Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Vorlesung 15/latex
\setcounter{section}{15}
\zwischenueberschrift{Der Satz von Liouville}
\inputfaktbeweis
{Holomorphe Funktion/Betragsabschätzung/Koeffizientenabschätzung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\maabb {f} {U} { {\mathbb C}
} {}
\definitionsverweis {holomorph}{}{}
mit der Potenzreihenenwicklung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(z)
}
{ =} { \sum_{n = 0}^\infty c_n (z-a)^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ B \left( a,r \right)
}
{ \subseteq }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und es sei $B$ eine Schranke für $\betrag { f(z) }$ auf dem Rand von
\mathl{B \left( a,r \right)}{.}}
\faktfolgerung {Dann gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { c_n }
}
{ \leq} { { \frac{ B }{ r^n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
In der Situation von
Satz 14.1
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ c_n
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 \pi { \mathrm i} } } \int_\gamma { \frac{ f(z) }{ (z-a)^{n+1} } } dz
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Mit der Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { { \frac{ f(z) }{ (z-a)^{n+1} } } }
}
{ \leq} { { \frac{ B }{ r^{n+1} } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erhalten wir mit
Lemma 12.10
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \betrag { c_n }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 \pi } } \betrag { \int_\gamma { \frac{ f(z) }{ (z-a)^{n+1} } } dz }
}
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ 2 \pi } } \cdot 2 \pi r \cdot { \frac{ B }{ r^{n+1} } }
}
{ =} { { \frac{ B }{ r^{n} } }
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Der folgende Satz heißt \stichwort {Satz von Liouville} {.}
\inputfaktbeweis
{Holomorphe Funktion/Liouville/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\maabb {f} { {\mathbb C} } { {\mathbb C}
} {}
eine
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{,}}
\faktvoraussetzung {die
\definitionsverweis {beschränkt}{}{}
sei.}
\faktfolgerung {Dann ist $f$ konstant.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { f(z) }
}
{ \leq }{ B
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Man kann dann
Lemma 15.1
für die Potenzreihe $\sum_{n = 0}^\infty c_n(z-a)^n$
\zusatzklammer {für einen beliebigen Entwicklungspunkt $a$} {} {}
für jeden Radius $r$ anwenden und erhält
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { c_n }
}
{ \leq} { { \frac{ B }{ r^n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
woraus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c_n
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt.
\inputbeispiel{}
{
Die komplexen Zahlen ${\mathbb C}$ und die offene Kreisscheibe
\mathl{U { \left( 0,1 \right) }}{} sind nicht
\definitionsverweis {biholomorph}{}{,}
da jede
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{}
\maabb {} { {\mathbb C} } {U { \left( 0,1 \right) }
} {}
nach
Satz 15.2
konstant ist.
}
Es gilt nicht, dass unter einer nichtkonstanten holomorphen Abbildung nichtbeschränkte Mengen auf nichtbeschränkte Mengen abgebildet werden. Beispielsweise ist die obere Halbebene, die ja unbeschränkt ist, nach Lemma 2.10 biholomorph zur offenen Einheitskreisscheibe. Der Satz von Liouville gilt entsprechend, wenn man aus ${\mathbb C}$ eine diskrete Teilmenge herausnimmt, siehe Aufgabe 18.24.
Mit dem Satz von Liouville kann man einen einfachen Beweis für den Fundamentalsatz der Algebra geben.
\inputfaktbeweis
{Fundamentalsatz der Algebra/Nichtkonstantes Polynom/Nullstelle/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Jedes nichtkonstante
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{{\mathbb C}[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
über den
\definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{}}
\faktfolgerung {besitzt eine
\definitionsverweis {Nullstelle}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir nehmen an, dass $P$ keine Nullstelle besitzt. Dann ist ${ \frac{ 1 }{ P(z) } }$ eine
\definitionsverweis {ganze Funktion}{}{.}
Für $z \rightarrow \infty$ geht aber
\mathl{\betrag { P(z) }}{} gegen $\infty$ und insbesondere ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { P(z) }
}
{ \geq} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mathl{\betrag { z }}{} hinreichend groß, siehe
Aufgabe 1.12,
sagen wir für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { z }
}
{ \geq }{ c
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { { \frac{ 1 }{ P(z) } } }
}
{ \leq} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { z }
}
{ \geq }{ c
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { z }
}
{ \leq }{ c
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mathl{\betrag { { \frac{ 1 }{ P(z) } } }}{} nach
Satz 36.11 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
ebenfalls beschränkt. Also ist ${ \frac{ 1 }{ P(z) } }$ beschränkt im Widerspruch zu
Satz 15.2.
