mathbb K}
} {}
Funktionen mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(D)
}
{ \subseteq }{ E
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktvoraussetzung {Es sei $f$ in $a$
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
und $g$ sei in
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b
}
{ =} { f(a)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
differenzierbar.}
\faktfolgerung {Dann ist auch die
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\maabbdisp {g \circ f} {D} { {\mathbb K}
} {}
in $a$ differenzierbar mit der
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ( g \circ f)' (a)
}
{ =} { g'(f(a)) \cdot f'(a)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
\inputfakt{Differenzierbar/D offen K/Umkehrfunktion/Fakt}{Satz}{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathkor {} {D} {und} {E} {}
\definitionsverweis {offene Mengen}{}{}
in ${\mathbb K}$ und sei
\maabbdisp {f} {D} {E
} {}
eine
\definitionsverweis {bijektive}{}{}
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{}
mit einer stetigen
Umkehrfunktion
\maabbdisp {f^{-1}} {E} {D
} {}}
\faktvoraussetzung {Es sei $f$ in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f'(a)
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist auch die
\definitionsverweis {Umkehrfunktion}{}{}
$f^{-1}$ in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ = }{ f(a)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
differenzierbar mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( f^{-1} \right) }'(b)
}
{ =} { \frac{1}{f' (f^{-1} (b))}
}
{ =} { \frac{1}{f'(a)}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ \subseteq }{ {\mathbb K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{}
und
\maabbdisp {f} {D} { {\mathbb K}
} {}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{.}
Man sagt, dass $f$ \definitionswort {differenzierbar}{} ist, wenn für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
\mathl{f'(a)}{} von $f$ in $a$ existiert. Die
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {f'} {D} { {\mathbb K}
} {x} {f'(x)
} {,}
heißt die \definitionswort {Ableitung}{}
\zusatzklammer {oder \definitionswort {Ableitungsfunktion}{}} {} {}
von $f$.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{}
und
\maabbdisp {f} {U} { {\mathbb K}
} {}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{.}
Man sagt, dass $f$ $n$-mal \definitionswort {differenzierbar}{} ist, wenn $f$
\mathl{(n-1)}{-}mal differenzierbar ist und die
\mathl{(n-1)}{-}te Ableitung
\mathl{f^{(n-1)}}{}
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
ist. Die Ableitung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f^{(n)} (z)
}
{ \defeq} { (f^{(n-1)})' (z)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nennt man dann die $n$-te \definitionswort {Ableitung}{} von $f$.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D
}
{ \subseteq }{ {\mathbb K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{}
und
\maabbdisp {f} {D} { {\mathbb K}
} {}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{.}
Man sagt, dass $f$ \definitionswort {n-mal stetig differenzierbar}{} ist, wenn $f$
\definitionsverweis {n-mal differenzierbar}{}{}
ist und die
\definitionsverweis {n-te Ableitung}{}{}
$f^{(n)}$
\definitionsverweis {stetig}{}{}
ist.
}
\inputdefinition
{}
{
Eine auf einer
\definitionsverweis {offenen Menge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
definierte
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\maabbdisp {f} {U} { {\mathbb C}
} {}
heißt
\definitionswort {holomorph}{,}
wenn sie
\definitionsverweis {komplex differenzierbar}{}{}
ist.
} Diesen Begriff werden wir erst dann verwenden, wenn wir gezeigt haben \zusatzklammer {siehe Satz 14.2} {} {,} dass eine komplex differenzierbare Funktion viele weitere Eigenschaften erfüllt.
\inputdefinition
{}
{
Eine Funktion \maabbdisp {f} { {\mathbb C} } { {\mathbb C} } {,} die in jedem Punkt \definitionsverweis {komplex differenzierbar}{}{} ist, heißt \definitionswort {ganze Funktion}{.}
}
Jedes komplexe Polynom definiert eine ganze Funktion. Auch die Exponentialfunktion und die trigonometrischen Funktionen sind ganz.
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ \subseteq }{{\mathbb K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{}
und sei
\maabbdisp {f} {D} { {\mathbb K}
} {}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{.}
Eine Funktion
\maabbdisp {F} {D} { {\mathbb K}
} {}
heißt \definitionswort {Stammfunktion}{} zu $f$, wenn $F$ auf $D$
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
ist und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F'(x)
}
{ = }{ f(x)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
Es sei erwähnt, dass eine stetige komplexe Funktion \maabb {f} {D} { {\mathbb C} } {} im Allgemeinen keine Stammfunktion besitzt. Dies ist ein großer Unterschied zur reellen Analysis, vergleiche Korollar 24.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).
