Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil II/Vorlesung 34/latex
\setcounter{section}{34}
\zwischenueberschrift{Unterräume}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{K^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt \definitionswort {Untervektorraum}{,} wenn die folgenden Eigenschaften gelten.
\aufzaehlungdrei{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0
}
{ \in }{U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u,v
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u+v
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s u
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
Eine Familie von Vektoren
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_1 , \ldots , v_k
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt wieder ein \stichwort {Erzeugendensystem} {} von $U$, wenn man jeden Vektor aus $U$ als eine
\definitionsverweis {Linearkombination}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u
}
{ = }{ \sum_{i =1}^k s_i v_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
schreiben kann, und eine \stichwort {Basis} {} von $U$, wenn darüber hinaus diese Darstellung eindeutig ist. Mit einem Erzeugendensystem kann man einen Untervektorraum $U$ in der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U
}
{ =} { { \left\{ \sum_{i =1}^k s_i v_i \mid s_i \in K \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
beschreiben. Umgekehrt definiert dabei die rechte Seite stets einen Untervektorraum, der der von den Vektoren
\mathl{v_1 , \ldots , v_k}{} \stichwort {erzeugte Untervektorraum} {} heißt. Er wird mit
\mathl{\langle v_1 , \ldots , v_k \rangle}{} bezeichnet.
{Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Lösungsraum ist Vektorraum/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathdisp {\begin{matrix} a _{ 1 1 } x _1 + a _{ 1 2 } x _2 + \cdots + a _{ 1 n } x _{ n } & = & 0 \\ a _{ 2 1 } x _1 + a _{ 2 2 } x _2 + \cdots + a _{ 2 n } x _{ n } & = & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a _{ m 1 } x _1 + a _{ m 2 } x _2 + \cdots + a _{ m n } x _{ n } & = & 0 \end{matrix}} { }
ein
\definitionsverweis {homogenes lineares Gleichungssystem}{}{}
über $K$.}
\faktfolgerung {Dann ist die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
des $K^n$
\zusatzklammer {mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation} {} {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 34.5. }
Für einen Untervektorraum
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{K^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es grundsätzlich zwei Beschreibungsmöglichkeiten: Als Lösungsraum eines homogenen linearen Gleichungssystems und als ein von Vektoren erzeugter Untervektorraum. Durch das Lösen eines linearen Gleichungssystems wird die zuerst genannte Darstellungsmöglichkeit in die zweite Darstellungsmöglichkeit umgewandelt.
\inputbemerkung
{}
{
Man nennt zu einem homogenen linearen Gleichungssystem Lösungen
\mathl{v_1 , \ldots , v_k}{} \stichwort {Basislösungen} {,} wenn man jede Lösung eindeutig als Linearkombination dieser Basislösungen darstellen kann. Wenn ein solches System in den Variablen
\mathl{x_1 , \ldots , x_n}{} gegeben ist, und wenn man die freien Variablen
\mathl{x_{i_1} , \ldots , x_{i_k}}{} identifiziert hat, so erhält man Basislösungen, wenn man diese freien Variablen an einer Stelle mit $1$ und sonst mit $0$ belegt und die anderen Einträge der abhängigen Variablen jeweils ausrechnet.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ \subseteq }{K^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt
\definitionswort {affiner Unterraum}{,} wenn
\zusatzklammer {$S$ leer ist oder} {} {}
es einen
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{K^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und einen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ K^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S
}
{ =} { P+U
}
{ =} { { \left\{ P+ v \mid v \in U \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
Statt von einem affinen Unterraum spricht man manchmal schlicht von einem Unterraum. Der Punkt $P$ heißt ein \stichwort {Aufpunkt} {} des Raumes und $U$ heißt der zugehörige Untervektorraum. Ein affiner Unterraum ist ein in eine bestimmte Richtung parallel verschobener Untervektorraum, wobei der Aufpunkt den Verschiebungsvektor bezeichnet.