\zwischenueberschrift{Lokale Beschreibung von holomorphen Funktionen}
Wir fragen uns, inwiefern man eine holomorphe Funktion
\maabb {f} {U} { {\mathbb C}
} {}
lokal in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nach einem biholomorphen Koordinatenwechsel auf eine besonders einfache Gestalt bringen kann. Das bedeutet, wir suchen offene Mengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{ V
}
{ \subseteq }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V'
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und biholomorphe Abbildungen
\maabb {\theta} {V} {V'
} {}
und
\maabb {\varphi} { {\mathbb C} } { {\mathbb C}
} {}
derart, dass die untere horizontale Abbildung in dem kommutativen Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} V & \stackrel{ f }{\longrightarrow} & {\mathbb C} & \\ \!\!\!\!\! \theta \!\!\! \downarrow & & \downarrow \varphi \!\!\!\!\! & \\ V' & \stackrel{ }{\longrightarrow} & {\mathbb C} & \!\!\!\!\! \\ \end{matrix}} { }
möglichst einfach ist.
\inputfaktbeweis
{Holomorphe Funktion/C/Lokale Beschreibung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {zusammenhängende}{}{}
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt und
\maabb {f} {U} { {\mathbb C}
} {}
eine nichtkonstante
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine offene Umgebung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{V
}
{ \subseteq }{U
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass die Einschränkung von $f$ auf $V$ biholomorph äquivalent zu einer Potenzabbildung ist.}
\faktzusatz {Das bedeutet, dass es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\definitionsverweis {biholomorphe Abbildungen}{}{}
\maabbdisp {\theta} {V} {V'
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V'
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine offene Kreisscheibe um $0$ und eine
\definitionsverweis {Verschiebung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} { {\mathbb C} } { {\mathbb C}
} {}
derart gibt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi \circ f \circ \theta^{-1}
}
{ =} { w^k
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf $V'$ gilt
\zusatzklammer {wobei $w$ die Variable auf $V'$ bezeichnet} {} {.}}
\faktzusatz {}
}
{
Wir wählen für $V$ eine Kreisscheibenumgebung von $P$, auf der $f$ durch eine
\definitionsverweis {Potenzreihe}{}{}
dargestellt wird. Die Potenzreihe sei
\mathl{c_0 + \sum_{n = k}^\infty c_n(z-P)^n}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c_1 , \ldots , c_{k-1}
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c_k
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Durch eine Verschiebung im Ausgangsbereich und im Bildbereich können wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c_0
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
annehmen. Die Potenzreihe kann man also als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{n = k}^\infty c_n z^n
}
{ =} { z^k { \left( \sum_{m = 0}^\infty c_{m+k} z^m \right) }
}
{ =} { z^k g(z)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g(0)
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
schreiben. Nach
Satz 5.10
gibt es eine holomorphe Funktion $h$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ = }{ h^k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und damit ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ = }{ (zh)^k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Abbildung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \theta(z)
}
{ = }{ zh(z)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besitzt die Ableitung
\mathl{h(z)+ z h'(z)}{} und hat in $0$ den Wert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h(0)
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Daher ist $\theta$ nach
Korollar 5.3
in einer geeigneten offenen Umgebung $V$ von $0$ biholomorph zu einer offenen Kreisscheibe $V'$. Mit der Variablen $w$ auf $V'$ ist dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f ( \theta^{-1}(w))
}
{ =} { { \left( \theta^{-1}(w) h( \theta^{-1}(w) ) \right) }^k
}
{ =} { { \left( \theta { \left( \theta^{-1}(w) \right) } \right) }^k
}
{ =} { w^k
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Man kann also sagen, dass nach einem biholomorphen Koordinatenwechsel lokal jede holomorphe Abbildung $\neq 0$ eine Potenzierung ist. Diese lokale Beschreibung der Funktion nennen wir ihre \stichwort {lokale Normalform} {,} und das $k$ nennen wir den \stichwort {lokalen Exponenten} {} der Funktion im Punkt $P$. Man spricht, je nach Kontext, auch vom \stichwort {Verzweigungsindex} {} oder von der \stichwort {Ordnung} {.} Wenn die Ableitung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f'(P)
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, so kann man den Satz über die lokale Umkehrabbildung anwenden und in einem solchen Punkt ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
dies ist der Standardfall. Nur für die Punkte einer diskreten Teilmenge kann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ \geq }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sein, siehe
Aufgabe 15.11.