\zwischenueberschrift{Rationale Funktionen}
\inputdefinition
{}
{
Zu
\definitionsverweis {Polynomen}{}{}
\mathbed {P,Q \in {\mathbb K} [X]} {}
{Q \neq 0} {}
{} {} {} {,}
heißt die
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\maabbeledisp {} {D} { {\mathbb K}
} {z} { \frac{P(z)}{Q(z)}
} {,}
wobei $D$ das
\definitionsverweis {Komplement}{}{}
der
\definitionsverweis {Nullstellen}{}{}
von $Q$ ist, eine \definitionswort {rationale Funktion}{.}
}
Polynomfunktionen sind insbesondere rationale Funktionen. Die einfachste rationale Funktion, die keine Polynomfunktion ist, ist die \stichwort {komplexe Invertierung} {}
\maabbeledisp {} { {\mathbb C} \setminus \{0\} } { {\mathbb C} \setminus \{0\}
} {z} {z^{-1}
} {.}
Sie ist im Nullpunkt nicht definiert und lässt sich im Nullpunkt auch nicht stetig fortsetzen. Dies beruht darauf, dass sich auch die zugehörige Betragsfunktion, also
\maabbeledisp {} { {\mathbb C} } { \R
} {z} { { \frac{ 1 }{ \betrag { z } } }
} {,}
nicht stetig fortsetzen lässt. Reell betrachtet handelt es sich um die Abbildung
\maabbeledisp {} {\R^2} { \R
} {( x,y) } { { \frac{ 1 }{ \sqrt{x^2+y^2 } }}
} {,}
und für jede Folge, die in der Ebene gegen $(0,0)$ konvergiert, divergiert die Bildfolge bestimmt gegen $+ \infty$. Für jede endliche Punktmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_1 , \ldots , a_n
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die rationale Funktion
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ (z-a_1) (z-a_2) \cdots (z-a_n) } }} { }
eine auf
\mathl{{\mathbb C} \setminus \{ a_1 , \ldots , a_n \}}{} definierte rationale Funktion, die sich in die Punkte $a_i$ nicht stetig fortsetzen kann.
\inputfaktbeweis
{Rationale Funktion/K/Differenzierbar/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P,Q
}
{ \in }{ {\mathbb K} [X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {Polynome}{}{}
und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \defeq }{ { \left\{ z \in {\mathbb K} \mid Q(z) \neq 0 \right\} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die
\definitionsverweis {rationale Funktion}{}{}
\maabbeledisp {} {U} { {\mathbb K}
} {z} { { \frac{ P(z) }{ Q(z) } }
} {,}
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
mit der Ableitung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( { \frac{ P(z) }{ Q(z) } } \right) }'
}
{ =} { { \frac{ P'(z) Q(z) - P(z) Q'(z) }{ Q(z)^2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt aus Korollar 1.6 und der Quotientenregel.
\inputfaktbeweis
{Rationale Funktion/K/Linearform/Potenz/Differenzierbar/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ {\mathbb K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die
\zusatzklammer {auf ${\mathbb K} \setminus \{a\}$ definierte} {} {}
rationale Funktion
\mathl{( z-a)^n}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \Z_-
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}}
\faktfolgerung {\definitionsverweis {differenzierbar}{}{,}
mit der Ableitung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( (z -a)^n \right) }'
}
{ =} { n (z -a)^{n-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt direkt aus Lemma 1.17.
Damit gilt diese Formel für alle Potenzen einer normierten Linearform mit einem ganzzahligen Exponenten. Im reellen Fall gilt sie auch für beliebige reelle positive Argumente und beliebige reelle Exponenten, siehe
Korollar 20.13 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).
Im komplexen Fall ist ein Ausdruck wie
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sqrt{z}
}
{ =} { z^{1/2}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gar nicht definiert, und lässt sich auch nicht komplex-differenzierbar auf ganz ${\mathbb C}$ definieren.
Eine rationale Funktion wie
\mathl{{ \frac{ 1 }{ (z-a_1) (z-a_2) \cdots (z-a_n) } }}{} ist keine
\definitionsverweis {ganze Funktion}{}{.}
Aus dem Fundamentalsatz der Algebra ergibt sich, dass eine rationale Funktion nur dann ganz ist, wenn sie ein Polynom ist.
Der folgende Satz heißt Satz über die komplexe Partialbruchzerlegung.
\inputfaktbeweis
{Komplexe Partialbruchzerlegung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathbed {P,Q \in {\mathbb C}[X]} {}
{Q \neq 0} {}
{} {} {} {,}
\definitionsverweis {Polynome}{}{}
und es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Q
}
{ =} { (X-a_1)^{r_1} \cdots (X-a_s)^{r_s}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit verschiedenen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_i
}
{ \in }{{\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ \in }{ {\mathbb C}[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und eindeutig bestimmte Koeffizienten
\mathbed {c_{ij} \in {\mathbb C}} {}
{1 \leq i \leq s} {}
{1 \leq j \leq r_i} {} {} {,}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \frac{P}{Q}
}
{ =} { H + \frac{c_{11} }{X-a_1} + \frac{c_{12} }{(X-a_1)^2} + \cdots + \frac{c_{1 r_1} }{(X-a_1)^{r_1} } + \cdots + \frac{c_{s1} }{X-a_s} + \frac{c_{s2} }{(X-a_s)^2} + \cdots + \frac{c_{s r_s} }{(X-a_s)^{r_s} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die
Division mit Rest
liefert eine eindeutige Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \frac{P}{Q}
}
{ =} { H + \frac{\tilde{P} }{Q}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{grad} \, (\tilde{P})
}
{ < }{ \operatorname{grad} \, (Q)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir müssen daher die Aussage nur für Quotienten aus Polynomen zeigen, bei denen der Grad des Zählerpolynoms kleiner als der Grad des Nennerpolynoms ist.