\inputfaktbeweis
{Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Lösungsmenge ist Unterraum/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathdisp {\begin{matrix} a _{ 1 1 } x _1 + a _{ 1 2 } x _2 + \cdots + a _{ 1 n } x _{ n } & = & c_1 \\ a _{ 2 1 } x _1 + a _{ 2 2 } x _2 + \cdots + a _{ 2 n } x _{ n } & = & c_2 \\
\vdots & \vdots & \vdots \\ a _{ m 1 } x _1 + a _{ m 2 } x _2 + \cdots + a _{ m n } x _{ n } & = & c_m \end{matrix}} { }
ein
\definitionsverweis {inhomogenes lineares Gleichungssystem}{}{}
über $K$.}
\faktfolgerung {Dann ist die Menge $S$ aller Lösungen des Gleichungssystems ein
\zusatzklammer {affiner} {} {}
\definitionsverweis {Unterraum}{}{}
des $K^n$. Dabei kann man jede Lösung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
als Aufpunkt nehmen, und der zugehörige Untervektorraum ist der Lösungsraum zum zugehörigen homogenen linearen Gleichungssystem.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei die Lösungsmenge $S$ nicht leer und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ \begin{pmatrix} p_1 \\\vdots\\ p_n \end{pmatrix}
}
{ \in }{ S
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein beliebig gewählter Punkt. Es sei $U$ der Lösungsraum zum zugehörigen homogenen linearen Gleichungssystem, der nach
Lemma 34.2
ein Untervektorraum von $K^n$ ist. Wir müssen die Mengengleichheit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ = }{P + U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zeigen. Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ = }{ \begin{pmatrix} v_1 \\\vdots\\ v_n \end{pmatrix}
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, so bedeutet dies
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\sum_{j = 1}^n a_{ij} v_j
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ = }{ 1 , \ldots , m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P+v
}
{ = }{ \begin{pmatrix} p_1+v_1 \\\vdots\\ p_n+v_n \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{j = 1}^n a_{ij} { \left( p_j +v_j \right) }
}
{ =} { \sum_{j = 1}^n a_{ij} p_j + \sum_{j = 1}^n a_{ij} v_j
}
{ =} { c+0
}
{ =} { c
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also ist dieser Punkt eine Lösung des inhomogenen Gleichungssystems und somit ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P+v
}
{ \in }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wenn umgekehrt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q
}
{ = }{ \begin{pmatrix} q_1 \\\vdots\\ q_n \end{pmatrix}
}
{ \in }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Lösung ist, so ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Q-P
}
{ =} { \begin{pmatrix} q_1-p_1 \\\vdots\\ q_n-p_n \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und diese Differenz erfüllt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{j = 1}^n a_{ij} { \left( q_j -p_j \right) }
}
{ =} {\sum_{j = 1}^n a_{ij} q_j - \sum_{j = 1}^n a_{ij} p_j
}
{ =} { c-c
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q-P
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und somit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q
}
{ = }{ P + (Q-P)
}
{ \in }{ P+U
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wenn man also die Lösungsmenge eines inhomogenen Gleichungssystems beschreiben möchte, so nimmt man eine spezielle Lösung als Aufpunkt und eine Basis des Lösungsraumes des zugehörigen homogenen Gleichungssystems.
Der leere Raum und jeder einzelne Punkt ist für sich ein affiner Unterraum. Richtig interessant wird es mit Geraden.
\inputdefinition
{}
{
Unter einer
\definitionswort {Geraden (in Punktvektorform)}{}
versteht man einen
\definitionsverweis {affinen Unterraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ \subseteq }{K^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G
}
{ =} {P + K v
}
{ =} { { \left\{ P+sv \mid s \in K \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einem von $0$ verschiedenen Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ K^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und einem Aufpunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ K^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
Man spricht auch von der \stichwort {Punktrichtungsform} {} oder der Parameterdarstellung der Geraden, wobei das $s$ als Parameter bezeichnet wird. Für eine Gerade gibt es stets die bijektive Abbildung \maabbeledisp {} {K} {G } {s} {P+sv } {,} die auch eine \stichwort {Parametrisierung} {} der Geraden heißt.
