Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Vorlesung 13/latex
\setcounter{section}{13}
\zwischenueberschrift{Das Lemma von Goursat}
Das Besondere der folgenden Aussagen, beginnend mit dem Lemma von Goursat, ist, im Vergleich zu
Satz 12.16,
dass die Differentialform
\mathl{fdz}{} bzw. die Funktion $f$ nur als komplex-differenzierbar, aber nicht als stetig komplex differenzierbar vorausgesetzt wird. Letztlich wird sich in
Satz 14.2
ergeben, dass die Stetigkeit der Ableitung in diesem Fall automatisch gilt.
\inputfaktbeweis
{Lemma von Goursat/Quadratversion/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Menge}{}{,}
\maabb {f} {U} { {\mathbb C}
} {}
eine
\definitionsverweis {komplex differenzierbare}{}{}
Funktion und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ \subseteq }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein achsenparalleles abgeschlossenes Quadrat, und sei
\maabbdisp {\gamma} {I} {R
} {}
der stetige stückweise lineare Weg, der den Rand von $Q$ gleichmäßig durchläuft.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_\gamma fdz
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei $L$ die Seitenlänge des Quadrates. Dann ist der Umfang des Quadrates gleich $4L$, und das ist auch die Länge des Intervalls $I$. Wir konstruieren rekursiv eine Folge von Quadraten $Q_n$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q_0
}
{ = }{ Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
als Startquadrat. Dabei zerlegt man $Q_n$ durch Halbierung der Seitenlängen in vier Teilquadrate. Unter diesen wird $Q_{n+1}$ in folgender Weise ausgewählt: Es sei $\gamma_n$ der gleichmäßige
\zusatzklammer {stückweise lineare} {} {}
Weg entlang des Randes von $Q_n$, der gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen werde und rechts unten anfängt. Es seien
\mathl{\gamma_{n+1,1}, \gamma_{n+1,2}, \gamma_{n+1,3}, \gamma_{n+1,4}}{} die entsprechenden Wege der Ränder der Teilquadrate. Dann gilt
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ \int_{\gamma_n} fdz
}
{ =} { \int_{\gamma_{n+1,1} } fdz + \int_{\gamma_{n+1,2} } fdz+ \int_{\gamma_{n+1,3} } fdz+ \int_{\gamma_{n+1,4} } fdz
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
da in der Summe rechts die äußeren Seiten der Teilquadrate einfach und die inneren Seiten der Teilquadrate zweifach mit wechselnder Orientierung durchlaufen werden. Wir wählen nun $Q_{n+1}$ als dasjenige Teilquadrat, für das der Betrag von
\mathl{\int_{\gamma_{n+1,i} } fdz}{} unter diesen vier Wegintegralen maximal ist. Dabei gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { \int_{\gamma_n} fdz }
}
{ \leq} { 4 \cdot \betrag { \int_{\gamma_{n+1} } fdz }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
und induktiv erhält man die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { \int_{\gamma} fdz }
}
{ \leq} { 4^n \cdot \betrag { \int_{\gamma_{n} } fdz }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es sei nun $a$ der durch die Folge der Quadrate $Q_n$ bestimmte Punkt der Ebene
\zusatzklammer {die Folge der $x$-Seiten und der $y$-Seiten bilden ja jeweils eine Intervallhalbierung, und legen daher nach
Satz 7.3 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
einen eindeutigen Punkt fest} {} {.}
Aufgrund der komplexen Differenzierbarkeit in $a$ gibt es nach
Satz 1.2
ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \in }{{\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und eine Funktion
\maabbdisp {r} {U} { {\mathbb C}
} {}
mit $r$
\definitionsverweis {stetig}{}{}
in $a$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r(a)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(z)
}
{ =} { f(a) + s (z-a) + r(z) (z-a)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir möchten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{\gamma} fdz
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zeigen. Dazu zeigen wir, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { \int_{\gamma} fdz }
}
