Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil II/Vorlesung 35/latex
\setcounter{section}{35}
\epigraph { Man gibt seine Kinder auf die Schule, daß sie still werden, auf die Hochschule, daß sie laut werden. } { Jean Paul (1763-1825) }
\zwischenueberschrift{Lineare Abbildungen}
Eine \definitionsverweis {lineare Funktion}{}{} über einem Körper $K$ ist einfach eine Abbildung der Form \maabbeledisp {} {K} {K } {x} {cx } {,} mit einer Konstanten $c$ \zusatzklammer {einem Proportionalitätsfaktor} {} {,} die bei einem angeordneten Körper den Anstieg des Graphen beschreibt. Ein einzelnes Element $c$ kann man als eine $1 \times 1$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} auffassen. Wir dehnen das lineare Konzept auf Abbildungen zwischen Standardräumen aus und wir werden sehen, dass diese durch Matrizen beschrieben werden können.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein Körper und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ m,n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {K^n} { K^m
} {}
heißt \definitionswort {lineare Abbildung}{,} wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.
\aufzaehlungzwei {
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(u+v)
}
{ = }{ \varphi(u) + \varphi(v)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u,v
}
{ \in }{K^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
} {
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi( s v)
}
{ = }{ s \varphi(v)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mathkor {} {s \in K} {und} {v \in K^n} {.}
}
}
\inputbeispiel{}
{
Es stehen $n$ verschiedene Produkte zum Verkauf, wobei das $i$-te Produkt
\zusatzklammer {pro Einheit} {} {}
$a_i$ kostet. Ein Einkauf wird durch das $n$-Tupel
\mathdisp {\left( x_1 , \, x_2 , \, \ldots , \, x_n \right)} { }
repräsentiert, wobei $x_i$ die vom $i$-ten Produkt gekaufte Menge angibt. Der Preis des Einkaufs wird dann durch
\mathl{\sum_{i=1}^n a_ix_i}{} beschrieben. Die Preisabbildung
\maabbeledisp {\varphi} {\Q^n} {\Q
} { \left( x_1 , \, x_2 , \, \ldots , \, x_n \right) } { \sum_{i = 1}^n a_ix_i
} {.}
ist
\definitionsverweis {linear}{}{.}
Dies beruht auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(x+y)
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n a_i (x_i +y_i)
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n a_i x_i + \sum_{i = 1}^n a_i y_i
}
{ =} {\varphi(x) + \varphi (y)
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(sx)
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n a_i sx_i
}
{ =} {s \sum_{i = 1}^n a_i x_i
}
{ =} { s \varphi(x)
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Inhaltlich bedeutet dies beispielsweise, dass wenn man zuerst den Einkauf
\mathl{\left( x_1 , \, x_2 , \, \ldots , \, x_n \right)}{} tätigt und eine Woche später den Einkauf
\mathl{\left( y_1 , \, y_2 , \, \ldots , \, y_n \right)}{,} dass dann der Preis der beiden Einkäufe zusammen dem Preis entspricht, den man bezahlt hätte, wenn man auf einen Schlag
\mathl{\left( x_1+y_1 , \, x_2+y_2 , \, \ldots , \, x_n+y_n \right)}{} gekauft hätte.
}
\inputbeispiel{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $K^n$ der $n$-\definitionsverweis {dimensionale}{}{} \definitionsverweis {Standardraum}{}{.} Dann ist die $i$-te \stichwort {Projektion} {,} also die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {K^n} {K } { \left( x_1 , \, \ldots , \, x_{i-1} , \, x_i , \, x_{i+1} , \, \ldots , \, x_n \right) } {x_i } {,} eine $K$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Dies folgt unmittelbar aus der komponentenweisen Addition und Skalarmultiplikation auf dem Standardraum. Die $i$-te Projektion heißt auch die $i$-te \stichwort {Koordinatenfunktion} {.}
}
Die beiden folgenden Beispiele entstammen der elementaren Geometrie.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Simetria_axial.png} }
\end{center}
\bildtext {Eine \stichwort {Achsenspiegelung} {} an einer Achse.} }
\bildlizenz { Simetria axial.png } {} {Rovnet} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
\inputbeispiel{}
{
Die Abbildung \maabbeledisp {} {K^2} {K^2 } {(x,y)} { (-x,y) } {,} ist \definitionsverweis {linear}{}{} und beschreibt die \stichwort {Achsenspiegelung} {} an der $y$-Achse.