\inputfaktbeweis
{Holomorphe Funktion/C/Lokaler Exponent/Ableitung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {zusammenhängende}{}{}
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt und
\maabb {f} {U} { {\mathbb C}
} {}
eine nichtkonstante
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist der
\definitionsverweis {lokale Exponent}{}{}
von $f$ in $P$ genau dann $\geq 2$, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f'(P)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei $k$ der lokale Exponent. Aufgrund der Kettenregel kann man in
Satz 15.5
die Ableitung $f'(P)$ mit der Ableitung der komplexen Potenzierung
\mathl{w \mapsto w^k}{} in Beziehung setzen. Da $\theta$ und $\varphi$ biholomorph sind, verschwindet ihre Ableitung nirgendwo und daher muss man nur noch das komplexe Potenzieren betrachten, wofür die Aussage klar ist.
Allgemeiner kann man den lokalen Exponenten über die Nullstellenordnung der Ableitung charakterisieren, siehe
Aufgabe 15.8.
\inputbeispiel{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(z)
}
{ =} { z^3+7z-3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f'(z)
}
{ =} { 3z^2 +7
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und die beiden Nullstellen von $f'$ sind
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ z
}
{ =} { \pm \sqrt{ { \frac{ 7 }{ 3 } } } { \mathrm i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
In diesen beiden Punkten ist der
\definitionsverweis {lokale Exponent}{}{}
gleich $2$, in allen weiteren Punkten gleich $1$.
}
Der folgende Offenheitssatz ist eine Verallgemeinerung von Lemma 5.5.
\inputfaktbeweis
{Holomorphe Funktion/Offen/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\maabb {f} {U} { {\mathbb C}
} {}
eine nichtkonstante
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{}
auf einer
\definitionsverweis {zusammenhängenden}{}{}
\definitionsverweis {offenen Teilmenge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $f$
\definitionsverweis {offen}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Der Zusammenhang stellt in Verbindung mit
Satz 14.6
sicher, dass die Funktion nirgendwo konstant ist. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ \subseteq }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine offene Teilmenge und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt. Aufgrund von
Satz 15.5
gibt es eine offene Umgebung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ W
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
auf der die Abbildung biholomorph äquivalent zu einer Potenzabbildung ist. Das Bild einer Kreisscheibe
\mathl{U { \left( 0,r \right) }}{} unter $z \mapsto z^k$ ist aber
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left\{ z^k \mid \betrag { z } <r \right\} }
}
{ =} { { \left\{ w \mid \betrag { w } < r^k \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit selbst eine offene Kreisscheibe. Daher ist $\varphi(W)$ offen in ${\mathbb C}$. Die Vereinigung solcher offener Mengen zeigt, dass das Bild von $V$ offen ist.
Im Gegensatz zu
Korollar 5.3
erfordert die folgende Aussage keine Voraussetzung an die Ableitung.
\inputfaktbeweis
{Holomorphe Funktion/Bijektion/Umkehrfunktion/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U,V
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{}
und sei
\maabb {f} {U} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {bijektive}{}{}
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist auch die
\definitionsverweis {Umkehrfunktion}{}{}
\maabb {f^{-1}} {V} {U
} {}
holomorph.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Aufgrund der Bijektivität ist die Funktion $f$ nirgendwo konstant, wir können also
Satz 15.5
anwenden. Da die Funktionen
\mathl{z \mapsto z^k}{} bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ \geq }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in keiner offenen Umgebung des Nullpunktes injektiv sind, muss stets
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sein. Damit ist nach
Lemma 15.6
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f'(P)
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und somit ist nach
Korollar 5.3
die Umkehrfunktion ebenfalls holomorph.
\inputfaktbeweis
{Holomorphe Funktion/Ableitung nullstellenfrei/Injektiv/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\maabb {f} {U} { {\mathbb C}
} {}
eine
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{}
auf einer
\definitionsverweis {offenen Menge}{}{}
$U$, und sei $f$
\definitionsverweis {injektiv}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
nullstellenfrei.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Nach
Satz 15.5
wird $f$ in einer offenen Umgebung $V$ von $a$ nach einer biholomorphen Abbildung durch eine komplexe Potenzierung
\mathl{w \mapsto w^k}{} beschrieben. Diese ist dann auch injektiv, was
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bedeutet. Nach
Lemma 15.6
ist dann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f'(a)
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}