{ \leq} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für jedes vorgegebene positive $\epsilon$ ist. Es sei also ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ \in }{ \R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben. Aufgrund der Stetigkeit von $r$ gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der Eigenschaft, dass für $z$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { z-a }
}
{ \leq }{ \delta
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { r(z) }
}
{ \leq }{ { \frac{ \epsilon }{ 8L^2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
Es sei $n$ derart, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ 2^n } }
}
{ \leq} { { \frac{ \delta }{ 2 L } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt. Das Quadrat $Q_n$ hat die Seitenlänge ${ \frac{ L }{ 2^n } }$ und den Umfang ${ \frac{ 4L }{ 2^n } }$, und es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Q_n
}
{ \subseteq} { U { \left( a,{ \frac{ 2 L }{ 2^n } } \right) }
}
{ \subseteq} { U { \left( a, \delta \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist auf alle Punkte $z$ aus $Q_n$ und insbesondere auf seinen Rand die Abschätzung für $r(z)$ anwendbar. Daher ist
\zusatzklammer {die Wegintegrale zu den beiden vorderen Summanden
\mathkor {} {f(a)} {und} {s (z-a)} {}
sind nach
Korollar 12.12
gleich $0$, da sie eine Stammfunktion besitzen} {} {}
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \betrag { \int_{\gamma_n} f(z) dz }
}
{ =} { \betrag { \int_{\gamma_n} f(a) + s (z-a) + r(z) (z-a) dz }
}
{ =} { \betrag { \int_{\gamma_n} r(z ) ( z -a) dz }
}
{ =} { \betrag { \int_{I_n} r( \gamma_n(t) ) ( \gamma_n(t) -a) \gamma'_n(t) dt }
}
{ \leq} { \int_{I_n} \betrag { r( \gamma_n(t) ) ( \gamma_n(t) -a) \gamma'_n(t) } dt
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ \leq} { \int_{I_n} { \frac{ \epsilon }{ 8L^2 } } \cdot { \frac{ 2 L }{ 2^n } } dt
}
{ =} { { \frac{ 4L }{ 2^n } } \cdot { \frac{ \epsilon }{ 8L^2 } } \cdot { \frac{ 2 L }{ 2^n } }
}
{ =} { { \frac{ \epsilon }{ 4^n } }
}
{ } {}
}
{}{.}
Es folgt
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \betrag { \int_{\gamma} fdz }
}
{ \leq} { 4^n \cdot \betrag { \int_{\gamma_{n} } fdz }
}
{ =} { 4^n \cdot { \frac{ \epsilon }{ 4^n } }
}
{ =} { \epsilon
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
{Lemma von Goursat/Dreieckversion/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Menge}{}{,}
\maabb {f} {U} { {\mathbb C}
} {}
eine
\definitionsverweis {komplex differenzierbare}{}{}
Funktion, sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D
}
{ \subseteq }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Dreieck, und sei
\maabbdisp {\gamma} {I} {D
} {}
der stetige, stückweise lineare Weg, der den Rand von $D$ gleichmäßig durchläuft.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_\gamma fdz
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{Dies wird ähnlich wie Satz 13.1 bewiesen.}
Die folgenden Sätze nennt man Integralsatz von Cauchy
\zusatzklammer {für sternförmige Mengen, für Kreisscheiben} {} {.}
\inputfaktbeweis
{Integralsatz von Cauchy/Sternförmig/Stammform/Geschlossener Weg/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {sternförmige}{}{}
\definitionsverweis {offene Menge}{}{,}
\maabb {f} {U} { {\mathbb C}
} {}
eine
\definitionsverweis {komplex differenzierbare}{}{}
Funktion und sei
\maabb {\gamma} {[a,b]} { U
} {}
ein stetig differenzierbarer geschlossener Weg.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_\gamma fdz
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Ohne Einschränkung sei $U$ sternförmig bezüglich des Punktes $0$. Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
definieren wir
\mathl{\varphi(Q)}{} über das
\definitionsverweis {Wegintegral}{}{}
zur Differentialform $fdz$ zum linearen Verbindungsweg von $0$ nach $Q$, den wir mit
\mathl{[0,Q]}{} bezeichnen
\zusatzklammer {die Durchlaufgeschwindigkeit ist irrelevant} {} {,}
also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi (Q)
}