}
\inputbeispiel{}
{
Die Abbildung \maabbeledisp {} {K^2} {K^2 } {(x,y)} { (-x,-y) } {,} ist \definitionsverweis {linear}{}{} und beschreibt die \stichwort {Punktspiegelung} {} am Nullpunkt.
}
{Lineare Abbildung/Zahlenraum/Grundlegende Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und sei
\maabb {\varphi} {K^n} {K^m
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Eigenschaften.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungzwei {Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi(0)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
} {Für jede Linearkombination
\mathl{\sum_{i = 1}^k s_i v_i}{} in $K^n$ gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi { \left( \sum_{i = 1}^ks_i v_i \right) }
}
{ =} { \sum_{i = 1}^k s_i \varphi { \left( v_i \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 35.7. }
{Lineare Abbildung/Zahlenraum/Grundlegende kategorielle Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und seien
\maabb {\psi} {K^p} {K^n
} {}
und
\maabb {\varphi} {K^n} {K^m
} {}
\definitionsverweis {lineare Abbildungen}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Eigenschaften.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungzwei {Die
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\maabbdisp {\varphi \circ \psi} {K^p} {K^m
} {}
ist ebenfalls linear.
} {Wenn $\varphi$
\definitionsverweis {bijektiv}{}{}
ist, so ist auch die
\definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi^{-1}} {K^m} {K^n
} {}
linear.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 35.8. }
Nach
Lemma 35.6
wird unter einer linearen Abbildung die $0$ auf die $0$ abgebildet. Die Menge aller Vektoren, die unter einer linearen Abbildung auf $0$ abgebildet werden, ist für die Abbildung charakteristisch und bekommt einen eigenen Namen.
\inputdefinition
{}
{
Zu einer
\definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{}
\maabb {\varphi} {K^n} {K^m
} {}
heißt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ =} { { \left\{ x \in K^n \mid \varphi(x) = 0 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der
\definitionswort {Kern}{}
von $\varphi$.
}
Der Kern ist einfach das Urbild des Nullvektors und wird auch mit
\mathl{\varphi^{-1} (0)}{} bezeichnet. Er ist ein Untervektorraum des $K^n$, siehe
Aufgabe 35.31.
\inputfaktbeweis
{Lineare Abbildung/Kern/Injektivität/Zahlenraum/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und sei
\maabbdisp {\varphi} {K^n} {K^m
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $\varphi$ genau dann
\definitionsverweis {injektiv}{}{,}
wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Wenn die Abbildung injektiv ist, so kann es neben
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0
}
{ \in }{ K^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
keinen anderen Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(v)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
geben. Also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi^{-1}(0)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei umgekehrt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_1,v_2
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(v_1)
}
{ = }{ \varphi(v_2)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist wegen der Linearität
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(v_1 - v_2)
}
{ =} {\varphi(v_1) - \varphi(v_2)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_1-v_2
}
{ \in }{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und damit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v_1
}
{ = }{v_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
{}
So, wie eine lineare Funktion
\maabb {\varphi} {K} {K
} {}
durch den Wert an einer einzigen Stelle $\neq 0$ festgelegt ist, was die Grundlage für Dreisatzaufgaben ist, sind lineare Abbildungen
\maabb {\varphi} {K^n} {K^m
} {}
durch die Werte auf einer Basis des $K^n$ festgelegt. Der folgende Satz beweist dies für die Standardbasis, siehe
Aufgabe 35.20
für den allgemeinen Fall. Für entsprechende \anfuehrung{Mehrsatzaufgaben}{} siehe u. A.
Aufgabe 35.1,
Aufgabe 35.3
und
Aufgabe 35.30.
