Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Vorlesung 11/latex
\setcounter{section}{11}
\zwischenueberschrift{Differentialformen}
Es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
endlichdimensionale
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
offen und
\maabb {\varphi} {G} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{.}
Der Differentiationsprozess ordnet jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\left(D\varphi\right)_{P}} { V } {W
} {v} { { \left( D\varphi \right) }_{P} { \left( v \right) }
} {,}
zu. Insgesamt liegt also eine Abbildung
\maabbdisp {D \varphi} {G} { \operatorname{Hom}_{ {\mathbb K} } { \left( V, W \right) }
} {}
vor, das ein neuartiges Objekt darstellt. Dies ist ein grundlegender Unterschied zur eindimensionalen Situation, wo die Ableitung einer Funktion wieder eine Funktion ist.
Dieses neuartige Objekt erfassen wir mit einer neuen Definition.
\inputdefinition
{}
{
Es seien
\mathl{V,W}{}
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{.}
Eine
\definitionswortpraemath {1}{ Form }{}
\zusatzklammer {oder Differentialform ersten Grades} {} {}
auf $G$ mit Werten in $W$ ist eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\omega} { G} { \operatorname{Hom}_{ {\mathbb K} } { \left( V, W \right) }
} {.}
}
Man spricht auch von einer \stichwort {Pfaffschen Form} {.} Ein totales Differential, aufgefasst als eine Abbildung, die den Punkten der Definitionsmenge das zugehörige totale Differential zwischen den umgebenden Vektorräumen zuordnet, ist also eine solche $1$-Form. Der Homomorphismenraum
\mathl{\operatorname{Hom}_{ {\mathbb K} } { \left( V, W \right) }}{} ist dabei selbst ein Vektorraum über ${\mathbb K}$, seine Dimension ist das Produkt der beiden Vektorraumdimensionen. Deshalb lassen sich auf eine $1$-Form Konzepte wie Stetigkeit, Differenzierbarkeit u.s.w anwenden. Besonders wichtig sind die ${\mathbb K}$-wertigen Differentialformen. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
schreibt man auch
\mathl{\omega(P,v)}{} für
\mathl{(\omega(P))(v)}{.}
{1-Form/K/Vektorräume/Einfache Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es seien $V,W$
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{,}
sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
und sei
\mathl{{ \mathcal E }^{ } ( G , W )}{} die Menge der
$1$-\definitionsverweis {Formen}{}{}
auf $G$ mit Werten in $W$.}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Eigenschaften.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungvier{
\mathl{{ \mathcal E }^{ } ( G , W )}{} ist mit den natürlichen Operationen versehen ein ${\mathbb K}$-Vektorraum.
}{Zu einer Differentialform
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\omega
}
{ \in }{
{ \mathcal E }^{ } ( G , W )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und einer Funktion
\maabbdisp {f} {G} { {\mathbb K}
} {}
ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f \omega
}
{ \in }{
{ \mathcal E }^{ } ( G , W )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei $f \omega$ durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (f \omega)(P)
}
{ \defeq} { f(P) \omega (P)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert ist.
}{Jede
$C^1$-\definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {f} {G} { W
} {}
definiert über das
\definitionsverweis {totale Differential}{}{}
eine
$1$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\maabbeledisp {df = Df} {G} { \operatorname{Hom}_{ {\mathbb K} } { \left( V, W \right) }
} {P} { \left(Df\right)_{P}
} {.}
Dies ergibt eine Abbildung
\maabbeledisp {d} {C^1(G,W)} {
{ \mathcal E }^{ } ( G , W )
} {f} {df
} {.}
}{Die Abbildung $d$ aus (3) ist
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {linear}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 11.2. }
Es sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} eine fixierte Basis auf $V$ mit den zugehörigen Koordinatenfunktionen
\mathl{x_1 , \ldots , x_n}{.} Die $i$-te Koordinatenfunktion
\maabbdisp {x_i} {V} { {\mathbb K}
} {}
ordnet jedem Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
den Skalar
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s_i
}
{ \in }{ {\mathbb K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zu, der durch die eindeutige Darstellung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ = }{ \sum_{j = 1}^n s_jv_j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben ist. Diese Koordinatenfunktionen sind lineare Abbildungen. Ihr totales Differential stimmt nach
Proposition 45.3 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
für jeden Punkt mit der Abbildung $x_i$ selbst überein. Als
\zusatzklammer {${\mathbb K}$-wertige} {} {} Differentialform ist also
\mathl{d x_i}{} die Abbildung
\maabbdisp {dx_i} {G} { \operatorname{Hom}_{ {\mathbb K} } { \left( V, {\mathbb K} \right) }
} {,}
die jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die $i$-te Koordinatenfunktion zuordnet. Mit Hilfe dieser Standarddifferentialformen kann man jede weitere Differentialform einfach ausdrücken.
