Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil II/Arbeitsblatt 34

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Bestimme eine Basis für den Lösungsraum der linearen Gleichung

${}2x-5y-3z=0\,.$

Übungsaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass ein Untervektorraum ${}U\subseteq K^{n}$ insbesondere eine Untergruppe des ${}K^{n}$ ist.

Aufgabe

Es seien ${}v_{1},\ldots ,v_{k}\in K^{n}$ Vektoren und sei

${}U={\left\{\sum _{i=1}^{k}s_{i}v_{i}\mid s_{i}\in K\right\}}\,.$

Zeige, dass ${}U$ ein Untervektorraum des ${}K^{n}$ ist.

Aufgabe

Wir betrachten im ${}\mathbb {Q} ^{3}$ die Untervektorräume

${}U=\langle {\begin{pmatrix}2\\1\\4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\-2\\7\end{pmatrix}}\rangle \,$

und

${}W=\langle {\begin{pmatrix}5\\-1\\11\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\-3\\3\end{pmatrix}}\rangle \,.$

Zeige ${}U=W$.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{matrix}}$

ein homogenes lineares Gleichungssystem über ${}K$. Zeige, dass die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein Untervektorraum des ${}K^{n}$ ist. Wie verhält sich dieser Lösungsraum zu den Lösungsräumen der einzelnen Gleichungen?

Aufgabe

Bestimme eine Basis für den Lösungsraum der linearen Gleichung

${}3x+4y-2z+5w=0\,.$

Aufgabe

Bestimme eine Basis für den Lösungsraum des linearen Gleichungssystems

$-2x+3y-z+4w=0{\text{ und }}3z-2w=0.$

Aufgabe

Im ${}K^{n}$ seien zwei Vektoren ${}u,v$ gegeben und es sei ${}U=\langle u,v\rangle \subseteq K^{n}$ der von den beiden Vektoren erzeugte Untervektorraum. Zeige, dass die Vektoren ${}u,v$ genau dann eine Basis von ${}U$ bilden, wenn weder ${}u$ ein Vielfaches von ${}v$ noch ${}v$ ein Vielfaches von ${}u$ ist.

Aufgabe

Es seien ${}U_{1},\ldots ,U_{r}\subseteq K^{n}$ Untervektorräume. Zeige, dass der Durchschnitt ${}U_{1}\cap \ldots \cap U_{r}$ ebenfalls ein Untervektorraum ist.

Aufgabe

Bestimme eine Basis für den Lösungsraum des linearen Gleichungssystems

${\begin{matrix}3x-6y-5z&=&0\\x+7y+4z&=&0\,\end{matrix}}$

über ${}\mathbb {Q}$.

Aufgabe

Es sei

${}M={\begin{pmatrix}4&3&-4\\5&-2&-1\end{pmatrix}}\,$

und

${}c={\begin{pmatrix}-3\\-7\end{pmatrix}}\,.$

1. Bestimme eine Basis des Lösungsraums des linearen Gleichungssystems ${}Mv=0$.
2. Beschreibe die Lösungsmenge des inhomogenen linearen Gleichungssystems ${}Mv=c$ mit einem Aufpunkt und mit der Basis aus dem ersten Teil.

Aufgabe *

Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung

${}4x+7y=3\,$

im ${}\mathbb {Q} ^{2}$ gegebene Gerade.

Aufgabe

Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung

${}-7x+5y=-4\,$

im ${}\mathbb {Q} ^{2}$ gegebene Gerade.

Aufgabe *

Erstelle eine Geradengleichung für die Gerade im ${}\mathbb {R} ^{2}$, die durch die beiden Punkte ${}(2,3)$ und ${}(5,-7)$ verläuft.

Aufgabe

Es seien im ${}K^{2}$ zwei Geraden ${}G$ und ${}H$ in Gleichungsform durch

${}ax+by=c\,$

bzw.

${}rx+sy=d\,$

gegeben. Zeige, dass der Durchschnitt ${}G\cap H$ der beiden Geraden die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems ist, das aus beiden Gleichungen besteht. Zeige ferner, dass es hierbei die drei Möglichkeiten gibt:

1. Es ist ${}G=H$.
2. Es ist ${}G\cap H=\emptyset$.
3. Der Durchschnitt besteht aus einem einzigen Punkt.

Aufgabe

Es sei ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen in zwei Variablen über ${}\mathbb {Q}$ gegeben. Die Lösungsmengen der einzelnen Gleichungen seien Geraden. Skizziere die drei Möglichkeiten, wie die Lösungsmenge des Systems aussehen kann.