\zwischenueberschrift{Geraden in der Ebene}
Wir besprechen die vorstehenden Begriffe und Aussagen in niedrigen Dimensionen.
Wir betrachten
\definitionsverweis {Geraden}{}{}
in der Ebene $K^2$. Unter der \stichwort {Gleichungsform} {} einer Geraden in der Ebene versteht man eine lineare Gleichung der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ax+by
}
{ =} {c
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (a,b)
}
{ \neq }{ (0,0)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es ist einfach, aus der Gleichungsform eine Punktrichtungsform zu erhalten.
\inputfaktbeweis
{Zahlenebene/Gerade/Gleichungsform/Punktvektorform/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ax+by
}
{ =} {c
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine lineare Gleichung in zwei Variablen über $K$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(a,b)
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die Lösungsmenge eine
\definitionsverweis {Gerade}{}{}
in $K^2$. Als Richtungsvektor kann man den Vektor
\mathl{\begin{pmatrix} b \\-a \end{pmatrix}}{} nehmen.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt aus
Lemma 34.5,
da
\mathl{\begin{pmatrix} b \\-a \end{pmatrix}}{} eine Basislösung der zugehörigen homogenen linearen Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ax+by
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Two parallel lines a b.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Two parallel lines a b.svg } {Masur} {} {Commons} {gemeinfrei} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {OpenMeanderM1.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { OpenMeanderM1.svg } {} {FirefoxRocks} {Commons} {gemeinfrei} {}
{Zahlenebene/Zwei Geraden/Schnittmöglichkeiten/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es seien im $K^2$ zwei Geraden
\mathkor {} {G} {und} {H} {}
in Gleichungsform durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ax+by
}
{ =} {c
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bzw.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{rx+sy
}
{ =} {d
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {mit \mathlk{(a,b) \neq (0,0)}{} und \mathlk{(r,s) \neq (0,0)}{}} {} {}
gegeben.}
\faktfolgerung {Dann ist der Durchschnitt
\mathl{G \cap H}{} der beiden Geraden die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems, das aus diesen beiden Gleichungen besteht. Dabei gibt es die drei Möglichkeiten:
\aufzaehlungdrei{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ = }{H
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G \cap H
}
{ = }{ \emptyset
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Der Durchschnitt besteht aus einem einzigen Punkt.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 34.15. }
Im zweiten Fall \zusatzklammer {manchmal auch im ersten Fall} {} {} spricht man von \stichwort {parallelen Geraden} {.} Der dritte Fall tritt genau dann ein, wenn zwischen \mathkor {} {(a,b)} {und} {(r,s)} {} keine Vielfachheitsbeziehung besteht.
\inputbeispiel{}
{
Wir berechnen zu den durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{4x-7y
}
{ =} {13
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bzw.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{5x-8y
}
{ =} {- 9
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebenen Geraden den Durchschnitt. Wenn man von der zweiten Gleichung das
\mathl{{ \frac{ 5 }{ 4 } }}{-}fache der ersten Gleichung abzieht, so erhält man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( -8 + { \frac{ 5 }{ 4 } } \cdot 7 \right) } y
}
{ =} { -9 - { \frac{ 5 }{ 4 } } \cdot 13
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 3 }{ 4 } } y
}
{ =} { - { \frac{ 101 }{ 4 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { - { \frac{ 101 }{ 3 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} { - { \frac{ 167 }{ 3 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Der Durchschnitt besteht also aus einem einzigen Schnittpunkt mit den Koordinaten
\mathl{\left( - { \frac{ 167 }{ 3 } } , \, - { \frac{ 101 }{ 3 } } \right)}{.}
}
\zwischenueberschrift{Geraden und Ebenen im Raum}
\inputdefinition
{}
{
Unter einer
\definitionswort {Ebene}{}
\zusatzklammer {in Punktvektorform oder Parameterform} {} {}
versteht man einen
\definitionsverweis {affinen Unterraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{E
}
{ \subseteq }{K^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{E
}
{ =} {P + K v + K w
}
{ =} { { \left\{ P+sv+tw \mid s, t \in K \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit zwei Vektoren
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v,w
}
{ \in }{ K^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die kein Vielfaches voneinander\zusatzfussnote {D.h. dass weder $v$ noch $w$ der Nullvektor ist und dass der eine Vektor nicht ein Vielfaches des anderen Vektors ist} {.} {}
sind, und einem Aufpunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ K^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
Dabei heißen hier die Zahlen $s,t$ die Parameter. Für eine Ebene gibt es stets die bijektive Abbildung \maabbeledisp {} {K^2} {G } {(s,t)} {P+sv+tw } {,} die auch eine \stichwort {Parametrisierung} {} der Ebene heißt. Die Bijektivität beruht dabei darauf, dass keine Vielfachheitsbeziehung zwischen den Richtungsvektoren \mathkor {} {v} {und} {w} {} besteht.