\inputfaktbeweis
{1-Form/K/Vektorräume/Koordinatendarstellung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es seien $V,W$
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{,}
sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{.}
Es seien
\mathl{x_1 , \ldots , x_n}{} die Koordinaten zu einer fixierten Basis auf $V$ mit den zugehörigen Differentialformen
\mathl{d x_i}{.}}
\faktfolgerung {Dann lässt sich jede $W$-wertige $1$-Form $\omega$ auf $G$ eindeutig in der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ =} { \sum_{ i = 1}^n \psi_i dx_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit $W$-wertigen Funktionen
\maabbdisp {\psi_i} { G} {W
} {}
schreiben. Zu einer total-differenzierbaren Funktion
\maabb {\varphi} {G} {W
} {}
ist die zugehörige $1$-Form in dieser Darstellung gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d \varphi
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n { \frac{ \partial \varphi }{ \partial x_i } } dx_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies beruht darauf, dass jede lineare Abbildung
\maabbdisp {\theta} {V} {W
} {}
nach
dem Festlegungssatz
eine eindeutige Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \theta
}
{ =} { \sum_{ i = 1}^n w_i dx_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w_i
}
{ \in }{ W
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besitzt. Die zweite Aussage ergibt sich, indem man beide Seiten auf einen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und auf einen Vektor $v_i$ der den Koordinaten zugrunde liegenden Basis $v_1 , \ldots , v_n$ anwendet.
Im funktionentheoretischen Kontext ist vor allem die Situation wichtig, in der
\maabb {g} {G} { {\mathbb C}
} {}
eine
\zusatzklammer {komplex} {} {}
\definitionsverweis {differenzierbare}{}{}
Funktion auf einer offenen Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Das zugehörige totale Differential ist, als Differentialform aufgefasst, die Form
\mathl{g' dz}{.} Diese ordnet einem jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die komplex-lineare Abbildung
\maabbeledisp {\left(Dg\right)_{P}} { {\mathbb C} } { {\mathbb C}
} {w} { g'(P) w
} {,}
zu, also die Multiplikation mit der Ableitung $g'(P)$.
\inputdefinition
{}
{
Zu einer
\definitionsverweis {offenen Menge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und einer
\definitionsverweis {holomorphen Funktion}{}{}
\maabb {f} {U} { {\mathbb C}
} {}
nennt man die
\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
$fdz$ eine
\definitionswort {holomorphe Differentialform}{}
auf $U$.
}
Dabei ist $dz$ einfach die Differentialform, die jeden Punkt auf die Identität abbildet.
\inputbeispiel{}
{
Auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ = }{ {\mathbb C} \setminus \{0\}
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mathl{{ \frac{ 1 }{ z } } dz}{} eine
\definitionsverweis {holomorphe Differentialform}{}{.}
Es handelt sich um ein Standardbeispiel, an dem sich schon viele Phänomene illustrieren lassen, siehe
Beispiel 12.6
und
Beispiel 12.13.