\inputfaktbeweis
{Lineare Abbildung/Festlegung auf Standardbasis/Zahlenraum/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein Körper und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ m,n
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es seien
\mathbed {w_i} {}
{i=1 , \ldots , n} {}
{} {} {} {,}
Elemente in $K^m$.}
\faktfolgerung {Dann gibt es genau eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {K^n} {K^m
} {}
mit
\mathdisp {\varphi(e_i) = w_i \text { für alle } i = 1 , \ldots , n} { , }
wobei $e_i$ den $i$-ten Standardvektor bezeichnet.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Da
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi (e_i)
}
{ = }{w_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sein soll und eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
nach
Lemma 35.6 (2)
für jede
\definitionsverweis {Linearkombination}{}{}
die Eigenschaft
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi { \left( \sum_{i = 1}^n s_i e_i \right) }
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n s_i \varphi { \left( e_i \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllt, und jeder Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ K^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sich als eine solche Linearkombination schreiben lässt, kann es maximal nur eine solche lineare Abbildung geben.}
{} \teilbeweis {}{}{}
{Wir definieren nun umgekehrt eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {K^n} {K^m
} {,}
indem wir jeden Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ K^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der gegebenen Standardbasis als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v
}
{ =} {\sum_{i = 1}^n s_i e_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
schreiben und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi (v)
}
{ \defeq} { \sum_{i = 1}^n s_i w_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ansetzen. Da die Darstellung von $v$ als eine solche
\definitionsverweis {Linearkombination}{}{}
eindeutig ist, ist diese Abbildung wohldefiniert.}
{}
\teilbeweis {Zur Linearität.\leerzeichen{}}{}{}
{Für zwei Vektoren
\mathkor {} {u= \sum_{i = 1}^n s_i e_i} {und} {v= \sum_{i = 1}^n t_i e_i} {}
gilt
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \varphi { \left( u+v \right) }
}
{ =} { \varphi { \left( { \left( \sum_{i = 1}^n s_ie_i \right) } + { \left( \sum_{i = 1}^n t_i e_i \right) } \right) }
}
{ =} { \varphi { \left( \sum_{i = 1}^n { \left( s_i + t_i \right) } e_i \right) }
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n (s_i + t_i) \varphi { \left( e_i \right) }
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n s_i \varphi { \left( e_i \right) } + \sum_{i = 1}^n t_i \varphi (e_i)
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \varphi { \left( \sum_{i = 1}^n s_i e_i \right) } + \varphi { \left( \sum_{i = 1}^nt_i e_i \right) }
}
{ =} { \varphi (u) + \varphi (v)
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation ergibt sich ähnlich, siehe
Aufgabe 35.19.}
{}
\zwischenueberschrift{Lineare Abbildungen und Matrizen}
\inputbeispiel{}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Fruit salad (1).jpg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Fruit salad (1).jpg } {} {Fæ} {Commons} {gemeinfrei} {}
Ein gesundes Frühstück beginnt mit einem Obstsalat. Die folgende Tabelle zeigt, wie viel Vitamin C, Calcium und Magnesium
\zusatzklammer {jeweils in Milligramm} {} {}
unterschiedliche Früchte
\zusatzklammer {pro 100 Gramm} {} {}
besitzen.
\tabellefuenfvier {\zeileundvier {Frucht} {Vitamin C} {Calcium} {Magnesium} }
{\zeileundvier {Apfel} {12} {7} {6} }
{\zeileundvier {Orange} {53} {40} {10} }
{\zeileundvier {Traube} {4} {12} {8} }
{\zeileundvier {Banane} {9} {5} {27} }
Dies führt zu einer Abbildung, die einem $4$-Tupel
\mathl{\begin{pmatrix} x_1 \\x_2\\ x_3\\x_4 \end{pmatrix}}{,} das die verarbeiteten
\zusatzklammer {oder verzehrten} {} {}
Früchte beschreibt, den Gesamtgehalt des Obstsalats an Vitamin C, Calcium und Magnesium in Form eines $3$-Tupels
\mathl{\begin{pmatrix} y_1 \\y_2\\ y_3 \end{pmatrix}}{} zuordnet. Diese Abbildung kann mit der Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 12 & 53 & 4 & 9 \\ 7 & 40 & 12 & 5 \\ 6 & 10 & 8 & 27 \end{pmatrix}} { }
unter Verwendung der Matrixmultiplikation als Zuordnung
\mathdisp {\begin{pmatrix} x_1 \\x_2\\ x_3\\x_4 \end{pmatrix} \longmapsto \begin{pmatrix} 12 & 53 & 4 & 9 \\ 7 & 40 & 12 & 5 \\ 6 & 10 & 8 & 27 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\x_2\\ x_3\\x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12x_1 +53x_2 +4x_3+9 x_4 \\7x_1 +40x_2 +12x_3+ 5 x_4\\ 6 x_1 + 10 x_2 + 8x_3+ 27 x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_1 \\y_2\\ y_3 \end{pmatrix}} { }
beschrieben werden.