{ \defeq} { \int_{[0,Q]} fdz
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
fixiert. Für eine hinreichend kleine Kreisscheibenumgebung
\mathl{B \left( P,r \right)}{}
\zusatzklammer {in $U$} {} {}
von $P$ ist für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ \in }{ B \left( P,r \right)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das Dreieck mit den Ecken
\mathl{0,P,Q}{} ganz in $U$ und wegen
Satz 13.2
gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(Q)
}
{ =} { \varphi(P) + \int_{[P,Q]} fdz
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir betrachten den
\definitionsverweis {Differenzenquotienten}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \psi(Q)
}
{ =} { { \frac{ \varphi(Q)- \varphi(P) }{ Q-P } }
}
{ =} { { \frac{ \int_{[P,Q]} fdz }{ Q-P } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Unter Verwendung von
Lemma 12.10
ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \betrag { \psi(Q) -f(P) }
}
{ =} { \betrag { { \frac{ \int_{[P,Q]} fdz }{ Q-P } } - f(P) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ \betrag { Q-P } } } \betrag { \int_{[P,Q]} fdz -f(P) (Q-P) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ \betrag { Q-P } } } \betrag { \int_{[P,Q]} ( fdz -f(P) ) }
}
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ \betrag { Q-P } } } \Vert {f-f(P)} \Vert_{[P,Q]} \cdot \betrag { Q-P }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ \leq} { \Vert {f-f(P)} \Vert_{B \left( P,r \right) }
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Wegen der Stetigkeit von $f$ folgt, dass der Funktionslimes von $\psi(Q)$ für $Q \rightarrow P$ gleich $f(P)$ ist. D.h., dass der Differentialquotient existiert und somit ist $\varphi$ komplex differenzierbar. Die Aussage folgt daher aus
Korollar 12.12.
\inputfaktbeweis
{Integralsatz von Cauchy/Kreisscheibe/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Menge}{}{,}
\maabb {f} {U} { {\mathbb C}
} {}
eine
\definitionsverweis {komplex differenzierbare}{}{}
Funktion. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ B \left( P,r \right)
}
{ \subseteq }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {abgeschlossene Kreisscheibe}{}{}
und es sei
\maabbdisp {\gamma} {I} {B
} {}
der stetige Weg, der den Rand von $B$ gleichmäßig durchläuft.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_\gamma fdz
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies ist ein Spezialfall von Satz 13.3 unter Berücksichtigung von Aufgabe 13.2.
\inputfaktbeweis
{Integralsatz von Cauchy/Nichtkonzentrische Kreisringe/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P,Q
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und seien Radien $r,s$ gegeben mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ B \left( P,r \right)
}
{ \subseteq }{ B \left( Q,s \right)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Menge}{}{,}
die
\mathl{B \left( Q,s \right) \setminus U { \left( P,r \right) }}{} umfasst. Es sei
\maabb {f} {U} { {\mathbb C}
} {}
eine
\definitionsverweis {komplex differenzierbare}{}{}
Funktion.}
\faktfolgerung {Dann gilt für die gegen den Uhrzeigersinn durchlaufenen Randwege
\mathkor {} {\gamma} {bzw.} {\delta} {}
der beiden Kreise die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_\gamma fdz
}
{ =} { \int_\delta fdz
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Man kann die beiden ineinander liegenden Kreisränder durch eine endliche Familie von Geradenstücken verbinden \zusatzklammer {beispielsweise vom kleinen Kreis radial nach außen} {} {} derart, dass benachbarte Geradenstücke mit den anliegenden Kreisbögen eine sternförmige Menge bilden \zusatzklammer {und auch in einer offenen sternförmigen Menge innerhalb von $U$ liegen} {} {.} Nach Satz 13.3 ist das Wegintegral über einen solchen \zusatzklammer {gegen den Uhrzeigersinn durchlaufenen} {} {} Weg gleich $0$. Aufsummieren dieser Wegintegrale ergibt die Behauptung, da dabei die Geradenstücke insgesamt in beide Richtungen einmal durchlaufen werden.