}
\inputbeispiel{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
und
\maabbdisp {f} {G} { {\mathbb C}
} {}
eine reell-partiell differenzierbare Abbildung, die wir in der Form
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ = }{ g+h { \mathrm i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit reellwertigen Funktionen
\maabbdisp {g,h} {G} {\R
} {}
schreiben. Die Abbildung
\maabbeledisp {} {G} { \operatorname{Hom}_{ \R } { \left( \R^2, \R^2 \right) }
} {P} { \left(Df\right)_{P}
} {,}
ist dann eine $1$-Form mit Werten in ${\mathbb C}$. Wenn man mit $dx$ die reellwertige Differentialform bezeichnet, die jeden Punkt auf die lineare Projektion
\maabbele {} { {\mathbb C} } { \R
} { x+y { \mathrm i} } { x
} {,}
abbildet, und mit $dy$ die reellwertige Differentialform bezeichnet, die jeden Punkt auf die lineare Projektion
\maabbele {} { {\mathbb C} } { \R
} { x+y { \mathrm i} } { y
} {,}
abbildet, und diese Formen wiederum in ${\mathbb C}$ auffasst, so kann man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left(Df\right)_{P}
}
{ =} { { \left( { \frac{ \partial g }{ \partial x } } (P) +{ \mathrm i} { \frac{ \partial h }{ \partial x } } (P) \right) } dx + { \left( { \frac{ \partial g }{ \partial y } } (P) + { \mathrm i} { \frac{ \partial h }{ \partial y } } (P) \right) } dy
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
schreiben. Dies bestätigt man, indem man beide Seiten auf die Standardvektoren
\mathkor {} {\begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix}} {und} {\begin{pmatrix} 0 \\1 \end{pmatrix}} {}
anwendet.
}
\inputbemerkung
{}
{
Wenn eine $1$-Form $\omega$ gegeben ist, so kann man sich fragen, ob man sie als totales Differential zu einer differenzierbaren Abbildung realisieren kann. Im eindimensionalen Fall ist dies die Frage nach einer Stammfunktion, im allgemeinen Fall ist aber diese Frage deutlich schwieriger, und eine Reihe von neuartigen Problemen tritt auf.
\aufzaehlungfuenf{Es gibt vergleichsweise einfach zu formulierende notwendige Bedingungen
\zusatzklammer {symmetrische Form, geschlossene Form} {} {,}
dass eine $1$-Form ein totales Differential ist, also eine Stammform besitzt. Diese sind aber im Allgemeinen nicht hinreichend.
}{Mit der Hilfe von
\definitionsverweis {stetigen Wegen}{}{}
kann man das Problem mit der Hilfe von reell-eindimensionalen Integralen angehen. Allerdings ist die Wahl des stetigen Weges von einem Punkt zu einem anderen wichtig, im Allgemeinen wird das Integrationsresultat vom gewählten Weg abhängen. Wenn aber zwischen den Wegen gewisse topologische Beziehungen bestehen
\zusatzklammer {Homotopien} {} {,}
so ist das Ergebnis wiederum unabhängig vom Weg.
}{Eine Stammform kann lokal existieren, ohne dass sie global auf ganz $G$ existiert. Das bedeutet, dass es für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Umgebung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{U
}
{ \subseteq }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {typischerweie eine Ballumgebung} {} {}
geben kann, auf der $\omega {{|}}_U$ eine Stammform besitzt, dass man aber diese Stammformen auf den Überlappungen eventuell nicht sinnvoll zusammenkleben kann. Die Differenz zwischen lokalen und globalen Lösungen ist ein typisches Phänomen der höherdimensionalen Analysis.
}{Die Beziehung zwischen lokalen und globalen Lösungen hängt von topologischen Eigenschaften von $G$ ab. Ein instruktives Beispielpaar ist bereits
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ = }{\R^2
}
{ = }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
einerseits und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ = }{ \R^2 \setminus \{0\}
}
{ = }{ {\mathbb C} \setminus \{0\}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
andererseits.
}{Das Problem, eine Stammfunktion zu finden, tritt schon bei stetigen Funktionen
\maabb {} {G} { {\mathbb C}
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
offen auf. Die Hauptsätze der Integrationstheorie wie
Satz 23.14 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
oder
Korollar 24.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
sind mit gutem Grund nur reell formuliert. Obwohl der Differentiationsprozess im Reellen und im Komplexen gleichermaßen durch die Konvergenz des Differentialquotienten gegeben ist, unterscheidet sich die Integrationstheorie in den beiden Fällen deutlich. Ein typisches Beispiel ist die
\definitionsverweis {komplexe Invertierungsfunktion}{}{}
\maabbeledisp {} { {\mathbb C} \setminus \{0\} } { {\mathbb C}
} {z} {z^{-1}
} {.}
Gibt es eine komplexe Stammfunktion? Im reellen Fall ist der natürliche Logarithmus eine Stammfunktion, lässt sich diese auf die komplexen Zahlen ausdehnen? Man beachte, dass die Exponentialfunktion im Komplexen nicht injektiv ist, es gibt also keine Umkehrfunktion. Die oben erwähnten Phänomene begegnen schon in dieser sehr speziellen Situation.