}
\inputbeispiel{}
{
Zu jedem Geburtstag von Mustafa Müller backt seine Oma eine gewisse Anzahl
\zusatzklammer {abhängig von den Wünschen der Gäste} {} {}
an Himbeerkuchen, Käsekuchen und Apfelkuchen. Ein Himbeerkuchen benötigt $500$ Gramm Mehl, $200$ Gramm Zucker, $100$ Gramm Butter, $250$ Gramm Milch und
\mathl{300}{} Gramm Himbeeren. Ein Käsekuchen benötigt $300$ Gramm Mehl, $230$ Gramm Zucker, $100$ Gramm Butter, $100$ Gramm Milch und $450$ Gramm Quark. Ein Apfelkuchen benötigt $400$ Gramm Mehl, $250$ Gramm Zucker, $150$ Gramm Butter, $200$ Gramm Milch,
\mathl{500}{} Gramm Äpfel und $100$ Gramm Haselnüsse. Die Oma möchte aus der Anzahl der zu backenden Kuchen, repräsentiert durch ein Dreiertupel
\mathl{(x,y,z)}{,} die insgesamt benötigten Zutaten schematisch berechnen. Für das benötigte Mehl
\zusatzklammer {in Kilogramm} {} {}
gilt beispielsweise die Formel
\mathdisp {0{,}5 x + 0{,}3y + 0{,}4 z} { . }
Insgesamt wird der benötigte Einkauf durch die folgende lineare Abbildung
\zusatzklammer {bzw. die Matrix} {} {}
beschrieben
\zusatzklammer {wobei die Angaben in Kilogramm und die Zutatenreihenfolge Mehl, Zucker, Butter, Milch, Himbeeren, Quark, Äpfel und Haselnüsse sind} {} {.}
\maabbeledisp {} {\Q^3} { \Q^8
} { \begin{pmatrix} x \\y\\ z \end{pmatrix} } {
\begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}3 & 0{,}4 \\ 0{,}2 & 0{,}23 & 0{,}25 \\ 0{,}1 & 0{,}1 & 0{,}15 \\ 0{,}25 & 0{,}1 & 0{,}2 \\ 0{,}3 & 0 & 0 \\ 0 & 0{,}45 & 0 \\ 0 & 0 & 0{,}5 \\ 0 & 0 & 0{,}1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y\\ z \end{pmatrix}
} {.}
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m,n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zu einer
\definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {K^n} {K^m
} {}
heißt die
$m \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { (a_{ij})_{ij}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{,}
wobei
\mathl{a_{ij}}{} die $i$-te
\definitionsverweis {Koordinate}{}{}
von
\mathl{\varphi(e_j )}{} bezüglich der Standardbasis $e_i$ des $K^m$ ist, die \definitionswort {beschreibende Matrix zu}{} $\varphi$
\zusatzklammer {bezüglich der Standardbasen} {} {.}
Zu einer Matrix
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{(a_{ij})_{ij}
}
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{ m \times n } (K)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt die durch
\mathdisp {e_j \longmapsto \sum_{ i = 1 }^{ m } a_{ij} e_i} { }
gemäß
Satz 35.10
definierte lineare Abbildung die \definitionswort {durch}{} $M$ \definitionswort {festgelegte lineare Abbildung}{.}
}
Die zu einer
\mathl{m \times n}{-}Matrix $M$ gehörende lineare Abbildung ist unmittelbar durch das Matrizenprodukt der Matrix mit den $n$-Spaltentupeln gegeben, also gleich
\maabbeledisp {} {K^n} {K^m
} { \begin{pmatrix} x_1 \\\vdots\\ x_n \end{pmatrix} } { M \begin{pmatrix} x_1 \\\vdots\\ x_n \end{pmatrix}
} {.}
Die $i$-te Komponente des Ergebnisses ist ja einfach gleich
\mathl{\sum_{j = 1}^n a_{ij} x_j}{.}
\inputfaktbeweisnichtvorgefuehrt
{Lineare Abbildung/Zahlenraum/Matrix zu Standardbasis und umgekehrt/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ m,n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann sind die in
Definition 35.13
festgelegten Abbildungen zwischen
\definitionsverweis {linearen Abbildungen}{}{}
und
\definitionsverweis {Matrizen}{}{}
