Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil II/Arbeitsblatt 33

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Drücke in ${}\mathbb {Q} ^{2}$ den Vektor

$(2,-7)$

als Linearkombination der Vektoren

$(5,-3){\text{ und }}(-11,4)$

aus.

Übungsaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass der Zahlenraum ${}K^{n}$ zu einem Körper ${}K$ mit der komponentenweisen Addition und der Skalarmultiplikation die Eigenschaften

1. ${}r(su)=(rs)u$,
2. ${}r(u+v)=ru+rv$,
3. ${}(r+s)u=ru+su$,

4. ${}1u=u\,,$

erfüllt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}K^{n}$ der ${}n$-dimensionale Zahlenraum. Es sei ${}v_{i}$, ${}i\in I$, eine Familie von Vektoren im ${}K^{n}$ und ${}w\in K^{n}$ ein weiterer Vektor. Es sei vorausgesetzt, dass die Familie

$w,v_{i},i\in I,$

ein Erzeugendensystem von ${}K^{n}$ ist und dass sich ${}w$ als Linearkombination der ${}v_{i}$, ${}i\in I$, darstellen lässt. Zeige, dass dann schon ${}v_{i}$, ${}i\in I$, ein Erzeugendensystem von ${}K^{n}$ ist.

Aufgabe

Finde für die Vektoren

${\begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\-4\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}8\\7\end{pmatrix}}$

im ${}\mathbb {Q} ^{2}$ eine nichttriviale Darstellung des Nullvektors.

Aufgabe

Finde für die Vektoren

${\begin{pmatrix}7\\-5\\3\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-4\\1\\-6\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}2\\8\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}5\\-5\\8\end{pmatrix}}$

im ${}\mathbb {Q} ^{3}$ eine nichttriviale Darstellung des Nullvektors.

Aufgabe

Zeige, dass im ${}\mathbb {R} ^{3}$ die drei Vektoren

${\begin{pmatrix}2\\1\\5\end{pmatrix}}\,,{\begin{pmatrix}1\\3\\7\end{pmatrix}}\,,{\begin{pmatrix}4\\1\\2\end{pmatrix}}$

eine Basis bilden.

Aufgabe

Bestimme, ob im ${}\mathbb {R} ^{3}$ die drei Vektoren

${\begin{pmatrix}2\\3\\-5\end{pmatrix}}\,,{\begin{pmatrix}9\\2\\6\end{pmatrix}}\,,{\begin{pmatrix}-1\\4\\-1\end{pmatrix}}$

eine Basis bilden.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}m,n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass der Matrizenraum ${}\operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$ in natürlicher Weise ein Vektorraum ist.

Aufgabe *

Berechne das Matrizenprodukt

${\begin{pmatrix}4&0&0&-3&7\\8&3&1&0&-5\\6&2&-1&-2&3\\-4&5&1&0&3\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}3&2&-4\\1&-1&5\\0&6&1\\-5&2&0\\6&-3&-2\end{pmatrix}}.$

Aufgabe

Berechne das Matrizenprodukt

${\begin{pmatrix}Z&E&I&L&E\\R&E&I&H&E\\H&O&R&I&Z\\O&N&T&A&L\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}S&E&I\\P&V&K\\A&E&A\\L&R&A\\T&T&L\end{pmatrix}}.$

Aufgabe *

Zeige, dass die Matrizenmultiplikation von quadratischen Matrizen im Allgemeinen nicht kommutativ ist.

Aufgabe

Bestimme das Matrizenprodukt

$e_{i}\circ e_{j},$

wobei links der ${}i$-te Standardvektor (der Länge ${}n$) als Zeilenvektor und rechts der ${}j$-te Standardvektor (ebenfalls der Länge ${}n$) als Spaltenvektor aufgefasst wird.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine ${}m\times n$-Matrix. Zeige, dass das Matrizenprodukt ${}Me_{j}$ mit dem ${}j$-ten Standardvektor (als Spaltenvektor aufgefasst) die ${}j$-te Spalte von ${}M$ ergibt. Was ist ${}e_{i}M$, wobei ${}e_{i}$ der ${}i$-te Standardvektor (als Zeilenvektor aufgefasst) ist?

Zu einer quadratischen Matrix ${}M$ bezeichnet man mit ${}M^{n}$ die ${}n$-fache Verknüpfung (Matrizenmultiplikation) mit sich selbst. Man spricht dann auch von ${}n$-ten Potenzen der Matrix.

Aufgabe

Berechne zur Matrix

${}M={\begin{pmatrix}2&4&6\\1&3&5\\0&1&2\end{pmatrix}}\,$

die Potenzen

$M^{i},\,i=1,\ldots ,4.$

Aufgabe

Es sei

${}D={\begin{pmatrix}d_{11}&0&\cdots &\cdots &0\\0&d_{22}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&d_{n-1\,n-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&d_{nn}\end{pmatrix}}\,$

eine Diagonalmatrix und ${}M$ eine ${}n\times n$-Matrix. Beschreibe ${}DM$ und ${}MD$.

Aufgabe

Es sei

${}D={\begin{pmatrix}d_{11}&0&\cdots &\cdots &0\\0&d_{22}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&d_{n-1\,n-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&d_{nn}\end{pmatrix}}\,$

eine Diagonalmatrix und ${}c={\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}$ ein ${}n$-Tupel über einem Körper ${}K$, und es sei ${}x={\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}$ ein Variablentupel. Welche Besonderheiten erfüllt das lineare Gleichungssystem

${}Dx=c\,,$

und wie löst man es?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Drücke in ${}\mathbb {Q} ^{2}$ den Vektor

$(5,-8)$

als Linearkombination der Vektoren

$(6,-4){\text{ und }}(-3,7)$

aus.

Aufgabe (3 Punkte)

Finde für die Vektoren

${\begin{pmatrix}4\\-5\\6\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}5\\-1\\-6\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}2\\6\\7\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}3\\-8\\7\end{pmatrix}}$

im ${}\mathbb {Q} ^{3}$ eine nichttriviale Darstellung des Nullvektors.

Aufgabe (3 Punkte)

Wir betrachten die Matrix

${}M={\begin{pmatrix}0&a&b&c\\0&0&d&e\\0&0&0&f\\0&0&0&0\end{pmatrix}}\,$

über einem Körper ${}K$. Zeige, dass die vierte Potenz von ${}M$ gleich ${}0$ ist, also

${}M^{4}=MMMM=0\,.$

Für die folgende Aussage wird sich bald ein einfacher Beweis über die Beziehung zwischen Matrizen und linearen Abbildungen ergeben.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Matrizenmultiplikation assoziativ ist. Genauer: Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}A$ eine ${}m\times n$-Matrix, ${}B$ eine ${}n\times p$-Matrix und ${}C$ eine ${}p\times r$-Matrix über ${}K$. Zeige, dass ${}(AB)C=A(BC)$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}n\in \mathbb {N}$. Finde und beweise eine Formel für die ${}n$-te Potenz der Matrix

${\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}}.$