}
}
\zwischenueberschrift{Stammformen und Geschlossenheit}
\inputdefinition
{}
{
Es seien $V,W$
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{,}
sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
und sei $\omega$ eine
$1$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
auf $U$ mit Werten in $W$. Die Differentialform $\omega$ heißt \definitionswort {exakt}{,} wenn es eine
\definitionsverweis {total differenzierbare}{}{}
Abbildung
\maabb {\varphi} {U} {W
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ = }{ d \varphi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
Die Abbildung $\varphi$ nennt man auch eine \definitionsverweis {Stammform}{}{} zu $\omega$.
\inputfaktbeweis
{Offene Kreisscheibe/C/Potenzreihe/Exakt/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ = }{ \sum_{n = 0}^\infty c_n z^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine in
\mathl{U { \left( 0,r \right) }}{}
\definitionsverweis {konvergente}{}{}
\definitionsverweis {Potenzreihe}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die
\definitionsverweis {holomorphe Differentialform}{}{}
\mathl{fdz}{} auf
\mathl{U { \left( 0,r \right) }}{}
\definitionsverweis {exakt}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies ist eine Umformulierung von Satz 8.17.
Aufgrund von
Satz 14.2
ist die vorstehende Aussage für jede auf einer offenen Kreisscheibe definierte komplex-differenzierbare Funktion anwendbar.
\inputdefinition
{}
{
Es seien $V,W$
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{,}
sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
und sei $\omega$ eine $W$-wertige
\definitionsverweis {differenzierbare}{}{}
$1$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
auf $U$, die bezüglich einer Basis von $V$ mit Koordinatenfunktionen
\mathl{x_1 , \ldots , x_n}{} die Beschreibung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ =} { \sum_{ i = 1}^n \psi_i dx_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit $W$-wertigen differenzierbaren Funktionen
\maabbdisp {\psi_i} { U} {W
} {}
besitze. Dann versteht man unter der
\definitionswort {äußeren Ableitung}{}
von $\omega$ die $2$-Form
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ d \omega
}
{ =} { \sum_{ j = 1}^n d \psi_j \wedge dx_j
}
{ =} { \sum_{ j = 1}^n { \left( \sum_{i = 1}^n { \frac{ \partial \psi_j }{ \partial x_i } } dx_i \right) } \wedge dx_j
}
{ =} { \sum_{1 \leq i < j \leq n} { \left( { \frac{ \partial \psi_j }{ \partial x_i } } - { \frac{ \partial \psi_i }{ \partial x_j } } \right) } d x_i \wedge dx_j
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
}
Die äußere Ableitung macht also aus einer $1$-Form eine $2$-Form. Auch das totale Differential, aufgefasst als $1$-Form, bezeichnet man als eine äußere Ableitung, sie macht aus einer $0$-Form \zusatzklammer {einer Abbildung} {} {} eine $1$-Form.
\inputdefinition
{}
{
Es seien $V,W$ endlichdimensionale
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{,}
sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
und sei $\omega$ eine $W$-wertige
\definitionsverweis {differenzierbare}{}{}
$1$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
auf $U$. Die Differentialform $\omega$ heißt \definitionswort {geschlossen}{,} wenn ihre
\definitionsverweis {äußere Ableitung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d \omega
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
\inputfaktbeweis
{Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Exakt ist geschlossen/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es seien $V,W$ endlichdimensionale
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{,}
sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
und sei $\omega$ eine $W$-wertige
\definitionsverweis {exakte}{}{}
\definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{}
$1$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
auf $U$.}
\faktfolgerung {Dann ist $\omega$
\definitionsverweis {geschlossen}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\maabb {\varphi} {U} {W
} {}
\definitionsverweis {total differenzierbar}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ = }{ d \varphi
}
{ = }{ \sum_{i = 1}^n { \frac{ \partial \varphi }{ \partial x_i } } dx_i
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
was es aufgrund der Exaktheit gibt. Wegen der stetigen Differenzierbarkeit von $\omega$ ist $\varphi$ zweifach stetig differenzierbar. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d \omega
}
{ =} { \sum_{1 \leq i < j \leq n} { \left( { \frac{ \partial }{ \partial x_i } } { \frac{ \partial \varphi }{ \partial x_j } } - { \frac{ \partial }{ \partial x_j } } { \frac{ \partial \varphi }{ \partial x_i } } \right) } d x_i \wedge dx_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Aufgrund
des Satzes von Schwarz
sind die Komponentenfunktionen gleich $0$.