\definitionsverweis {invers}{}{}
zueinander.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir bezeichnen die Matrix zu einer linearen Abbildung $\varphi$ mit
\mathl{M(\varphi)}{} und die lineare Abbildung zu einer Matrix mit
\mathl{\varphi(M)}{.} Wir zeigen, dass beide Hintereinanderschaltungen die Identität sind. \teilbeweis {}{}{}
{Wir starten mit einer Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { { \left( a_{ij} \right) }_{ij}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und betrachten die Matrix
\mathdisp {M( \varphi (M) )} { . }
Zwei Matrizen sind gleich, wenn für jedes Indexpaar
\mathl{(i,j)}{} die Einträge übereinstimmen. Es ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{( M( \varphi (M) ) )_{ij}
}
{ =} { i-\text{te Koordinate von } ( \varphi (M)) (e_j)
}
{ =} { i-\text{te Koordinate von } \sum_{k = 1}^m a_{kj} e_k
}
{ =} { a_{ij}
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei nun $\varphi$ eine lineare Abbildung, und betrachten wir
\mathdisp {\varphi ( M (\varphi) )} { . }
Zwei lineare Abbildungen stimmen nach
Satz 35.10
überein, wenn man zeigen kann, dass sie auf der Standardbasis übereinstimmen. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (\varphi ( M (\varphi) ) ) (e_j)
}
{ =} { \sum_{ i = 1 }^{ m } (M (\varphi)_{ij}) \, e_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dabei ist nach Definition von
\mathl{M(\varphi)}{} der Koeffizient
\mathl{(M (\varphi ))_{ij}}{} die $i$-te Koordinate von
\mathl{\varphi(e_j)}{} bezüglich der Standardbasis des $K^m$. Damit ist diese Summe gleich
\mathl{\varphi(e_j)}{.}}
{}
Die folgende Aussage erklärt, warum das Matrizenprodukt so wichtig ist.
\inputfaktbeweis
{Matrizenmultiplikation/Hintereinanderschaltung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $B$ eine
$n \times p$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
und $A$ eine $m\times n$-Matrix und es seien
\mathdisp {K^p \stackrel{B}{\longrightarrow} K^n \stackrel{A}{\longrightarrow} K^m} { }
die zugehörigen
\definitionsverweis {linearen Abbildungen}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann beschreibt das
\definitionsverweis {Matrixprodukt}{}{}
\mathl{A \circ B}{} die
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
der beiden linearen Abbildungen.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Gleichheit von linearen Abbildungen kann man auf der
\definitionsverweis {Standardbasis}{}{}
\mathl{e_1 , \ldots , e_p}{} des $K^p$ nachweisen. Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \left( A \circ B \right) } { \left( e_k \right) }
}
{ =} { A(B(e_k))
}
{ =} {A { \left( \sum_{ j = 1 }^{ n } b_{jk} e_j \right) }
}
{ =} { \sum_{ j = 1 }^{ n } b_{jk} { \left( \sum_{ i = 1 }^{ m } a_{ij} e_i \right) }
}
{ =} { \sum_{ i = 1 }^{ m } { \left( \sum_{ j = 1 }^{ n } a_{ij} b_{jk} \right) } e_i
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \sum_{ i = 1 }^{ m } c_{ik} e_i
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Dabei sind die Koeffizienten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ c_{ik}
}
{ =} { \sum_{ j = 1 }^{ n } a_{ij} b_{jk}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gerade die Einträge in der
\definitionsverweis {Produktmatrix}{}{}
\mathl{A \circ B}{.}
Für die Beziehung zwischen linearen Abbildungen, Matrizen und linearen Gleichungssystemen siehe Aufgabe 35.16 und Aufgabe 35.17.