Aufgabe

Wir betrachten die beiden Mengen

${}E={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}\mid -3x+2y-6z=0\right\}}\,$

und

${}F={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}\mid 7x-5y-4z=0\right\}}\,.$

Finde eine Beschreibung für den Durchschnitt

${}G:=E\cap F={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}\mid -3x+2y-6z=0{\text{ und }}7x-5y-4z=0\right\}}\,$

wie in Beispiel *****.

Aufgabe *

Im ${}\mathbb {R} ^{3}$ seien die beiden Untervektorräume

${}U={\left\{s{\begin{pmatrix}2\\1\\7\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}4\\-2\\9\end{pmatrix}}\mid s,t\in \mathbb {R} \right\}}\,$

und

${}V={\left\{p{\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}}+q{\begin{pmatrix}5\\2\\-4\end{pmatrix}}\mid p,q\in \mathbb {R} \right\}}\,$

gegeben. Bestimme eine Basis für ${}U\cap V$.

Aufgabe *

Wir betrachten die drei Ebenen ${}E,F,G$ im ${}\mathbb {Q} ^{3}$, die durch die folgenden Gleichungen beschrieben werden.

1. ${}E={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {Q} ^{3}\mid 5x-4y+3z=2\right\}}\,,$

2. ${}F={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {Q} ^{3}\mid 7x-5y+6z=3\right\}}\,,$

3. ${}G={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {Q} ^{3}\mid 2x-y+4z=5\right\}}\,.$

Bestimme sämtliche Punkte ${}E\cap F\setminus E\cap F\cap G$.

Aufgabe

Bestimme eine Ebenengleichung für die Ebene im ${}\mathbb {R} ^{3}$, auf der die drei Punkte

$(1,0,0),\,\,(0,1,2)\,{\text{ und }}\,(2,3,4)$

liegen.

Aufgabe

Erstelle ein lineares Gleichungssystem, dessen Lösungsraum die Gerade ${}U={\begin{pmatrix}2\\5\\-1\end{pmatrix}}\mathbb {R}$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper. Man finde ein lineares Gleichungssystem in drei Variablen, dessen Lösungsraum genau

${\left\{\lambda {\begin{pmatrix}3\\2\\-5\end{pmatrix}}\mid \lambda \in K\right\}}$

ist.

Aufgabe

Ein lineares Ungleichungssystem sei durch die Ungleichungen

${}x\geq 0\,,$

${}y\geq 0\,,$

${}x+y\leq 1\,,$

gegeben. Skizziere die Lösungsmenge dieses Ungleichungssystems.

Aufgabe

Es sei

${}a_{1}x+b_{1}y\geq c_{1}\,,$

${}a_{2}x+b_{2}y\geq c_{2}\,,$

${}a_{3}x+b3y\geq c_{3}\,,$

ein lineares Ungleichungssystem, dessen Lösungsmenge ein Dreieck sei. Wie sieht die Lösungsmenge aus, wenn man in jeder Ungleichung ${}\geq$ durch ${}\leq$ ersetzt?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten im ${}\mathbb {Q} ^{4}$ die Untervektorräume

${}U=\langle {\begin{pmatrix}3\\1\\-5\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\-2\\4\\-3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\\3\\2\end{pmatrix}}\rangle \,$

und

${}W=\langle {\begin{pmatrix}6\\-1\\2\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\-2\\-2\\-7\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}9\\2\\-1\\10\end{pmatrix}}\rangle \,.$

Zeige ${}U=W$.

Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

Es sei

${}M={\begin{pmatrix}2&-7&8\\5&9&-3\end{pmatrix}}\,$

und

${}c={\begin{pmatrix}4\\-5\end{pmatrix}}\,.$

1. Bestimme eine Basis des Lösungsraums des linearen Gleichungssystems ${}Mv=0$.
2. Beschreibe die Lösungsmenge des inhomogenen linearen Gleichungssystems ${}Mv=c$ mit einem Aufpunkt und mit der Basis aus dem ersten Teil.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung

${}-2x+9y=5\,$

im ${}\mathbb {Q} ^{2}$ gegebene Gerade.

Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte im ${}\mathbb {R} ^{3}$ die beiden Ebenen

$E={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid 3x+4y+5z=2\right\}}{\text{ und }}F={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid 2x-y+3z=-1\right\}}.$

Bestimme die Schnittgerade ${}E\cap F$.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme eine Ebenengleichung für die Ebene im ${}\mathbb {R} ^{3}$, auf der die drei Punkte

$(1,0,2),\,\,(4,-3,2)\,{\text{ und }}\,(2,1,-1)$

liegen.

Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

Ein lineares Ungleichungssystem sei durch die Ungleichungen

${}x\geq 0\,,$

${}y+x\geq 0\,,$

${}-1-y\leq -x\,,$

${}5y-2x\geq 3\,,$

gegeben.

a) Skizziere die Lösungsmenge dieses Ungleichungssystems.

b) Bestimme die Eckpunkte der Lösungsmenge.