\inputfaktbeweis
{Komplexe Zahlen/C-wertige 1-Form/Holomorph und geschlossen/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{,}
sei
\maabb {f = g+h { \mathrm i}} {U} { {\mathbb C}
} {}
eine Abbildung mit reell
\definitionsverweis {total differenzierbare}{}{}
reellwertigen Koeffizientenfunktionen
\maabb {g,h} {U} { \R
} {.}
Wir betrachten die ${\mathbb C}$-wertige
\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
auf $U$ mit der Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ =} { fdz
}
{ =} { { \left( g+h { \mathrm i} \right) } d { \left( x+y{ \mathrm i} \right) }
}
{ =} { { \left( g+h { \mathrm i} \right) } dx + { \left( g { \mathrm i} -h \right) } dy
}
{ } {}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $f$ genau dann
\definitionsverweis {komplex differenzierbar}{}{,}
wenn $\omega$ eine
\definitionsverweis {geschlossene Differentialform}{}{}
ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die
\definitionsverweis {äußere Ableitung}{}{}
von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ =} { { \left( g+h { \mathrm i} \right) } dx + { \left( g { \mathrm i} -h \right) } dy
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ d \omega
}
{ =} { d { \left( g+h { \mathrm i} dx \right) } + d { \left( g { \mathrm i} -h dy \right) }
}
{ =} { d { \left( g+h { \mathrm i} \right) } \wedge dx + d { \left( g { \mathrm i} -h \right) } \wedge dy
}
{ =} { { \left( { \frac{ \partial g }{ \partial y } } dy + { \mathrm i} { \frac{ \partial h }{ \partial y } } dy \right) } \wedge dx + { \left( { \mathrm i} { \frac{ \partial g }{ \partial x } } dx - { \frac{ \partial h }{ \partial x } } dx \right) } \wedge dy
}
{ =} { { \left( - { \frac{ \partial g }{ \partial y } } - { \frac{ \partial h }{ \partial x } } + { \left( - { \frac{ \partial h }{ \partial y } } + { \frac{ \partial g }{ \partial x } } \right) } { \mathrm i} \right) } dx \wedge dy
}
}
{}
{}{.}
Die Geschlossenheit bedeutet, dass dieser Ausdruck gleich $0$ ist, und dies bedeutet, dass beide Komponentenfunktionen $0$ sind. Dies bedeutet gerade, dass die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllt sind, was nach
Satz 3.5
zur komplexen Differenzierbarkeit äquivalent ist.