Wir führen Induktion über den Grad
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ = }{ \sum_{i = 1}^s r_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
des Nennerpolynoms. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ = }{ 0,1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist nichts zu zeigen, denn der Quotient steht bereits in der gewünschten Form. Es sei nun $Q$ ein Nennerpolynom vom Grad $r$ und die Aussage sei für kleineren Grad bereits bewiesen. Es sei
\mathl{X-a_1}{} ein Linearfaktor von $Q$, sodass wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Q
}
{ =} { \tilde{Q} (X-a_1)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
schreiben können, wobei $\tilde{Q}$ den Grad
\mathl{r-1}{} besitzt. Die Ordnung von
\mathl{X-a_1}{} in $Q$ sei $r_1$. Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \frac{P}{Q}
}
{ =} { \frac{c_{1r_1} }{(X-a_1)^{r_1} } + \frac{ \tilde{P} }{ \tilde{Q} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
an. Dies führt auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} { c_{1r_1} (X-a_2)^{r_2} \cdots (X-a_s)^{r_s} + \tilde{P} (X-a_1)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
aus der wir
\mathkor {} {c_{1r_1}} {und} {\tilde{P}} {}
bestimmen wollen. Da die Gleichheit insbesondere für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X
}
{ = }{ a_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gelten soll, muss
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ c_{1r_1}
}
{ =} { \frac{P(a_1)}{ (a_1-a_2)^{r_2} \cdots (a_1-a_s)^{r_s} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
sein, wobei diese Division erlaubt ist, da die $a_i$ als verschieden vorausgesetzt worden sind. Wir betrachten nun
\mathdisp {P-c_{1r_1} (X-a_2)^{r_2} \cdots (X-a_s)^{r_s}} { }
mit dem soeben bestimmten Wert
\mathl{c_{1r_1}}{.} Für diese Differenz ist dann $a_1$ nach Konstruktion eine Nullstelle, sodass man nach
Lemma 11.6 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
durch
\mathl{X-a_1}{} teilen kann, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P-c_{1r_1}(X-a_2)^{r_2} \cdots (X-a_s)^{r_s}
}
{ =} { (X-a_1) \tilde{P}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erhält. Dadurch ist $\tilde{P}$ eindeutig festgelegt. Der Grad von $\tilde{P}$ ist kleiner als der Grad von $P$ und daher ist der Grad von $\tilde{P}$ auch kleiner als der Grad von $\tilde{Q}$. Daher können wir auf
\mathl{\frac{\tilde{P} }{\tilde{Q} }}{} die Induktionsvoraussetzung anwenden.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\mathl{K[X]}{} der
\definitionsverweis {Polynomring in einer Variablen}{}{}
über $K$. Dann nennt man den
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
\mathl{Q(K[X])}{} den \definitionswort {rationalen Funktionenkörper}{} über $K$
\zusatzklammer {oder \definitionswort {Körper der rationalen Funktionen}{} über $K$} {} {.}
Er wird mit
\mathl{K(X)}{} bezeichnet.
}
Die Elemente im Körper der rationalen Funktionen sind also Brüche der Form
\mathl{{ \frac{ P }{ Q } }}{}
mit Polynomen $P$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ P }{ Q } }
}
{ = }{ { \frac{ \tilde{P} }{ \tilde{Q} } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
identifiziert werden, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P \tilde{Q}
}
{ = }{ Q \tilde{P}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
im Polynomring gilt. Diese Gleichung gilt bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ = }{ \R, {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn die Gleichheit als rationale Funktionen außerhalb der Nullstellen von
\mathkor {} {Q} {und} {\tilde{Q}} {}
gilt.
\inputfaktbeweis
{Rationale Funktion/K/Körper/Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathl{{\mathbb K} (X)}{} die Menge der
\definitionsverweis {rationalen Funktionen}{}{}
über ${\mathbb K}$.}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Eigenschaften.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{${\mathbb K} (X)$ ist mit der punktweisen Addition und Multiplikation ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
}{Mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f,g
}
{ \in }{ {\mathbb K} (X)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gehört auch die Hintereinanderschaltung $f \circ g$ zu ${\mathbb K} (X)$.
}{Mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ {\mathbb K} (X)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gehört auch die
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
$f'$ zu ${\mathbb K} (X)$.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\aufzaehlungdrei{Klar. }{Siehe Aufgabe 1.14. }{Siehe Aufgabe 1.15. }