Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/9/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	${}\sum$
Punkte	3	3	3	1	3	2	2	3	2	5	2	4	4	4	2	5	2	4	4	3	3	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass der aussagenlogische Ausdruck

${\left(r\rightarrow {\left(p\wedge \neg q\right)}\right)}\rightarrow {\left(\neg p\rightarrow {\left(\neg r\vee q\right)}\right)}$

allgemeingültig ist

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Wir betrachten den Satz „Lucy Sonnenschein tanzt auf allen Hochzeiten“. Negiere diesen Satz durch eine Existenzaussage.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Erläutere das Prinzip Beweis durch Widerspruch für eine Aussage der Form „Aus ${}A$ folgt ${}B$“.

Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten auf der Menge

${}M=\{a,b,c,d\}\,$

die durch die Tabelle

${}\star$	${}a$	${}b$	${}c$	${}d$
${}a$	${}c$	${}a$	${}a$	${}a$
${}b$	${}d$	${}d$	${}b$	${}b$
${}c$	${}a$	${}b$	${}c$	${}c$
${}d$	${}b$	${}a$	${}d$	${}d$

gegebene Verknüpfung ${}\star$.

1. Berechne

   $b\star (c\star (d\star a)).$

2. Besitzt die Verknüpfung ${}\star$ ein neutrales Element?

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}L,M,N$ Mengen und ${}F\colon L\rightarrow M$ und ${}G\colon M\rightarrow N$ surjektive Abbildungen. Zeige, dass die Hintereinanderschaltung ${}G\circ F$ ebenfalls surjektiv ist.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise durch Induktion, dass die Summe von aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen (beginnend bei ${}1$) stets eine Quadratzahl ist.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Finde die kleinste natürliche Zahl ${}n\geq 2$, die sowohl eine Quadratzahl als auch eine Kubikzahl ist.

Aufgabe * (5 (1+4) Punkte)Referenznummer erstellen

Ein Cocktailmixer verfügt über zwei Verarbeitungstechniken, nämlich schütteln und rühren, wobei in jedem Arbeitsgang stets zwei Grundzutaten bzw. Zwischenprodukte miteinander verarbeitet werden. Bei jedem Cocktail wird jede Grundzutat bei genau einem Arbeitsvorgang verarbeitet (wobei die dabei entstehenden Zwischenprodukte weiterverarbeitet werden können). Als Grundzutaten stehen Orangensaft, Zitronensaft, Pfefferminzblätter und Rum zur Verfügung.

1. Beschreibe die Zubereitung eines Cocktails, sodass jede Verarbeitungstechnik mindestens einmal vorkommt.
2. Auf wie viele Arten kann er aus den Zutaten einen Cocktail mixen?

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}n$ eine natürliche Zahl. Wann ist die Zahl ${}n^{2}-1$ eine Primzahl?

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ eine ${}n$-elementige Menge und sei

$B={\left\{F:M\rightarrow M{\text{ Abbildung}}\mid F{\text{ bijektiv}}\right\}}.$

Zeige, dass

${}{\#\left(B\right)}=n!\,$

ist.

Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)Referenznummer erstellen

1. Berechne ${}3^{2}$ im Vierersystem, ${}4^{2}$ im Fünfersystem und ${}9^{2}$ im Zehnersystem.
2. Zeige, dass im kleinen Einmaleins (ohne die Zehnerreihe) zur Basis ${}n\geq 3$ rechts unten die Zahl mit den Ziffern ${}n-2$ und ${}1$ steht.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme in ${}\mathbb {Z}$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von ${}5371400$ und ${}695700$.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme den Exponenten zu ${}3$ von ${}72657$.

Aufgabe * (5 (1+1+1+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Ein Zug ist ${}500$ Meter lang (ohne Lokomotive) und bewegt sich mit ${}180$ Stundenkilometer. Lucy Sonnenschein hat ihr Fahrrad mit in den Zug genommen und fährt mit einer Geschwindigkeit von ${}20$ Metern pro Sekunde von ganz vorne nach ganz hinten.

1. Wie viele Sekunden benötigt Lucy für die gesamte Zuglänge?
2. Welche Geschwindigkeit (in Meter pro Sekunde) hat Lucy bezogen auf die Umgebung?
3. Welche Entfernung (in Meter) legt der Zug während der Fahrradfahrt zurück?
4. Berechne auf zwei verschiedene Arten, welche Entfernung Lucy während ihrer Fahrradfahrt bezogen auf die Umgebung zurücklegt.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}x,y\geq 0$. Zeige, dass ${}x\geq y$ genau dann gilt, wenn ${}x^{2}\geq y^{2}$ gilt.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}x,y$ rationale Zahlen. Zeige, dass

${}x-\left\lfloor x\right\rfloor =y-\left\lfloor y\right\rfloor \,$

genau dann gilt, wenn es ein ${}n\in \mathbb {Z}$ mit ${}y=x+n$ gibt.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise die Bernoulli-Ungleichung für einen angeordneten Körper.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme vom achten Teil des Dezimalbruches

$760982393473{,}90354771045729$

die dritte Nachkommaziffer.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Im Bruch

${\frac {3024}{1312}}$

sind Zähler und Nenner im Fünfersystem gegeben. Rechne ihn ins Zehnersystem um.