\zwischenueberschrift{Rückzug von Differentialformen}
\inputdefinition
{}
{
Es seien $V, W$ endlichdimensionale
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{,}
sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
und sei $\omega$ eine $W$-wertige
$1$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
auf $U$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U'
}
{ \subseteq }{ V'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine offene Menge in einem weiteren endlichdimensionalen ${\mathbb K}$-Vektorraum $V'$ und
\maabbdisp {\varphi} {U'} {U
} {}
eine
\definitionsverweis {total differenzierbare Abbildung}{}{.}
Dann nennt man die Differentialform $\varphi^* \omega$ auf $U'$ mit Werten in $W$, die einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ U'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die lineare Abbildung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega( \varphi(P)) \circ \left(D\varphi\right)_{P}
}
{ \in }{ \operatorname{Hom}_{ {\mathbb K} } { \left( V', W \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zuordnet, die
\definitionswort {zurückgezogene Differentialform}{.}
}
\inputfaktbeweis
{Offene Mengen/K-Vektorraum/Differenzierbare Abbildung/Zurückziehen von 1-Formen/In Koordinaten/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es seien $V',V,W$ endlichdimensionale
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{,}
auf $V'$ sei eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
mit den
\definitionsverweis {Koordinatenfunktionen}{}{}
\mathl{x_1 , \ldots , x_n}{} und auf $V$ sei eine Basis mit den Koordinatenfunktionen
\mathl{y_1 , \ldots , y_m}{} fixiert. Es seien
\mathkor {} {U \subseteq V} {und} {U' \subseteq V'} {}
\definitionsverweis {offene Teilmengen}{}{,}
es sei
\maabbdisp {\varphi} {U'} {U
} {}
eine
\definitionsverweis {total differenzierbare Abbildung}{}{}
und es sei $\omega$ eine $W$-wertige
$1$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
auf $U$ mit der Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ =} {\sum_{i = 1}^m f_i dy_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit Funktionen
\maabb {f_i} {U} { W
} {.}}
\faktfolgerung {Dann besitzt die
\definitionsverweis {zurückgezogene Form}{}{}
die Darstellung
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \varphi^* \omega
}
{ =} { \sum_{j = 1}^n { \left( \sum_{i = 1}^m { \left( f_i \circ \varphi \right) } \cdot { \frac{ \partial \varphi_i }{ \partial x_j } } \right) } dx_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}
{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Aufgrund der Additivität beider Seiten können wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ = }{ f_idy_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für ein $i$ annehmen. Es ist die Gleichheit von zwei linearen Abbildungen zu zeigen, sodass wir die Wirkungsweise auf der Basis $u_1 , \ldots , u_n$ von $V'$, die den Koordinaten $x_j$ zugrunde liegt, betrachten. Für einen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ U'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und ein $k$ ist aber
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ ( \varphi^* \omega) (P, u_k)
}
{ =} { { \left( \omega(\varphi(P)) \circ \left(D\varphi\right)_{P} \right) } (u_k)
}
{ =} { { \left( f_i dy_i \right) } (\varphi(P)) { \left( \left(D\varphi\right)_{P} \right) } (u_k)
}
{ =} { { \left( f_i (\varphi(P)) dy_i \right) } \begin{pmatrix} { \frac{ \partial \varphi_1 }{ \partial x_k } } (P) \\\vdots\\ { \frac{ \partial \varphi_m }{ \partial x_k } } (P) \end{pmatrix}
}
{ =} { { \left( f_i \circ \varphi \right) } (P) \cdot { \frac{ \partial \varphi_i }{ \partial x_k } } (P)
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \left( \sum_{j = 1}^n { \left( f_i \circ \varphi \right) }(P) \cdot { \frac{ \partial \varphi_i }{ \partial x_j } } (P) dx_j \right) } (u_k)
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Für eine holomorphe Differentialform
\mathl{hdz}{,} die auf einer offenen Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einer komplex-differenzierbaren Funktion
\maabb {h} {U} { {\mathbb C}
} {}
gegeben ist, und eine weitere komplex-differenzierbare Funktion
\maabbele {\varphi} {U'} { U
} {w} { \varphi(w)
} {,}
ist der Rückzug gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi^* { \left( hdz \right) }
}
{ =} { (h \circ \varphi) \cdot \varphi' dw
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Insbesondere ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi^* { \left( dz \right) }
}
{ =} { \varphi' dw
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es ist dieses Transformationsverhalten, das den Hauptunterschied zwischen einer holomorphen Funktion
\maabb {f} {U} { {\mathbb C}
} {}
und der Differentialform $fdz$ ausmacht.
{Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Rückzug/Hintereinanderschaltung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es seien $V, W$ endlichdimensionale
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{,}
sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
und sei $\omega$ eine
$1$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
auf $U$ mit Werten in $W$. Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U'
}
{ \subseteq }{ V'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U^{\prime \prime}
}
{ \subseteq }{ V^{\prime \prime}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
weitere offene Mengen in endlichdimensionalen ${\mathbb K}$-Vektorräumen
\mathkor {} {V'} {bzw.} {V^{\prime \prime}} {.}
Es seien
\maabbdisp {\psi} {U^{\prime \prime}} { U'
} {}
und
\maabbdisp {\varphi} {U'} {U
} {}
\definitionsverweis {total differenzierbare Abbildungen}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ( \varphi \circ \psi)^* \omega
}
{ =} { \psi^* { \left( \varphi^*(\omega) \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 11.28. }