\inputbeispiel{}
{
Für die
\definitionsverweis {holomorphe Differentialform}{}{}
\mathl{{ \frac{ dz }{ z } }}{} auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ = }{ {\mathbb C} \setminus \{0\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
kann man
Korollar 13.5
für jeden einfach gegen den Uhrzeigersinn durchlaufenen Kreis $\gamma$ anwenden, der $0$ umrundet, und erhält
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_\gamma { \frac{ dz }{ z } }
}
{ =} { 2 \pi { \mathrm i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
Beispiel 12.6.
Siehe auch
Aufgabe 13.4.
}
\zwischenueberschrift{Die Integralformel von Cauchy}
Das Erstaunliche an der folgenden Aussage, der Integralformel von Cauchy, ist, dass man den Wert einer komplexe differenzierbaren Funktion $f$ in einem Punkt $a$ bestimmen kann, indem man das Wegintegral zu
\mathl{{ \frac{ f(z) }{ z-a } }}{} über einen Kreisweg auswertet, der gar nicht durch $a$ läuft.
\inputfaktbeweis
{Integralformel/Cauchy/Kreisscheibe/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Menge}{}{,}
\maabb {f} {U} { {\mathbb C}
} {}
eine
\definitionsverweis {komplex differenzierbare}{}{}
Funktion. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ B \left( P,r \right)
}
{ \subseteq }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {abgeschlossene Kreisscheibe}{}{}
und es sei
\maabbdisp {\gamma} {I} {B
} {}
der stetige Weg, der den Rand von $B$ gleichmäßig durchläuft. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ U { \left( P,r \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(a)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 \pi { \mathrm i} } } \int_\gamma { \frac{ f(z) }{ z-a } } dz
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ B \left( a,s \right)
}
{ \subseteq} { B \left( P,r \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist. Die Funktion
\mathl{{ \frac{ f(z) }{ z-a } }}{} ist dann auf $U \setminus \{a\}$ definiert und holomorph. Wir können daher
Korollar 13.5
anwenden und erhalten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\int_\gamma { \frac{ f(z) }{ z-a } } dz
}
{ =} { \int_{\delta_s} { \frac{ f(z) }{ z-a } } dz
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei $\delta_s$ der Kreisweg um $a$ mit Radius $s$ sei. Man beachte, dass diese Gleichung für jedes positive hinreichend kleine $s$ gilt, und insbesondere der Term rechts unabhängig von einem solchen $s$ ist. Wir schreiben
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{\delta_s} { \frac{ f(z) }{ z-a } } dz
}
{ =} { \int_{\delta_s} { \frac{ f(z)-f(a) }{ z-a } } dz + \int_{\delta_s} { \frac{ f(a) }{ z-a } } dz
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Der Differenzenquotient
\mathl{{ \frac{ f(z)-f(a) }{ z-a } }}{} konvergiert für $s$ gegen $0$ gegen die Ableitung $f'(a)$. Insbesondere ist dieser Term beschränkt in einer Umgebung von $a$ und daher konvergiert das linke Integral auf der rechten Seite nach
Lemma 12.10
gegen $0$, da ja die Länge des Weges beliebig klein wird. Das rechte Integral auf der linken Seite ist unabhängig von $s$ wegen
Beispiel 12.6
gleich
\mathl{2 \pi { \mathrm i} f(a)}{.}