\inputfaktbeweis
{Zahlenraum/Ebenengleichung/Basis/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ax+by+cz
}
{ =} {d
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine lineare Gleichung in drei Variablen über $K$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(a,b,c)
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die Lösungsmenge eine
\definitionsverweis {Ebene}{}{}
im $K^3$. Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, so kann man als Richtungsvektoren die beiden Vektoren
\mathkor {} {\begin{pmatrix} b \\-a\\ 0 \end{pmatrix}} {und} {\begin{pmatrix} c \\0\\ -a \end{pmatrix}} {}
nehmen.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt aus
Lemma 34.5
und daraus, dass die beiden angegebenen Vektoren offenbar Lösungen der zugehörigen homogenen linearen Gleichung sind, die wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
kein Vielfaches voneinander sind. Man kann auch jede Lösung als Linearkombination dieser beiden Lösungen schreiben, es ist nämlich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y\\ z \end{pmatrix}
}
{ =} { - { \frac{ y }{ a } } \begin{pmatrix} b \\-a\\ 0 \end{pmatrix} - { \frac{ z }{ a } } \begin{pmatrix} c \\0\\ -a \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Also handelt es sich um Basislösungen.
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{E
}
{ =} { { \left\{ \begin{pmatrix} x \\y\\ z \end{pmatrix} \in \Q^3 \mid 5x-y+3z = 0 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Nach
Lemma 34.11
hat diese Ebene in Punktrichtungsform die Beschreibung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{E
}
{ =} { { \left\{ r \begin{pmatrix} 3 \\0\\ -5 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1 \\5\\ 0 \end{pmatrix} \mid r,s \in \Q \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die beiden Mengen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{E
}
{ =} { { \left\{ \begin{pmatrix} x \\y\\ z \end{pmatrix} \in \Q^3 \mid 5x-y+3z = 0 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {aus
Beispiel 34.12} {} {}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F
}
{ =} { { \left\{ \begin{pmatrix} x \\y\\ z \end{pmatrix} \in \Q^3 \mid 4x +2y-7 z = 0 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und interessieren uns für den Durchschnitt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G
}
{ \defeq} {E \cap F
}
{ =} { { \left\{ \begin{pmatrix} x \\y\\ z \end{pmatrix} \in \Q^3 \mid 5x-y+3z = 0 \text{ und } 4x +2y-7 z = 0 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Ein Punkt liegt genau dann im Durchschnitt, wenn er simultan beide Bedingungen, also beide Gleichungen
\zusatzklammer {nennen wir sie
\mathkork {} {I} {und} {II} {}} {} {,}
erfüllt. Gibt es eine \anfuehrung{einfachere}{} Beschreibung dieser Durchschnittsmenge? Ein Punkt, der die beiden Gleichungen erfüllt, erfüllt auch die Gleichung, die entsteht, wenn man die beiden Gleichungen miteinander addiert oder die Gleichungen mit einer Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ \in }{ \Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
multipliziert. Eine solche
\betonung{Linearkombination}{} der Gleichungen ist beispielsweise
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 4 I -5 II
}
{ =} { -14 y + 47 z
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{G
}
{ =} { { \left\{ \begin{pmatrix} x \\y\\ z \end{pmatrix} \in \Q^3 \mid 5x-y+3z = 0 \text{ und } 4x +2y-7 z = 0 \right\} }
}
{ =} { { \left\{ \begin{pmatrix} x \\y\\ z \end{pmatrix} \in \Q^3 \mid 5x-y+3z = 0 \text{ und } -14 y + 47 z = 0 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{,}
da man aus der neuen zweiten Gleichung die alte zweite Gleichung zurückkonstruieren kann und daher die Bedingungen links und rechts insgesamt äquivalent sind. Der Vorteil der zweiten Beschreibung ist, dass man die Variable $x$ in der neuen zweiten Gleichung
\betonung{eliminiert}{} hat. Daher kann man nach $y$ auflösen und erhält
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { { \frac{ 47 }{ 14 } } z
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und für $x$ muss dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 5 } } y - { \frac{ 3 }{ 5 } } z
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 5 } } \cdot { \frac{ 47 }{ 14 } } z - { \frac{ 3 }{ 5 } } z
}
{ =} { { \frac{ 47 }{ 70 } } z - { \frac{ 42 }{ 70 } } z
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 14 } } z
}
}
{}{}{}
sein. Auch diese zwei aufgelösten Gleichungen sind zusammen äquivalent zu den beiden ersten und somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G
}
{ =} { { \left\{ \begin{pmatrix} { \frac{ 1 }{ 14 } } z \\ { \frac{ 47 }{ 14 } } z\\ z \end{pmatrix} \mid z \in \Q \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Diese Beschreibung liefert einen expliziteren Überblick über die Menge $G$.
}
Wir besprechen ein geometrisches Beispiel ähnlich zu Beispiel 34.13, wobei jetzt die Gleichungen nicht homogen sein müssen.
\inputbeispiel{}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {IntersectingPlanes.png} }
\end{center}
\bildtext {Zwei Ebenen im Raum, die sich in einer Geraden schneiden.} }
\bildlizenz { IntersectingPlanes.png } {} {ShahabELS} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
Im $\R^3$ seien zwei Ebenen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{E
}
{ =} { { \left\{ (x,y,z) \in \R^3 \mid 4x-2y-3z = 5 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F
}
{ =} { { \left\{ (x,y,z) \in \R^3 \mid 3x-5y+2z = 1 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben.
Wie kann man die Schnittgerade
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ = }{E \cap F
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
beschreiben? Ein Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{ (x,y,z)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
liegt genau dann auf der Schnittgerade, wenn er die beiden \stichwort {Ebenengleichungen} {} erfüllt; es muss also sowohl
\mathdisp {4x-2y-3z = 5 \text{ als auch } 3x-5y+2z = 1} { }
gelten. Wir multiplizieren die erste Gleichung mit $3$ und ziehen davon das $4$-fache der zweiten Gleichung ab und erhalten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 14 y - 17 z
}
{ =} { 11
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wenn man
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
setzt, so muss
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ = }{- { \frac{ 11 }{ 17 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{ { \frac{ 13 }{ 17 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sein. D.h. der Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{ \left( { \frac{ 13 }{ 17 } } , \, 0 , \, - { \frac{ 11 }{ 17 } } \right)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gehört zu $G$. Ebenso findet man, indem man
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
setzt, den Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q
}
{ = }{ \left( { \frac{ 23 }{ 14 } } , \, { \frac{ 11 }{ 14 } } , \, 0 \right)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Damit ist die Schnittgerade die Verbindungsgerade dieser Punkte, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G
}
{ =} { { \left\{ \left( { \frac{ 13 }{ 17 } } , \, 0 , \, - { \frac{ 11 }{ 17 } } \right) + t \left( { \frac{ 209 }{ 238 } } , \, { \frac{ 11 }{ 14 } } , \, { \frac{ 11 }{ 17 } } \right) \mid t \in \R \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
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